河北省承德市高新区第一中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考模拟试卷

这是一份河北省承德市高新区第一中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考模拟试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（ ）A．B．C．1D．3
5．已知，则（ ）A．B．C．D．
6．如图，在四棱台中，正方形和的中心分别为和平面，则直线与直线所成角的正切值为（ ） A．B．C．D．
7．已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数对任意的都有恒成立，则
A． B．
C． D．与的大小不确定
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9．已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A．B．数列的通项公式为：
C．数列的前n项和为：D．数列为递减数列
11．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．点到侧棱的距离相等B．正四棱柱外接球的体积为
C．若，则平面D．点到平面的距离为
12．设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，，且，若，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．1D．2
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知向量满足，，则 ．
14．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的外接圆半径为，且，则角 ．
15．已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为 ．
16．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题10分)已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调减区间；
(2)求函数在上的值域．
18．(本小题12分)已知各项都为正数的数列满足，，，等差数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求数列的前项和.
19．(本小题12分)已知双曲线：经过点，，分别是的左、右焦点，，分别是的左、右顶点，且．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于，两点，直线与直线的斜率分别为，，求证：为定值．
20．(本小题12分)如图，在三棱锥中，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
21．(本小题12分)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知，若恒成立，求的值．
22．(本小题12分)在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求面积的最大值；
(2)是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案：
1．D
2．A
3．D
4．C
5．A
6．B
7．C
8．C
9．BC
10．ACD
11．BD
12．ABC
13．
14．/
15．
16．/
17．【详解】（1）
，
的最小正周期为．
令，解得，
的单调减区间为．
（2），．
令，则，
，
，
在上的值域为．
18．【详解】（1）因为数列的各项都为正数，且，
所以数列是等比数列.
设等比数列的公比为（且）.
由，，得，
即，解得或舍去），
所以.
设等差数列的公差为.
由题意，得
解得
所以.
（2）因为，
所以，
所以
.
19． 【详解】（1）设，，因为，所以，，
又，所以，得到，
又且，联立解得，
所以双曲线方程为.
（2）由题知直线的斜率不为，设直线的方程为，，
由，消得到，
则有，，
由韦达定理得，，
又，所以，
故
将代入，得到为定值.
20．【详解】（1）证明：在中，，所以，
过点D作于点O，连接，则，
因为，，为公共边，所以.
所以，且，又，所以，所以，
又因为，平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）设存在满足题意的点E，由（1）可知，，两两垂直，以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，，
，，，
设，，则，
显然平面的法向量.
设平面的法向量，则，
取，则，，所以，
若二面角的正切值为，则其余弦值为，
则，
整理得，所以，又因为，所以，
所以，即当时，二面角的正切值为.
21．【详解】（1）令，其定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，得，在上，则单调递增，在上，则单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）若恒成立，则恒成立.
令，其定义域为.
易得，而，所以是的极小值点，即.
，，
所以，即.
现证明时，恒成立.
当时，，，
令，易知，
因为时，，所以在上单调递增，
所以时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
因此，在处取得最小值，即最小值为，
所以恒成立，即也满足题意.
综上所述，恒成立时.
22．【详解】（1）依题意，设，直线的斜率显然存在，
故设直线为，联立，消去，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，
故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知，面积的最大值为.
（2）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；
当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；
当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，
由（1）知，
又因为点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
则，
所以，则三点共线，所以；
综上，存在与点不同的定点，使恒成立，且.