初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理课堂检测

这是一份初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理课堂检测，共11页。试卷主要包含了一个圆的对称轴，故选B等内容，欢迎下载使用。

基础过关全练
知识点1 圆的对称性
1.一个圆的对称轴( )
A.仅有1条 B.仅有2条
C.有无数条 D.有有限条
知识点2 垂径定理
2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,则下列结论一定正确的有( )
①CE=DE;②BE=OE;③CB=BD;④∠CAB=∠DAB;⑤AC=AD.
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
3.(2023浙江杭州西湖期中)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点H.若AH=5,HB=1,则CD的长为( )
A.5 B.13
C.25 D.213
4.(2023浙江杭州拱墅期中)如图,在半径为10的圆O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=16,则OP的长为( )
A.6 B.8
C.62 D.82
5.(2020浙江湖州中考)如图,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是 .
6.【新独家原创】如图,AB是☉O的弦,过圆心O作OC⊥AB,延长CO交☉O于点D,点E是☉O上一动点,CD=18,AB=12,则CE的长的最小值为 .( )
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7.(2021四川凉山州中考,11,★☆☆)点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10 cm,最短弦的长为6 cm,则OP的长为( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
8.如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连结BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( )
A.3 cm B.6 cm C.2.5 cm D.5 cm
9.【线段最值问题】如图,在☉O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD长的最大值为 .
10.如图所示的是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且AB=26 m,OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD=5∶24.( )
(1)求CD的长;
(2)汛期来临时,水面以每小时4 m的速度上升,求经过多长时间桥洞会被灌满.
11.如图所示,在以点O为圆心的两个同心圆(两圆的圆心均为点O)中,大圆的弦AB交小圆于点C,D.
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=6,且圆心O到直线AB的距离为3,求AC的长.
素养探究全练
12.【推理能力】如图,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当BC=6时,求出线段OD的长度.
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请求出其长度;如果不存在,请说明理由.
(3)在(1)的条件下,求出线段OE的长度.
答案全解全析
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1.C 过圆心的直线都是圆的对称轴,∴一个圆的对称轴有无数条.
2.A ∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD,
∴CE=DE,CB=BD,故①③正确.
∵AB⊥CD,CE=DE,
∴直线AB为线段CD的垂直平分线,
∴AC=AD,故⑤正确.
∵AB⊥CD,∴∠CAB=∠DAB(等腰三角形三线合一),故④正确.
根据题中条件无法证明BE=OE,故②不一定成立.所以一定正确的结论是①③④⑤.故选A.
3.C 如图,连结OD,
∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,
∴DH=12CD,
∵AH=5,HB=1,∴AB=AH+HB=6,
∴OD=OA=3,
∴OH=AH-OA=2,
在Rt△ODH中,DH=OD2-OH2=32-22=5,
∴CD=2DH=25,故选C.
4.C 如图,作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连结OB,OD,
∴BM=12AB=8,DN=12CD=8,
∴OM=OB2-BM2=102-82=6,ON=OD2-DN2=102-82=6,
∵AB⊥CD,OM⊥AB,ON⊥CD,
∴四边形MONP是矩形,
∵OM=6=ON,
∴四边形MONP是正方形,
∴OP=62+62=62.故选C.
5.答案 3
解析 过点O作OH⊥CD于H,连结OC,如图,
则CH=DH=12CD=4,OC=12AB=5,
在Rt△OCH中,OH=52-42=3,
因为AB∥CD,所以CD与AB之间的距离是3.
6.答案 2
解析 如图,连结OA,
∵OC⊥AB,AB=12,∴AC=12AB=6,
设☉O的半径为r,在Rt△AOC中,OC2=OA2-AC2,
即(18-r)2=r2-62,解得r=10,
∴OC=CD-OD=18-10=8,
当C,O,E三点在同一条直线上,且点E在AB上时,CE的长最小,最小值为10-8=2.
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7.B ☉O内过点P的最长的弦为直径,最短的弦是垂直于这条直径的弦,如图所示,CD⊥AB于点P,连结OC.
根据题意,得AB=10 cm,CD=6 cm.
∵AB是☉O的直径,且CD⊥AB,
∴OC=OB=5 cm,CP=12CD=3 cm.
根据勾股定理,得OP=CO2-CP2=52-32=4(cm).故选B.
8.D 如图,连结AB,OB,
∵BD⊥AO,BD=8 cm,∴BE=12BD=4 cm,
在Rt△ABE中,∵AE=2 cm,BE=4 cm,
∴AB=BE2+AE2=42+22=25 cm,
∵OF⊥BC,∴BF=FC,
∵OA=OC,∴OF是△ABC的中位线,
∴OF=12AB=5 cm.
故选D.
9.答案 12
解析 连结OD,如图,设☉O的半径为r,
∵CD⊥OC,∴∠DCO=90°,
∴CD=OD2-OC2=r2-OC2,
当OC的长最小时,CD的长最大,
当OC⊥AB时,OC的长最小,此时D、B两点重合,
∴CD=CB=12AB=12×1=12,
即CD长的最大值为12.
10.解析 (1)∵直径AB=26 m,
∴OD=OB=12AB=12×26=13 m,
∵OE⊥CD,∴DE=12CD,
∵OE∶CD=5∶24,
∴OE∶ED=5∶12,
设OE=5x m(x>0),则ED=12x m,
在Rt△ODE中,OE2+ED2=OD2,即(5x)2+(12x)2=132,
解得x=1或x=-1(舍去),∴OE=5 m,ED=12 m,
∴CD=2DE=24 m.
(2)如图,延长OE交半圆O于点F,
则OF=12AB=13 m,
∵OE=5 m,∴EF=OF-OE=13-5=8 m,
8÷4=2小时,
∴经过2小时桥洞会被灌满.
11.解析 (1)证明:如图,过点O作OE⊥AB于点E,
∵OE⊥AB,∴AE=BE,CE=DE,
∴AE-CE=BE-DE,∴AC=BD.
(2)如图,连结AO,CO,
∵AO=10,OE=3,
∴AE=AO2-OE2=91,
∵CO=6,OE=3,
∴CE=CO2-OE2=33,
∴AC=AE-CE=91-33.
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12.解析 (1)∵OD⊥BC,BC=6,
∴BD=12BC=12×6=3,∠BDO=90°,
∴OD=OB2-BD2=52-32=4,
即线段OD的长度为4.
(2)存在,DE的长度保持不变.
计算过程如下:连结AB,如图,
∵∠AOB=90°,OA=OB=5,
∴AB=OA2+OB2=52+52=52,
∵OD⊥BC,OE⊥AC,
∴D和E分别是线段BC和AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=12AB=522.
(3)如图,将△OBD绕圆心O顺时针旋转90°得到△OAF,延长OF,与CA的延长线交于点G,连结OC,
∵OD⊥BC,OB=OC,
∴∠BOD=∠COD=12∠BOC,
同理,∠COE=∠AOE=12∠AOC,
∴∠BOD+∠AOE=12∠AOB=45°,
根据旋转的性质得∠BOD=∠AOF,∠BDO=∠AFO=90°,BD=AF,
OD=OF,
∴∠EOG=∠AOE+∠AOF=45°,
∵∠OEG=90°,∴△OEG是等腰直角三角形,
∴∠G=45°,OE=EG,
∵∠AFO=90°,∴∠AFG=90°,
∴△AFG是等腰直角三角形,
∴FG=AF=BD=3,
∴OG=OF+FG=OD+FG=4+3=7,
∵OE2+EG2=OG2,OE=EG,
∴OE=EG=722.