大湾区2022-2023学年高二数学上期末联考试题（含答案详解）

这是一份大湾区2022-2023学年高二数学上期末联考试题（含答案详解），共23页。试卷主要包含了直线y的斜率为，已知，则等于，某学习小组研究一种卫星接收天线，已知直线，某校高一等内容，欢迎下载使用。
1．直线y的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】直线的斜率．
【解答】解：由y可得y，
故直线的斜率为．
故选：D．
2．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【解答】解：∵，
∴＝．
故选：C．
3．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【考点】抛物线的性质．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为：，，由题意可得，则的纵坐标为，
再由深度为，可得的横坐标为，
即（，），将的坐标代入抛物线的方程可得：，
可得，
所以抛物线的方程为：，
所以抛物线的焦点到顶点的距离为，
故选：．
4．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A．66B．91C．107D．120
【考点】数列的应用；归纳推理．
【解答】解：根据题意，设第个叠放图形正方体的数目之和为，
第个叠放图形中共有层，从上到下，每一层正方体的个数为：，，，…
则第个叠放图形中各层正方体的个数，构成了以为首项，以为公差的等差数列
所以第个叠放图形中正方体的数目之和＝，
故个叠放的图形中小正方体木块的总数为＝，
故选：．
5．已知直线：与直线：平行，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【解答】解：直线：与直线：平行，
可得，直线化为，即，
所以与之间的距离：．
故选：．
6．已知等差数列中，，，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【考点】数列的求和．
【解答】等差数列中，，，
则：，
所以：，
整理得：，
则：数列设＝，
则：，，，，…
＝1，
＝，
＝2022
故选：D．
7．已知正方体的棱长为，若点在正方体的内部且满足，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【解答】解：分别以为轴、轴、轴作出空间直角坐标系如图
∵正方体的棱长为
∴
∵
∴
可得
∵

∴
根据同角三角函数关系，得
∴P点到直线AB的距离为
故选：．
8．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：、是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线C的方程为，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点，时，光线由到再到所经过的路程为
D．若点，，直线与相切，则
【考点】双曲线的性质．
【解答】解：双曲线的方程为，可得，，，
渐近线方程为x，渐近线的斜率分别为，，
由于在双曲线的右支上，可得射线所在直线的斜率的范围为，，故A正确；
若，设，，
则，由双曲线的定义可得，所以，即，故B正确；
当过点，时，光线由到再到所经过的路程为，
故错误；
由，，，，，，可得＝6，＝4，
因为直线PT与C相切，在点P处的切线平分∠，可得，
又，解得，故正确．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．若椭圆的焦点为，，，，长轴长为，则椭圆上的点，满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的性质．
【解答】解：由椭圆的定义可知正确；
中，由椭圆的标准方程：1可得1⇒1，时才成立，所以不正确；
中，由椭圆的第二定义可得到右焦点的距离与到右准线的距离为离心率，即，所以正确；
中由椭圆的第二定义可得|x|，因为，所以，所以正确；
故选：．
10．某校高一（17）班有甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，记事件为“三名学生都是女生”，事件为“三名学生都是男生”，事件为“三名学生至少有一名是男生”，事件为“三名学生不都是女生”，则（ ）
A．B．事件与事件互斥
C．D．事件与事件对立
【考点】互斥事件与对立事件．
【解答】解：对于，甲、乙、丙为女生的概率均为，故，故正确，
对于，，两事件不可能同时发生，为互斥事件，故正确，
对于，事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生，三名学生有两名男生，与事件义相同，故＝，故错误，
对于，事件的对立事件为事件，故正确．
故选：．
11．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为，，，，，，，若这组数据的第百分位数与第百分位数的差为，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【考点】百分位数．
【解答】解：将已知的个数从小到大排序为，，，，，，
若，则这组数据的第百分位数与第百分位数分别为和，
他们的差为，不符合条件，
若，则这组数据的第百分位数与第百分位数分别为和，
它们的差为，不符合条件，
若，则这组数据的第百分位数与第百分位数分别为和或和
则，解得或，符合条件．
故选：．
12．用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与,有如下关系:当α时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．其中，，,现有一定线段，其与平面所成角φ（如图），为斜足，上一动点满足∠，设点在的运动轨迹是，则（ ）
A．当φ时，是椭圆
B．当φ时，是双曲线
C．当φ时，是抛物线
D．当φ时，是圆
【考点】平面与圆锥面的截线．
【解答】解：∵为定线段，∠为定值，∴在以为轴的圆锥上运动，
其中圆锥的轴截面半顶角为，与圆锥的夹角为，
对于，当φ时，，平面截圆锥得椭圆，∴是椭圆，故正确；
对于，当φ时，，平面截圆锥得椭圆，∴是椭圆，故错误；
对于，当φ时，，平面截圆锥得抛物线，∴是抛物线，故正确；
对于，当φ时，，平面截圆锥得椭圆，∴是椭圆，故错误
故选：AC．
三．填空题（共4小题）
13．设数列的前项和为，且满足两个条件：①是单调递减数列；②是单调递增数列．请写出的一个通项公式＝
【考点】数列的函数特性．
【解答】解：根据题意，要求数列是单调递减数列且是单调递增数列；
可以考虑是公比在，之间的正项等比数列，
故的通项公式可以为，则1，
满足①是单调递减数列；②是单调递增数列；
故答案为：，（答案不唯一）．
14．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为120°，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距 ．
【考点】解三角形．
【解答】解：分别过点，作∥，∥两直线交于，连接，
所以是平行四边形，所以，
又由已知可得，所以是矩形，所以，
又，
所以∠是库底与水坝斜面所成二面角的平面角，故∠120°，
在中，由余弦定理可得cs120°，
又，，，
所以平面，又∥，所以平面，又平，
所以，
∴，
所以．
故答案为：20m．
15已知点，、，，为平面上的动直线，点，到直线的距离分别为，，则这样的直线有 条.
