广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）

这是一份广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解），共20页。试卷主要包含了 已知O为坐标原点，P是椭圆E等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答第II卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
第I卷
一､单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为（ ）
A. 3B. 1C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由直线两点式方程可写出直线的方程，令其中 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得答案.
【详解】由题意可得过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线在 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
2. 设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3. 已知平面 SKIPIF 1 < 0 外的直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量是 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交但不垂直D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 确定正确答案.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4. 若直线 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 1D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线是圆对称轴，所以圆心在直线上，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
5. 在前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式化简已知等式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合等比数列求和公式可得结果.
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6. 已知正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. 3B. 14C. 28D. 42
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，则可由已知等式求 SKIPIF 1 < 0 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求 SKIPIF 1 < 0 得值.
【详解】解：正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
7. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段 SKIPIF 1 < 0 与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题知点A为 SKIPIF 1 < 0 的中点，结合已知得 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的定义即可求解.
【详解】设l与x轴的交点为H，由O为 SKIPIF 1 < 0 中点，知点A为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为Q，则由抛物线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
8. 已知O为坐标原点，P是椭圆E： SKIPIF 1 < 0 上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆的对称性，及 SKIPIF 1 < 0 ，得四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，设 SKIPIF 1 < 0 ，利用椭圆的定义，及条件所给出的长度关系，可表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理，求出m，推断出点P的位置，求出离心率.
【详解】
如图，设左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），故点P为椭圆的上顶点.
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】解题时注意数形结合，抓住椭圆的对称性，将图形关系用含a，b，c的代数式表示出来，即可求解离心率.
二､多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 是等差数列B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 的函数性质可判断D.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，符合 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
因为公差 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，
易知当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：AB
10. 已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C是圆，其半径为2
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上
C. 若线C过点 SKIPIF 1 < 0 ，则C是双曲线
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线C不表示任何图形
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，曲线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，表示圆，可求半径，判断A;
对于B， SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可判断表示椭圆，判断B;
对于C，将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，求得曲线方程，
判断C; 对于D，可举特例进行说明，判断D.
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，其半径为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 表示的是椭圆，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以其焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，故B正确；
对于C，将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 是双曲线，故C正确；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足条件，此时曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，表示两条直线，
故D错误，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
11. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列 SKIPIF 1 < 0 说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 是偶数
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项ACD通过递推关系 SKIPIF 1 < 0 分析即可．
选项B通过奇数偶数特性分析可得出是奇数偶数是周期出现的．
【详解】由已知，数列 SKIPIF 1 < 0 满足递推关系 SKIPIF 1 < 0 ．
选项 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 正确；
选项 SKIPIF 1 < 0 ：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环， SKIPIF 1 < 0 ，
恰好能被3整除，且 SKIPIF 1 < 0 为偶数，所以 SKIPIF 1 < 0 也为偶数，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
选项 SKIPIF 1 < 0 ：若选项C正确，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，依次类推，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，显然错误，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
选项 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
12. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点．一束平行于x轴的光线 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 射入，经过C上的点 SKIPIF 1 < 0 反射后，再经C上另一点 SKIPIF 1 < 0 反射后，沿直线 SKIPIF 1 < 0 射出，经过点Q，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 延长 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点D，则D，B，Q三点共线
C. SKIPIF 1 < 0 D. 若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 平行于x轴的，且 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，可推出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，并联立抛物线的方程，结合韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可判断A是否正确；解得 SKIPIF 1 < 0 点坐标，推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点纵坐标都相同，即可判断B是否正确；由弦长公式计算出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出C是否正确； SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 推出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，计算 SKIPIF 1 < 0 的值，即可判断D是否正确；．
【详解】如图所示：

SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 平行于x轴的，且 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线的方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题知，直线 SKIPIF 1 < 0 经过焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A选项：由 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A错误；
对于B选项：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 点纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由光学性质可知 SKIPIF 1 < 0 平行于x轴，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点纵坐标都相同，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，故选项B正确
对于C选项： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
对于D选项：由光学性质可知 SKIPIF 1 < 0 平行于x轴， SKIPIF 1 < 0 平行于x轴，
则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确．
故选：BCD．
第II卷
三､填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分.
