2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十三）

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1．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为,其中的值可由和得到,比如兔子数列中代入解得.利用以上信息计算表示不超过的最大整数（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【解析】解:由题意可令,
所以将数列逐个列举可得:
,,,,,
故,
因为,
所以,
故.
故选:B
2．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知，，（其中为自然常数），则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
设，则，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
因为，所以，即，
因为，所以，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，
综上所述：.
故选：D
3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1，反面朝上则写下0，于是得到一组数据.记命题：“这组数据的中位数是”，命题：“这组数据的标准差为”，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1，反面朝上则写下0，于是得到一组数据，
若想这组数据的中位数是，
则必须抛偶数次，且正反次数相同，
则此时这组数据的平均数，
则这组数据中，
则这组数据的标准差，
即是的充分条件；
设某同学连续抛掷一枚硬币次，其中正面朝上则写下1的有次，
则此时这组数据的平均数，
若这组数据的标准差是，
则这组数据的标准差，
化简得，解得，
则这位同学连续抛掷一枚硬币次，其中有一半为正面朝上，一半为反面朝上，
则这组数据的中位数是，
即是的必要条件；
综上所述：是的充要条件，
故选：C.
4．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数，满足，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】因为实数，满足，
所以，当且仅当时，，
所以，当且仅当且时，等号成立；
所以当且时，取得最小值4，
此时解得，
故选：D.
5．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如图所示：
设该正六棱锥的高，侧棱长为，设该正六棱锥外接球的半径为，
因为正六棱锥外接球的表面积为，所以有，
因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，
所以，
设，
在正六边形，因为正六边形边长为，所以，
在中，由余弦定理可知，
在直角三角形中，，所以有，
由勾股定理可知，
因为，所以，因此有，
而，所以，
该正六棱锥的体积，
，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，因为，，
所以，因此该正六棱锥的体积的取值范围是，
故选：B
6．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由于，
故设函数 ，
则，，
由于，所以，
即，即，
故为单调递减函数，
故，即，
令，则，即；
又，
令，
则，
即为单调递增函数，
故，即，
令，则，即，
故，
故选：B
7．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知，周期是的对称中心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
由可得，且，所以，
又因为是的对称中心，故
解得
且，即
所以，当时，
即，
所以
故选:D
8．（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】，且,为非负实数，，
则
则，解得，，解得，
，
当且仅当即，时,即时等号成立，
故，
故选：B.
9．（2023·重庆·统考一模）已知函数及其导函数的定义域为，记，和为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是偶函数，所以，即,关于对称,
两边求导得 ，即，
所以 ，即，关于对称
令 可得 ，即 ，
因为为偶函数，所以 ，即, 关于对称，的周期为,
又因,所以, 关于对称, 的周期为,即.
故选: .
10．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距为的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中为静电常量，，分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且和都远小于，当远小于1时，，则的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，
，
因为和都远小于，当远小于1时，，
所以
，
故选：B
11．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，，
当时，，
令，则，
所以函数在区间上单调递减，
所以，
又，所以，
所以函数在区间上单调递减，
所以，
故.
故选：B.
