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安徽省宣城市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）
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这是一份安徽省宣城市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共24页。
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由递推关系依次求 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
2. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由直线方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，可判断出 SKIPIF 1 < 0 为钝角，再利用同角三角函数的基本关系可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由同角三角函数的基本关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，考查三角函数值的求法，是基础题．
3. 数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线 SKIPIF 1 < 0 的一部分，且点 SKIPIF 1 < 0 在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. （0，－1）C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据点 SKIPIF 1 < 0 的坐标求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，且抛物线开口向下，
所以抛物线的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4. 如图所示，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理结合空间向量线性运算求解.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项都是正数，其公比为4，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】解：根据等比数列性质，有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足 SKIPIF 1 < 0 ＝2，则动点M的轨迹方程为
A. （x﹣5）2+y2＝16B. x2+（y﹣5）2＝9
C. （x+5）2+y2＝16D. x2+（y+5）2＝9
【答案】A
【解析】
【分析】首先设 SKIPIF 1 < 0 ，代入两点间的距离求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，最后整理方程.
【详解】解析：设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2，
即x2﹣10x+y2+9＝0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .选A.
【点睛】本题考查了轨迹方程的求解方法，其中属于直接法，一般轨迹方程的求解有1.直接法，2.代入法，3.定义法，4.参数法.
7. 已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据正四面体的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三向量两两夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，即可通过向量数量积的运算率得出答案.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 四面体ABCD是正四面体，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三向量两两夹角 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点E，F分别是BC，AD的中点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
8. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且与该双曲线的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有 SKIPIF 1 < 0 ，即可求离心率范围.
【详解】根据双曲线定义知：△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 时，n的最大值是18D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
A：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
所以等差数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，故A错误；
B： SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
C： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以n的最大值是18，故C正确；
D： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：BC.
10. 圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
B. SKIPIF 1 < 0 的最大值是9
C. 从 SKIPIF 1 < 0 点向圆 SKIPIF 1 < 0 引切线，切线长的最小值是3
D. 直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 不在直线 SKIPIF 1 < 0 上判断A；根据 SKIPIF 1 < 0 判断B；根据 SKIPIF 1 < 0 时，切线长最小求解判断C；根据直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，再结合弦长公式判断D.
【详解】解：对于A选项， SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 ，∴圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴圆 SKIPIF 1 < 0 不关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故A选项错误；
对于B选项，由圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故B选项错误；
对于C选项，从 SKIPIF 1 < 0 点向圆 SKIPIF 1 < 0 引切线，当 SKIPIF 1 < 0 时，切线长最小，最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D选项，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，该定点在圆C内，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长最长时，所截弦长为过点 SKIPIF 1 < 0 和圆心的圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，即弦长的最大值为8，
最短的弦长为垂直与该直径的弦长， SKIPIF 1 < 0 和圆心 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，最短弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：CD．
11. 如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. 平面 SKIPIF 1 < 0 截该长方体所得截面面积为 SKIPIF 1 < 0 D. 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据长方体的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明；对于B：根据底面 SKIPIF 1 < 0 是正方体，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据三垂线定理结合长方体性质即可证明；对于C：根据长方体对称性易知平面 SKIPIF 1 < 0 截该长方体所得截面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可根据余弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可根据同角三角函数公式得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可根据三角形面积公式得出答案验证；对于D：根据已知直接利用三棱锥的体积公式得出答案；
【详解】对于选项A：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为长方体， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
对于选项B：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对于选项C：
根据长方体对称性易知平面 SKIPIF 1 < 0 截该长方体所得截面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于选项D：
三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面积 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：ABD.
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
B. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C. 点 SKIPIF 1 < 0 到两条渐近线的距离之积为 SKIPIF 1 < 0
D. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的另一支交于点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】不妨设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上一点，延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合双曲线的定义，中位线定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而判断AB；设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，再直接计算点 SKIPIF 1 < 0 到两条渐近线的距离之积判断C；设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据点差法求解判断D.
【详解】解：不妨设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上一点，
延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
根据双曲线的定义得， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为其中位线， SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以A不正确，B正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以，点 SKIPIF 1 < 0 到两条渐近线的距离之积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
①-②并整理得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合几何关系得到 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，进而求得双曲线的解析式.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据两条直线平行列方程，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】解：将直线 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式，进而写出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，可得答案.
【详解】解：令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两条公切线，则实数a的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由题知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，进而根据位置关系求解即可.
