河南省周口恒大中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省周口恒大中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷考试时间：120分钟 满分：150
第I卷（选择题）
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
2. 若函数则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若集合A=，B={︳}，则=（ ）
A. B. C. D.
5. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
6. 已知集合，则
A. B. C. D.
7. 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数,,其中．若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数有3个单调区间B. 当时，
C. 函数有最小值D. 不等式的解集是
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数在上是增函数
C. 函数在上单调递增
D. 已知是定义在上的减函数，若，则
11. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r（x）的定义为，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素），下列命题中，正确的有（ ）
A. 存在常数T > 0，使得对任意的x∈R，都有
B. 对任意的x∈R，有
C. 存在a，b，a + b∈[0，1]，使得
D. 给定正整数t，记S =，则S有个元素
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则使得成立的实数a的取值集合是______________；
14. 函数，的反函数为_______________.
15. 若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为___________
16. 已知定义在上的奇函数与偶函数满足，则__________.
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17 已知函数，.
（1）求解析式；
（2）当时，求的最值；
（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围.
18. 已知定义域均为的函数和，是偶函数，是奇函数，
（1）求解析式；
（2）判断在的单调性，并用定义证明；
（3）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
19. 某市出租车的计价标准是4 km以内10元(含4 km)，超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/千米，超出18 km的部分1.8元/千米．
(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
(2)如果某人乘车行驶了20 km，那么他要付多少车费？
20 已知函数.
(1)若函数对任意实数都有成立，求的解析式；
(2)当函数在区间[－1，1]上的最小值为－3时，求实数a的值．
21. 已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，不等式有解，求实数取值范围．
22. 定义在上的函数和二次函数满足：，，．
（1）求和的解析式；
（2）若对于、，均有成立，求取值范围；
（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数．2023-2024学年高一上学期数学12月考试卷
数学试题
试卷考试时间：120分钟 满分：150
第I卷（选择题）
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得的取值范围，根据不等式的基本性质可求得原函数的值域.
【详解】因为，所以，因此，函数的值域是.
故选：B.
【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题.
2. 若函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式,将自变量转换到对应的区间求解即可.
【详解】因为,
故.
故选：D
【点睛】本题主要考查了分段函数的求解以及对数的基本运算,需要根据题意将自变量转换到对应的区间上求解.属于基础题.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集求出，根据并集计算即可.
【详解】，
，即，
，
即
故选：A
4. 若集合A=，B={︳}，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合后，利用集合的交集运算的定义即可得到答案.
【详解】,
,
故选：B
【点睛】本题考查了集合的交集运算的定义，理解交集的定义是关键，属于基础题.
5. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题意说明在R上有解，再转化为求函数的最小值可得．
【详解】为局部奇函数，则在R上有解，
即，∴，
∵，∴，即，∴，
故选：A．
6. 已知集合，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交集的定义求出两集合的交集．
【详解】∵，
∴，
故选：C．
7. 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件结合分段函数值域的意义可得在取尽一切负数，再列不等式求解即可作答.
【详解】函数，而函数是增函数，当时，，则当时，函数值域为，
因函数的值域为，因此，在当时，函数取尽一切负数，
当，即时，，不符合题意，当时，，也不符合题意，
从而有，解得，
所以实数的取值范围是：.
故选：D
8. 设函数,,其中．若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得，分别作出两个函数的图象，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．
【详解】解：．作函数的图象，如图所示：
函数零点的个数函数的图象与直线交点的个数．
当直线过点时，；当直线与曲线相切时，，
由
得，
即，
整理得，
则判别式，
即，
可求得或．
当时，不成立，
故此时，
根据图象可知当或时，函数在区间上有且仅有一个零点．
故选：C．
二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数有3个单调区间B. 当时，
C. 函数有最小值D. 不等式的解集是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇偶性求出的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断.
【详解】解：当时，，因为时，
所以，又因为是定义在上的偶函数
所以时，
即
如图所示：
对A，由图知，函数有个单调区间，故A错误；
对B，由上述分析知，当时，，故B正确；
对C，由图知，当或时，函数取得最小值，故C正确；
对D，由图知，不等式的解集是，故D错误.
故选：BC.
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数在上是增函数
C. 函数上单调递增
D. 已知是定义在上的减函数，若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性判断A，根据特值判断B，根据函数定义域判断C，根据函数的单调性及同向不等式的性质判断D.
【详解】因为函数的对称轴为，开口向下，故函数在上单调递减，A正确；
函数在上单调递增，但在上不单调递增，例如，，但，故B错误；
函数要有意义，则，解得，即函数定义域为，故在上单调递增错误，故C错误；
是定义在上的减函数，若中，则，又，
所以，所以，故D正确.
故选：AD
11. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】可根据已知条件，根据、的范围，分别表示出、的范围，然后再表示出、、、的范围，验证即可判断.
【详解】选项A，由，可得，故选项A正确；
选项B，由可得，而，所以，故选项B错误；
选项C，由，可得，故选项C正确；
选项D，由可得，而，所以，故选项D正确.
故选：ACD.