12．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）过圆锥内接正方体（正方体的4个顶点在圆锥的底面，其余顶点在圆锥的侧面）的上底面作一平面，把圆锥截成两部分，下部分为圆台，已知此圆台上底面与下底面的面积比为 ，母线长为，设圆台体积为，正方体的外接球体积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆台的上下底面半径为 ，
由圆台上底面与下底面的面积比为，得圆台上底面与下底面的半径比为，
由题意知正方体的棱长为，
如图，设为圆台的一条母线，为正方体的一条棱，
为圆台上下底面的中心，
在中，，，，
即，解得，,
则，
正方体的外接球半径为，故，
所以，
故选：A
13．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
构造函数，当时，，
所以函数在区间内单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
所以在区间内单调递减，且．
不等式整理可得：，
即，当时，，则，解得；当时，，则，
解得，又，所以．
综上，不等式的解集为．
故选：A．
14．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知双曲线（）的左、右焦点分别为F1，F2，M，N在C上，且，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可知，点F1是的外心，
由得，即，
所以点F1是的重心，所以是等边三角形，
由对称性可知MN⊥F1F2．且，，
不妨设M在第二象限，所以点M的横坐标为，纵坐标为，故点．
又点M在双曲线()上，
所以，即，整理得，
两边同时除以可得，解得，所以，
又，所以．
故选：D
15．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，定义称为点的“和”，其中为坐标原点，对于下列结论：（1）“和”为1的点的轨迹围成的图形面积为2；（2）设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2；（3）设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是；（4）设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为.其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
【答案】B
【解析】（1）当时，点的轨迹如图，其面积为2，正确；
（2）是直线上的一点，，
可知，，时递减，时递增，故的最小值在时取得，，正确；
（3）同（2），，可知当时，都满足，“和”最小的点有无数个，故错误；
（4）可设椭圆参数方程为，
易知其最大值为，正确.
故选：B.
16．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不等式变形为 ，
即，设，
则不等式对任意的实数恒成立，
等价于对任意恒成立，
，则在上单调递增，
，即对任意恒成立，
恒成立，即，
令 ，则 ，
当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
时，取得最小值 ，
，即，
的最小值是.
故选：D
二、多选题
17．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）如图，在边长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．直线与平面所成角的最小值是
D．的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A项，连接，在正方体中，
平面，又因为平面，故
故A正确.
对于B项，假设成立，又因为，并且
所以平面，明显不垂直，假设不成立，故B不正确.
对于C项，连接，再连接，
在正方体，易得平面
所以即为直线与平面所成角，
在中， ，当点与点重合时最大，最大值为，直线与平面所成角的最小值是，故C不正确.
对于D项，把往上翻折到与平面共面，
又因为，即往上翻折成，
即在四边形中，求，易得最小值为，所以D正确.
故选：AD
18．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知,，下列说法正确的是（ ）
A．存在使得是奇函数
B．任意､的图象是中心对称图形
C．若为的两个极值点，则
D．若在上单调，则
【答案】ABD
【解析】对于A，当时,为奇函数，故正确；
对于B，设函数的对称中心为,则有，
又因为
，
，
所以，解得，
所以的对称中心为，故正确；
对于C，因为，
又因为为的两个极值点，
所以，，所以C错误；
对于D，若单调，则有恒成立，
所以，
解得，选项D正确.
故选：ABD.
19．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知，是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为2
B．直线过焦点且倾斜角为60°时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：
【答案】CD
【解析】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为，设直线的倾斜角为，画图为：
根据抛物线的定义：，从图可知，
，在中，，
所以，同理
则
，故当时
故最小值为，所以A不正确.
对于B项，由A可知，，
所以，故B不正确.
对于C项，
所以最大值为8，故C正确.
对于D项，由，，知，所以
所以直线的方程为，直线的方程为
联立解得或，所以
联立解得或，所以
所以直线的方程为
即，故D正确.
故选：CD
20．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）双曲线：的离心率，H的两条渐近线分别记为，，其中经过第一，三象限，P是H右支上一个动点，过P作直线交于，交于；过P再作交于，交于，记P与坐标原点O连线的斜率为.则下列说法中，正确的有（ ）
A．若，则，，，四点彼此相异
B．设P的纵坐标为，记，则是关于的偶函数
C．在P变化的过程中，恒有
D．若，则
【答案】ACD
【解析】由已知双曲线的渐近线的方程为，渐近线的方程为，
设，则，，直线的方程为，直线的方程为，
联立直线，的方程可得，同理可得， ，，
假设重合，则，化简可得，即，与已知矛盾，
假设重合，则，化简可得，即，与已知矛盾，
因为，所以直线与直线不重合，故直线都不过原点，
故，，，四点彼此相异，A正确；
设，直线的方程为，又
所以，，所以，
所以，当时，，
故不是关于的偶函数，B错误；
因为， ，
所以，又，所以，C正确；
因为，，，
所以，又，，
所以，
所以，
所以，所以，D正确；
故选：ACD.