【详解】解：由题知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两条公切线，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以，实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面BCDE， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该四棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 在直径为 SKIPIF 1 < 0 的圆上，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到底面外接圆的半径，再利用 SKIPIF 1 < 0 平面BCDE可得球心到底面的距离，即可求解
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在直径为 SKIPIF 1 < 0 的圆上，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，即四边形 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 外接圆的直径即 SKIPIF 1 < 0 外接圆的直径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面BCDE，所以四棱锥的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四棱锥的外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，对应的表面积为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式：
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）首先根据已知条件列方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据等差数列通项公式求 SKIPIF 1 < 0 即得；
（2）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，侧棱 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据 SKIPIF 1 < 0 即可证明；
（2）根据题意，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【小问1详解】
证明：连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设点P到平面MAC的距离为d，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线于A、B两点.
（1）若P为 SKIPIF 1 < 0 中点，求l的方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）方法一：利用点差法求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意验证所求直线与抛物线有两个交点；
方法二：设中点弦所在直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意考虑中点弦直线斜率不存在的情况是否满足题意；
（2）由抛物线的定义转化 SKIPIF 1 < 0 ，方法一：设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，注意比较直线斜率不存在的情况 SKIPIF 1 < 0 的值；方法二：设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，此种设法已包含直线斜率不存在的情况.
【详解】解：（1）方法一：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
经检验，符合题意.
方法二：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当斜率不存时，显然不成立.
当斜率存在时，设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴l的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）方法一：由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0
当斜率不存在时，直线l： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当斜率存在时，设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
方法二：由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0
显然直线l不平行于x轴，设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系；考查数形结合、分类讨论以及函数方程等数学思想；考查逻辑推理、直观想象以及数学运算等核心素养.
20. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，在① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.
问题：若 SKIPIF 1 < 0 ，且______，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据等比中项性质，结合等差数列通项公式得 SKIPIF 1 < 0 ，再求通项公式即可；
（2）根据题意求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据错位相减法求解即可.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为d，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.
所以， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：选①，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时等式也成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
选②，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为以1为首项2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
选③，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时等式也成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
21. 如图，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角余弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 即可证明结论；
（2）分别取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【小问1详解】
证明：在正三棱柱中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为AB， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：分别取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由正三棱柱性质得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因为在等边三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
22. 如图，在圆 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 .（当点 SKIPIF 1 < 0 经过圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点时，规定点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合.）
（1）求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为轨迹 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，判断直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点，若过定点，求出该定点坐标.若不过定点，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据相关点法求解即可；
（2）根据题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而与椭圆方程联立，结合韦达定理，垂直关系的向量表示得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，再分别讨论即可得答案.
【小问1详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
小问2详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 为轨迹 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的两点，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线过 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在同一直线上，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 .
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点 SKIPIF 1 < 0 .
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由递推关系依次求 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
2. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由直线方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，可判断出 SKIPIF 1 < 0 为钝角，再利用同角三角函数的基本关系可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由同角三角函数的基本关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，考查三角函数值的求法，是基础题．
3. 数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线 SKIPIF 1 < 0 的一部分，且点 SKIPIF 1 < 0 在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. （0，－1）C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据点 SKIPIF 1 < 0 的坐标求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】依题意 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，且抛物线开口向下，
所以抛物线的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4. 如图所示，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理结合空间向量线性运算求解.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项都是正数，其公比为4，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】解：根据等比数列性质，有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足 SKIPIF 1 < 0 ＝2，则动点M的轨迹方程为
A. （x﹣5）2+y2＝16B. x2+（y﹣5）2＝9
C. （x+5）2+y2＝16D. x2+（y+5）2＝9
【答案】A
【解析】
【分析】首先设 SKIPIF 1 < 0 ，代入两点间的距离求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，最后整理方程.
【详解】解析：设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2，
即x2﹣10x+y2+9＝0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .选A.
【点睛】本题考查了轨迹方程的求解方法，其中属于直接法，一般轨迹方程的求解有1.直接法，2.代入法，3.定义法，4.参数法.
7. 已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据正四面体的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三向量两两夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，即可通过向量数量积的运算率得出答案.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 四面体ABCD是正四面体，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三向量两两夹角 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点E，F分别是BC，AD的中点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
8. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且与该双曲线的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有 SKIPIF 1 < 0 ，即可求离心率范围.
【详解】根据双曲线定义知：△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线离心率的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 时，n的最大值是18D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
A：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
所以等差数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，故A错误；
B： SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
C： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以n的最大值是18，故C正确；
D： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：BC.
10. 圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
B. SKIPIF 1 < 0 的最大值是9
C. 从 SKIPIF 1 < 0 点向圆 SKIPIF 1 < 0 引切线，切线长的最小值是3
D. 直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 不在直线 SKIPIF 1 < 0 上判断A；根据 SKIPIF 1 < 0 判断B；根据 SKIPIF 1 < 0 时，切线长最小求解判断C；根据直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，再结合弦长公式判断D.