13. 若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 即可解决.
【详解】由题知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
故答案为：9.
14. 如图，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，写出对应点的坐标，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】由题意可知： SKIPIF 1 < 0 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 得出数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且公差为1，然后求得 SKIPIF 1 < 0 ，再代入 SKIPIF 1 < 0 可得．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，公差为1，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
16. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点和上顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，以原点 SKIPIF 1 < 0 为圆心的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，且该圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点.若四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，且平行四边形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的长轴长为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据直线与圆相切可求得圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程联立可求得 SKIPIF 1 < 0 坐标，由 SKIPIF 1 < 0 可构造齐次方程求得离心率 SKIPIF 1 < 0 ，从而用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而得到椭圆长轴长.
【详解】
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 椭圆长轴长 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四､解答题：本大题共6小题，满分52分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程.
17. 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求：
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，由已知条件利用余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程得到a的值，进而可求b得值.
(2)由已知条件，利用同角三角函数的基本关系可求 SKIPIF 1 < 0 得值，进而根据三角形的面积公示可计算得解.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，与题意不符合;
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
18. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 为等比数列，已知首项和公比，利用等比数列通项公式求解.
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，错位相减法求 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问1详解】
数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图，正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的所有棱长都为2，D为 SKIPIF 1 < 0 中点.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【答案】（1）见解析 （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，写出相关点坐标及相关向量，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明；
（2）计算平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，而 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，利用面面夹角余弦值的公式求出角的余弦值，则得到面面角的正弦值.
【小问1详解】
证明：取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为正三角形, SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 且相交于 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故以 SKIPIF 1 < 0 为原点, 建立如图所示空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，根据上下底面为正三角形，
易得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 二面角 SKIPIF 1 < 0 正伭值的大小为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值.
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线得定义可求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入点的坐标可求得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设出 SKIPIF 1 < 0 的方程及 SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，通过向量数量积为0建立 SKIPIF 1 < 0 的关系，代入方程易证明直线过定点.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立，
得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 点重合，舍去.
综上所述，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
21. 某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）表示A型车床在第n年创造的价值.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项的和， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，企业经过成本核算，若 SKIPIF 1 < 0 万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床，试问该企业须在第几年年初更换A型车床？
【答案】21. SKIPIF 1 < 0 （万元）
22. 该企业需要在第12年年初更换A型车床
【解析】
【分析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 构成首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 的等在数列， SKIPIF 1 < 0 构成首顶 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，从而可求出其通项公式，
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 是单调递减数列，于是，数列 SKIPIF 1 < 0 也是单调递减数列，然后分别求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的值，再由 SKIPIF 1 < 0 可求得结果.
【小问1详解】
题意得 SKIPIF 1 < 0 构成首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 等差数列.
故 SKIPIF 1 < 0 （万元）.
SKIPIF 1 < 0 构成首顶 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 万元 SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 （万元）.
【小问2详解】
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 是单调递减数列，于是，数列 SKIPIF 1 < 0 也是单调递减数列.
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 （万元）.
所以 SKIPIF 1 < 0 （万元）；
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （万元）；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （万元）.
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 .
故该企业需要在第12年年初更换A型车床.
22. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）动直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 恰有1个公共点，且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.
①求证：点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标的积为定值；
②求△ SKIPIF 1 < 0 周长的最小值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①证明见解析；②6.
【解析】
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 在圆上求出参数a，利用向量数量积的坐标表示求出参数c，进而可得双曲线方程.
（2）①设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，联立双曲线求得 SKIPIF 1 < 0 ，联立渐近线 SKIPIF 1 < 0 与直线方程求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，注意直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在情况的讨论；②法1：利用两点距离公式求 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式及①结论即可求周长最小值；法2：由①结论及两点距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由余弦定理求 SKIPIF 1 < 0 ，进而应用基本不等式求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，注意等号成立条件.
【小问1详解】
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
由直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点，且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别相交知：直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的渐近线不平行，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标的积为定值3.
②法1：由①， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以△ SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为6.
法2：由① SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在△ SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以△ SKIPIF 1 < 0 的周长的最小值为6.