21．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的，满足，则下列选项之中，可能成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】当时，则有：
①当，则为非零常数列，故，符合题意，A正确；
②当，则为单调数列，故恒不成立，即且不合题意；
当时，可得，则有：
①当，若为偶数时，则；
若为奇数时，则；
故符合题意，B正确；
②当，若为偶数时，则，且，即；
若为奇数时，则，且，即；
故符合题意，C正确；
③当，若，可得，
∵，则，可得，则，这与等比数列相矛盾，
故和均不合题意，D错误.
故选：ABC.
22．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知三棱柱的体积为，底面满足，，，若在底面上的投影恰好在直线上，则下列说法中，正确的有（ ）
A．恒有
B．与底面所成角的最大值为
C．恒有
D．三棱锥外接球表面积的最小值为
【答案】BC
【解析】对于A，，，，，
，，
解得：，A错误；
对于B，过作且，连接，作直线，如下图所示，
四边形为平行四边形，，，
平面，；
即为与底面所成角，，
直线在平面内的投影为直线，在平面内的投影为，
点到直线的距离即为点到直线的距离，即为点到直线的距离，
又点到直线的距离即为直线与间的距离，
点到直线的距离为点到直线距离的倍；
点到直线距离，，
则当时，取得最小值，此时取得最大值，
，即与底面所成角的最大值为，B正确；
对于C，又，得：；
平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，，C正确；
对于D，作，垂足为，则，，
取中点，设三棱锥的外接球球心为，连接，
是以为斜边的直角三角形，为的外心，
平面，
以为坐标原点，正方向为轴，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
设，，则，，
，；
当时，
，，整理可得：；
，，外接球半径，此时外接球表面积；
当时，
，，整理可得：；
则当时，，外接球半径，此时外接球表面积；
综上所述：三棱锥外接球表面积的最小值为，D错误.
故选：BC.
23．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知抛物线C：过点是准线上的一点，F为抛物线焦点，过作的切线，与抛物线分别切于，则（ ）
A．C的准线方程是B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】由抛物线C：过点，可得，
即，设焦点为,
则C的准线方程是，A正确；
设点，先考虑情况，则过点M作的切线，切线斜率必存在且不等于0，
设切线方程为，联立，可得 ，
则，即 ， ，
设的斜率分别为，则，
即，即，D错误；
设，不妨设A在第一象限，B在第四象限，则 ，
由于，对于曲线在第一象限内部分有,则，
对于曲线在第四象限内部分有,则，
由于，故，则 ，
由于，故斜率一定存在，设直线的方程为 ，
联立，得 ，故，
则直线的方程为，即直线过定点，
所以三点共线，
由于 ，
，故,
在中，,
则，，
当时，即,关于x轴对称，
，成立；
此时斜率不存在，不妨取，则，
联立，解得,则过定点，且,
则，成立，
综合上述，正确，
故选：
24．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）直线：与的图象交于、两点，在A､B两点的切线交于，的中点为，则（ ）
A．B．点的横坐标大于1
C．D．的斜率大于0
【答案】BC
【解析】
对A，因为直线与曲线交于、两点，
有两个不同正根，
即直线与曲线有两个不同的交点.
在上单调递减，在单调递增，
且，
，故A错误.
对B，由题意得，
，设
令
在单调递减.
，
在单调递减，
.
，
又，
.
的方程：，
的方程：，
联立可解得，
故选项B正确.
对C，设，
，
，且，
，设,
，
，
，
，
是的两个根，是方程的两根，
，所以C正确.
对D，
，
，
设，
.
，
，
在单调递增，且，
，
，
.
也可以利用对数均值不等式证明如下：
对数均值不等式：，
，，
，
，，
，即<1, ，.