【详解】解：对于A选项， SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 ，∴圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴圆 SKIPIF 1 < 0 不关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故A选项错误；
对于B选项，由圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故B选项错误；
对于C选项，从 SKIPIF 1 < 0 点向圆 SKIPIF 1 < 0 引切线，当 SKIPIF 1 < 0 时，切线长最小，最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D选项，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，该定点在圆C内，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长最长时，所截弦长为过点 SKIPIF 1 < 0 和圆心的圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，即弦长的最大值为8，
最短的弦长为垂直与该直径的弦长， SKIPIF 1 < 0 和圆心 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，最短弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：CD．
11. 如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. 平面 SKIPIF 1 < 0 截该长方体所得截面面积为 SKIPIF 1 < 0 D. 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据长方体的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明；对于B：根据底面 SKIPIF 1 < 0 是正方体，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据三垂线定理结合长方体性质即可证明；对于C：根据长方体对称性易知平面 SKIPIF 1 < 0 截该长方体所得截面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可根据余弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可根据同角三角函数公式得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可根据三角形面积公式得出答案验证；对于D：根据已知直接利用三棱锥的体积公式得出答案；
【详解】对于选项A：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为长方体， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
对于选项B：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对于选项C：
根据长方体对称性易知平面 SKIPIF 1 < 0 截该长方体所得截面面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于选项D：
三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面积 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：ABD.
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
B. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C. 点 SKIPIF 1 < 0 到两条渐近线的距离之积为 SKIPIF 1 < 0
D. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的另一支交于点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】不妨设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上一点，延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合双曲线的定义，中位线定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而判断AB；设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，再直接计算点 SKIPIF 1 < 0 到两条渐近线的距离之积判断C；设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据点差法求解判断D.
【详解】解：不妨设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上一点，
延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
根据双曲线的定义得， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为其中位线， SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以A不正确，B正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以，点 SKIPIF 1 < 0 到两条渐近线的距离之积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
①-②并整理得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合几何关系得到 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，进而求得双曲线的解析式.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据两条直线平行列方程，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】解：将直线 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式，进而写出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，可得答案.
【详解】解：令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两条公切线，则实数a的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由题知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，进而根据位置关系求解即可.
【详解】解：由题知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 恰有两条公切线，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以，实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面BCDE， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该四棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 在直径为 SKIPIF 1 < 0 的圆上，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到底面外接圆的半径，再利用 SKIPIF 1 < 0 平面BCDE可得球心到底面的距离，即可求解
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在直径为 SKIPIF 1 < 0 的圆上，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，即四边形 SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 外接圆的直径即 SKIPIF 1 < 0 外接圆的直径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面BCDE，所以四棱锥的外接球的球心 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四棱锥的外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，对应的表面积为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式：
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）首先根据已知条件列方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据等差数列通项公式求 SKIPIF 1 < 0 即得；
（2）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，侧棱 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据 SKIPIF 1 < 0 即可证明；
（2）根据题意，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【小问1详解】
证明：连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设点P到平面MAC的距离为d，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线于A、B两点.
（1）若P为 SKIPIF 1 < 0 中点，求l的方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）方法一：利用点差法求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意验证所求直线与抛物线有两个交点；
方法二：设中点弦所在直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意考虑中点弦直线斜率不存在的情况是否满足题意；
（2）由抛物线的定义转化 SKIPIF 1 < 0 ，方法一：设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，注意比较直线斜率不存在的情况 SKIPIF 1 < 0 的值；方法二：设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，此种设法已包含直线斜率不存在的情况.
【详解】解：（1）方法一：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
经检验，符合题意.
方法二：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当斜率不存时，显然不成立.
当斜率存在时，设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴l的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）方法一：由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0
当斜率不存在时，直线l： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当斜率存在时，设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
方法二：由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0
显然直线l不平行于x轴，设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系；考查数形结合、分类讨论以及函数方程等数学思想；考查逻辑推理、直观想象以及数学运算等核心素养.
20. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为零的等差数列， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，在① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.
问题：若 SKIPIF 1 < 0 ，且______，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据等比中项性质，结合等差数列通项公式得 SKIPIF 1 < 0 ，再求通项公式即可；
（2）根据题意求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据错位相减法求解即可.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为d，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.
所以， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：选①，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时等式也成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
选②，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为以1为首项2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
选③，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时等式也成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
21. 如图，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角余弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 即可证明结论；
（2）分别取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【小问1详解】
证明：在正三棱柱中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为AB， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：分别取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由正三棱柱性质得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因为在等边三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
22. 如图，在圆 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 .（当点 SKIPIF 1 < 0 经过圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点时，规定点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合.）
（1）求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为轨迹 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，判断直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点，若过定点，求出该定点坐标.若不过定点，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据相关点法求解即可；
（2）根据题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而与椭圆方程联立，结合韦达定理，垂直关系的向量表示得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，再分别讨论即可得答案.
【小问1详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
小问2详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 为轨迹 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的两点，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线过 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在同一直线上，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 .
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点 SKIPIF 1 < 0 .
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