【考点】直线与圆相交的性质．
【解答】解：以，为圆心，为半径，，为圆心，为半径，分别作圆，如图所示：
满足点到直线的距离为，点到直线为的直线的条数，即为两圆公切线的条数，
∵，、，，
∴，
∴两圆外离，公切线有4条，
故满足点到直线的距离为，点到直线为的直线有4条．
16．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动．当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动．记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，过上的点向为 .
【考点】轨迹方程．
【解答】解：以滑槽所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
因为，所以点的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为
设点csθ，sinθ，由于，则2csθ，，
由，可得，设，，
所以csθ，sinθcsθ，sinθ，解得4csθ，2sinθ，
则点的运动轨迹是椭圆，其方程为，
设上的点4csα，2sinα，
则，
则切线长为，
所以切线长的最大值为．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．如图，在长方体中，，，是棱的中点．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值；
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；二面角的平面角及求法．
【解答】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，
，，；
，，，，，，
令 ，，，
因为0，0，所以是平面的法向量，
平面的法向量是，，，
所以平面与平面夹角的余弦值为||．
18．已知数列的前项和为．
求证：数列{}是等差数列；
若对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围．
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质；数列递推式．
【解答】证明：当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，即，
等式的两边同时除以可得，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为．
解：由可得，∴，
对任意正整数，不等式恒成立，即，
令，则．
当时，即；
当时，，即⋯．
所以，数列中的最大项为，所以，，所以.
19．某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），分成[75，80），[80，85）[85，90），[90，95），[95，100]共五组后，得到的频率分布表如下所示：
（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；
（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．
【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【解答】解：（1）第2组的频数为100×0.300＝30，
所以①处应填的数为100﹣30﹣30﹣20﹣10＝10，
②处应填的数为30÷100＝0.300，
频率分布直方图如图所示，
（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：人，第4组：人，第5组：人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试，
设第3组的3位学生为A1，A2，A3，第4组的2位学生为B1，B2，第5组的1位学生为C1，则从这6位学生中抽取2位学生有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），
（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），
（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），
（B1，B2），（B1，C1），
（B2，C1），共15种情况．
抽到的2位学生不同组的有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共11种情况．
所以抽到的2位学生不同组的概率为．
20．已知圆过点，，，，它与轴的交点为，，，，与轴的交点为，，，，且．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若，3，直线：，从点发出的一条光线经直线反射后与圆有交点，求反射光线所在的直线的斜率的取值范围．
【考点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用；与直线关于点、直线对称的直线方程；圆的标准方程．
【解答】解：（1）根据题意，设所求圆的方程为，
令,有，若该圆与轴的交点为，，，，则有，
令,有，若该圆与轴的交点为，，，则有，
又由，则，①
又由该圆经过点，，，，
则有，②和，③
联立①②③可得：，，，
则要求圆的方程为．
即圆C：为所求；
（2）因为，3关于直线：的对称点，，
，，解得，
∴反射光线所在直线过点，，
设反射光线所在直线方程为：；
所以，整理可得：解得，
所以反射光线所在的直线斜率取值范围为．
21．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组，，相对应，称向量的斜60°坐标为，，，记作．
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体﹣中，，，
∠∠∠60°，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”如下图所示.
①若，求向量的斜60°坐标；
②若，且，求．
【考点】共线向量与共面向量；空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；类比推理．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的斜60°坐标为[0，3，5]．
（2）设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
；
②由题，
由M＝[2，t，0]，知，
由，知：
，
∴，
∴，
解得
则
22．已知椭圆：1，点，，过点作斜率大于的直线与椭圆相切，切点为．
（1）求点的坐标；
（2）过线段的中点作直线交椭圆于，两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，求证：∥；
（3）请结合（2）的问题解决，运用类比推理，猜想写出抛物线中与之对应的一个相关结论（无需证明）．
【考点】直线与椭圆的综合．
【解答】解：（1）设直线方程为，
联立，得，（*）
因为直线与椭圆相切，
所以，
解得，
因为，
所以k，
所以方程（*）可化为，
解得，
所以y[]1，
所以的坐标为，．
（2）证明：由（1）可得的中点的坐标为，，
所以直线的方程为y，即y，
联立，解得，，
所以，，
不妨设，，1，，
所以，，
所以直线的方程为，
联立椭圆的方程可得，
解得1，
所以1，，
同理可得1，，
所以，
所以∥．
（3）过线段的中点作直线交抛物线于，两点，直线与抛物线的另一个交点为，直线与抛物线的另一个交点为，则∥．组号
分组
频数
频率
第1组
[75，80）
①
第2组
[80，85）
0.300
第3组
[85，90）
30
②
第4组
[90，95）
20
0.200
第5组
[95，100]
10
0.100
合计
100
1.00