所以D错误.
故选：BC
25．（2023·重庆·统考一模）设O为坐标原点， F为抛物线C：的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于M，N两点（点M在第二象限），当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．△MON的面积的最小值为
C．存在直线，使得
D．分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直
【答案】ABD
【解析】作出如图所示图形：
对A，由抛物线定义及题意得，
即，解得，故A正确；
对B，，则，当直线的斜率不存在时，显然不合题意，
设
设直线的方程为，联立抛物线得
，则，
，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对C，
，
故为钝角，则不存在直线，使得，故C错误；
对D，，即，故，
故在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为,
故斜率之积为，故相切的两条直线互相垂直，故D正确.
故选：ABD.
26．（2023·重庆·统考一模）已知m，n关于x方程的两个根，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】画出函数与的大致图象，
由题可知，即，
所以，又，
所以，可得，，
由对勾函数的性质可知，故A正确；
设函数，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
又，
所以， ，即，故B错误；
设函数，则，
由，可得单调递增，
由，可得单调递减，
因为，
所以，即，
所以，即，故C正确；
又，，
所以，即，
所以，即，故D正确.
故选：ACD.
27．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当为正三角形时，
C．当时，的取值范围为
D．当时，的最大值为
【答案】BD
【解析】对于A，直线恒过定点，故A错误；
对于B，因为为正三角形，则，所以，故B正确；
对于C，因为，所以四边形为正方形，则，
所以点的轨迹方程为，问题转化为直线与点的轨迹有公共点，
所以，即，所以的取值范围为，故C错误；
对于D，因为，则，即，
由，所以，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：BD.
28．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ）
A．M，N，B，四点共面
B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D．三棱锥的体积为
【答案】BCD
【解析】对于A，易知MN与为异面直线，所以M，N，B，不可能四点共面，故A错误；
对于B，连接，CP，易得，所以为异面直线与MN所成角，
设，则，
所以，
所以异面直线与MN所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，连接，，易得，
所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，故C正确；
对于D，易得，因为平面MNB，平面MNB，
所以平面MNB，
所以，故D正确.
故选：BCD
29．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）设正整数，其中.记，当时，，则（ ）
A．
B．
C．数列为等差数列
D．
【答案】ACD
【解析】当时，，又，所以，同理，所以，…，，所以，，
所以，所以，A项正确；，，B项错误；
当时，，
当时，
，
当时也符合，所以，所以，
所以，
所以数列为等差数列，C项正确；，
，D项正确.
故选:ACD.
30．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线，过点与圆分别切于，，两点，交于点，和，，则（ ）
A．与没有公共点
B．经过，，三点的圆的方程为
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，联立，得，
因为是方程的一个根，所以与有公共点，A项错误；
对于B，连接，，则，，
所以，，，四点在以为直径的圆上，
且，，所以圆的方程为，
化简得，B项正确；
对于C，由题得，
所以，所以，C项正确；
对于D，设过点且与圆相切的切线方程
为，由，解得或.
不妨设，，则，
联立得，
所以，所以，
所以，D项正确.
故选：BCD.
31．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，当时，f(x)的图像与x轴的所有交点的横坐标之和为，则（ ）
A．
B．f(x)在区间内单调递增
C．f(x)的图像关于点对称
D．f(x)的图像关于直线对称
【答案】AB
【解析】令f(x)=0，则，所以，k∈Z或，k∈Z，
解得，k∈Z或，k∈Z，
所以f(x)的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，
所以，解得ω=2，所以，所以f(x)的周期，
当时，，令f(x)=0，即，
又0＜φ＜π，所以或，
所以或，由得，
所以，，A项正确；
由，得，所以f(x)在区间内单调递增，B项正确；
，所以f(x)的图像不关于点对称，C项错误；
，所以f(x)的图像不关于直线对称，D项错误．
故选：AB．
32．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线（p＞0）的焦点为F，斜率为的直线过点F交C于A，B两点，且点B的横坐标为4，直线过点B交C于另一点M（异于点A），交C的准线于点D，直线AM交准线于点E，准线交y轴于点N，则（ ）
A．C的方程为B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意得，，所以，整理得p2＋6p－16=0，
又p＞0，解得p=2，所以C的方程为x2=4y，故A正确；
对于B，由选项A知双曲线C的准线方程为y=－1，，，直线l1的方程为，
联立，解得x=－1或x=4，所以，
则，故B正确；
对于D，设点，由题意知m≠±1且m≠±4，所以直线，
令y=－1，得，即，故，
同理可得，故，所以，故D正确；
对于C，当m=2时，，，则，，则，故C错误．
故选：ABD．
.