12. 德国数学家黎曼（Ricmann）提出的黎曼函数r（x）在分析学中有着广泛的应用.黎曼函数r（x）的定义为，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素），下列命题中，正确的有（ ）
A. 存在常数T > 0，使得对任意的x∈R，都有
B. 对任意的x∈R，有
C. 存在a，b，a + b∈[0，1]，使得
D. 给定正整数t，记S =，则S有个元素
【答案】ABC
【解析】
【分析】本题中的，(p∈N*，q∈Z，q≠0且p，q互素）即取值为非零有理数，要考查新定义函数的周期性，对称性，根据函数解析式，分三段分别讨论，C选项可以取满足条件的来验证.D选项主要考查对定义的理解，取进行验证即可判断.
【详解】对选项A，考查函数的周期性，取，
若，则，
，所以满足，
若为无理数，则也是无理数，满足.
若为非零有理数，即，，互质，则与也互质，，满足，故A选项正确.
对选项B，若为无理数，则也无理数，所以.
若，满足.
若为非零有理数，，，互质，则与互质，也与互质，满足.B选项正确
对于选项C，因为存在a，b，a + b∈[0，1]，取，因为为无理数，，又，故，故 有.故选项C正确.
对于选项D，取，即，则或1，当时，，当时，，当时，，当时，，则，有7个元素，不满足=8个元素，故D错误.
故选：ABC
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则使得成立的实数a的取值集合是______________；
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性，结合奇函数的性质求解即可.
【详解】由题意，当时，为减函数且，又是定义在R上的奇函数，故当时，为减函数且.
故则或或，解得或无解或.
综上有实数a的取值集合是.
故答案为：
14. 函数，的反函数为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的值域，然后由函数解析式将用表示，即可得出结论.
【详解】函数，，，
，
所以反函数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查反函数的求法，要注意反函数的定义域不要遗漏，属于基础题.
15. 若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为___________
【答案】
【解析】
【分析】参变分离可得，再根据函数的单调性求在上的最小值即可.
【详解】不等式对于一切恒成立，
即在上恒成立.
又对勾函数在上单调递增，
所以在上的最小值为,
所以实数的最大值为
故答案为：
16. 已知定义在上的奇函数与偶函数满足，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】结合已知条件可得，解方程组即可求解.
【详解】因为、分别为上的奇函数与偶函数，
所以，
又因为与满足，
所以，即，
解得，
故答案为：.
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17 已知函数，.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最值；
（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）最小值为0，无最大值
（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法求函数解析式；
（2）利用基本不等式求最值；
（3）将方程根的问题进行转化，
借助函数图像，建立满足题意的条件不等式解出即可.
【小问1详解】
由，
令，
所以
即函数.
【小问2详解】
，
当且仅当时取等，
所以最小值为0，无最大值.
【小问3详解】
方程可化为
，且，
令，
则方程化为，，
因为方程有三个不同的实数解，
由的图像知，
有两个根、，
且,或，
记，
即，
此时，
或 ，
得，此时无解
综上，关于的方程
有三个不同的实数解，则的取值范围.
18. 已知定义域均为的函数和，是偶函数，是奇函数，
（1）求解析式；
（2）判断在的单调性，并用定义证明；
（3）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）在上是增函数；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据是偶函数，是奇函数，可得，再将其与联立，解方程即可求出解析式；
（2）根据单调性的定义即可判断并证明在的单调性；
（3）令，由（2）可知，再整理化简可得，设，将原问题转化为当，恒成立，再根据二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
解：因为，则
且是偶函数，是奇函数，所以，
，可得
【小问2详解】
解：任取，令，
因为，所以，，
则，即，所以在上是增函数．
【小问3详解】
解：令，
由（2）可知，单调递增，又为偶函数，，单调递减，
所以时，取得最大值，时，取得最小值，即
又
所以
设，所以当，恒成立，
即或或成立
又解得； 无解； 无解；
所以
19. 某市出租车的计价标准是4 km以内10元(含4 km)，超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/千米，超出18 km的部分1.8元/千米．
(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
(2)如果某人乘车行驶了20 km，那么他要付多少车费？
【答案】（1）.
（2）乘车20 km，要付车费30.4元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意可知此与的函数关系符合分段函数．根据的不同范围,可得相应的解析式．（2）因为可直接代入解析式中求．
试题解析：解：由题知，
（1）当时，元；当时，；
当时， 3
所以 5分
（2） 当时， 7分
答：他要付车费元 8分
考点：分段函数．
20. 已知函数.
(1)若函数对任意实数都有成立，求的解析式；
(2)当函数在区间[－1，1]上的最小值为－3时，求实数a的值．
【答案】(1)f(x)＝x2－2x＋3.(2)a＝7或a＝－7.
【解析】
【分析】(1)对任意实数都有成立，可得的对称轴为x＝1，即可得出a.
(2)由题意可得的对称轴为，分别讨论，，，综合结论，即可得到a的值.
【详解】(1)∵f(1＋t)＝f(1－t)，
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝1，
∴，解得a＝－2.
∴函数的解析式为f(x)＝x2－2x＋3.
(2)由题意得函数f(x)＝x2＋ax＋3图象的对称轴为.
①当，即a≤－2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴f(x)min＝f（1）＝1＋a＋3＝a＋4＝－3，
解得a＝－7，符合题意；
②当，即－2