33．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数、的定义域均为．且满足，，，则（ ）
A．B．
C．的图象关于点对称D．
【答案】BC
【解析】对于A选项，因为，所以，函数的图象关于点对称，
所以，，
因为，所以，，即，
因为，所以，，
则，所以，，A错；
对于B选项，因为定义域为的函数的图象关于点对称，则，B对；
对于C选项，因为，所以，，
联立，可得，
所以，函数的图象关于点对称，C对；
对于D选项，因为，令可得，
所以，，故，
因为，所以，，可得，
所以，，可得，则，
记，，其中，且，，
则，，
所以，数列是以为首项，公差为的等差数列，则，
数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以，，D错.
故选：BC.
34．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）
A．在是增函数
B．是奇函数
C．在上有两个极值点
D．设，则满足的正整数的最小值是
【答案】ABD
【解析】对于A选项，当时，，，
，所以，函数在是增函数，A选项正确；
对于B选项，令，该函数的定义域为，
，
，
则，
所以，函数为奇函数，B选项正确；
对于C选项，当时，，且，
所以，函数在内无极值点；
，
①当时，，，则，
则，，此时，，
所以，函数在上单调递减，
，，
所以，函数在上只有一个极值点；
②当时，，，
所以，，，则，
所以，，则，
所以，函数在上没有极值点.
综上所述，函数在上只有一个极值点，C选项错误；
对于D选项，.
当时，，，不成立；
当时，，
当时，，，
，，，则，
所以，，
所以，满足的正整数的最小值是，D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题
35．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
因为只有一个极值点，
所以若3是极值点，
因为，所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，故，
则，所以；
当趋向于0时，趋向于1，趋向于0，则趋向于正无穷，
当趋向正无穷时，趋向正无穷的速率远远大于趋向正无穷的速率，则趋向于正无穷，
若3不是极值点，则3是即的一个根，且存在另一个根，此时；
当时，，
令，解得；令，解得；
所以在单调递减，在单调递增，满足题意，
综上：或，即.
故答案为：.
36．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知函数，其中，的导函数为.若将方程的所有非负解从小到大排成一个等差数列，其公差为，则的值为_________.
【答案】
【解析】
因为，所以，
若，则，即，
所有非负解从小到大排成一个等差数列，其公差为，则，解得，
又因为，所以，
所以可化为，解得第一个非负解为，
由等差数列的通项公式求得，
故答案为：
37．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆E以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为A，B，点P为第一象限内椭圆上的一点，P关于x轴的对称点为Q，过P作椭圆的切线，若，且的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E的离心率为e，则的值为_________.
【答案】
【解析】设椭圆方程为，则，
设，故，
因为的垂心恰好为坐标原点O，
所以，，即，
即，，
下面证明椭圆在处的切线方程斜率为，理由如下：
因为时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
即，
因为点在椭圆上，所以，，
所以，即，
即，解得：，
所以，化简得：，即，设，
同除以得：，
即，故，
因为点在椭圆上，所以，
即，即，
因为，所以，即，
将代入中，可得：，即
所以，
设椭圆方程为，此时，
同理可得：，
此时椭圆在处的切线方程斜率为，
所以，化简得：，设，
同除以得：，
即，故，
因为点在椭圆上，所以，
即，即，
因为，所以，即，
将代入中，可得：，
所以（舍去）；
故答案为：
38．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】设
令圆上任意一点，则
设使得，则
又，所以
由勾股定理可得：，所以
故答案为：
39．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知函数的图像关于对称，且，则__________.
【答案】26
【解析】因为的图像关于对称，
所以.
所以，两式相加可得.
故，可得.
故函数的周期为2.
因为，所以.
所以
.
故答案为:26.
40．（2023·重庆·统考一模）在矩形ABCD中，，点E为边AB的中点，点F为线段BC上的动点，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
由题意得，，因为为中点，所以，
设，则，
，，则，
，则，
故答案为：.
41．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为､，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】如图所示：
由双曲线的定义得：，
又，且，
所以是矩形，且 ，
又因为，
即，
解得，
故答案为：
42．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图①，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到达点处（如图②），，则三棱锥的内切球半径为______.
【答案】
【解析】如图，过点作，且，连接，，则是平行四边形，由题意可知，，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以，所以，所以.又平面，所以平面平面.
取的中点，连接，则，平面，平面平面，
则平面，且，所以三棱锥的体积.又，，，所以三棱锥的表面积，设三棱锥的内切球半径为，则.
故答案为：．
43．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体ABCD－EFGH，其中ABCD是边长为4的正方形，EFGH为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，，，，且平面ABCD与平面EFGH的距离为4，则异面直线BG与CH所成角的余弦值为______．
【答案】
【解析】如图，把此六面体补成正方体，连接AH，AC，由题可知，
所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角，
在△AHC中，，，，
则．
故答案为：
44．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数（，）在区间内单调，在区间内不单调，则ω的值为______．
【答案】2
【解析】依题意得，即．
因为当时，，
所以()，则 ，()，解得：().
令k＝0，则1≤ω≤2，而，故，又ω∈Z，所以ω＝2，经检验，ω＝2符合题意．
故答案为：2
45．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知和是函数的两个极值点，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意可得，
故和是函数的两个零点，即是方程的两个根，
又，所以，所以和是方程的两个根，
所以函数的图象与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为，
由于，所以当或 时，当时，，
故在区间，内单调递减，在区间内单调递增，且当时，，
作出的图象如图所示：
由图可知，且，
因为，取，并令，则，
所以，解得，此时，
故时，即m的取值范围是，
故答案为：
46．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知一正四面体棱长为4，其内部放置有一正方体，且正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，则正方体在转动过程中占据的空间体积最大为__________．
【答案】
【解析】正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，所以正方体在正四面体的内切球中，
要使得正方体在转动过程中占据的空间体积最大，即正方体的棱长最长，即正方体的外接球恰好为正四面体的内切球
所以正方体的棱长最长时，正方体的对角线为正四面体的内切球的直径.
如图正四面体,设为底面中心,则平面，连接并延长交于点.
则为的中点，故，所以
所以
所以正四面体的体积为
正四面体的表面积为
设正四面体的内切球的半径为，则，解得
由正方体的对角线为正四面体的内切球的直径，设正方体的棱长为
则，解得 ，体积为
答案为：
47．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.
【答案】
【解析】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，
所以－＝＋，即＝T＝· (k∈Z)，
所以ω＝2k＋1(k∈Z)，
又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，解得ω≤12，
ω＝11时f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，不成立，
ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9.
故答案为：9
四、双空题
48．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，线段的垂直平分线交于，两点，交轴于点，为坐标原点，，则的离心率为______；若的周长为8，则______.
【答案】
【解析】由，，可得，，
连接，因为点在线段的垂直平分线上，所以，
在中，由勾股定理得，所以，
整理得，所以，即，所以的离心率.
在中，，所以.
设直线交轴于点，交于点，
在中，,，
由，所以为的左焦点，
又，，所以的周长等于的周长，
又的周长为，的周长为8，
所以，
解得，所以，
故.
故答案为：；.