广东省中山市中山纪念中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份广东省中山市中山纪念中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 90°D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜率和倾斜角的定义，直接可得答案.
【详解】化简得， SKIPIF 1 < 0 ，明显可见，该直线斜率不存在，倾斜角为90°
故选：C
2. 已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平行，则实数k的值为（ ）
A. －2B. 2C. 1D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组，求解即可．
【详解】∵向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平行，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
3. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 8B. 12C. 14D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】依据等差数列的性质去求 SKIPIF 1 < 0 的值
【详解】等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成首项为2，公差为2的等差数列
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +( SKIPIF 1 < 0 )+ ( SKIPIF 1 < 0 )+ ( SKIPIF 1 < 0 )=2+4+6+8=20
故选：D
4. 某班有包括甲、乙在内的4名学生到2个农场参加劳动实践活动，且每个学生只能到一个农场，每个农场2名学生.则甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
【详解】解：记四名学生为甲、乙为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，另外2名学生为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两个农场为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则分配方案为： SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ，共6种，
甲、乙两名学生被安排在不同农场的分配方案为： SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 农场 SKIPIF 1 < 0 ，共4种，
故甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个不同零点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 16B. SKIPIF 1 < 0 C. 14D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，化简 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个不同零点，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的性质，可得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故选：B.
6. 设 SKIPIF 1 < 0 为空间的三个不同向量，如果 SKIPIF 1 < 0 成立的等价条件为 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 线性无关，否则称它们线性相关.若 SKIPIF 1 < 0 线性相关，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】确定 SKIPIF 1 < 0 ，解得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 线性相关，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不同时为0，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
7. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 分别为该双曲线的左右焦点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合双曲线的定义求得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合基本不等式和函数的单调性求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的左支时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
当 SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），
对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
任取 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
8. 如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，P为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，Q为正方形 SKIPIF 1 < 0 内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则动点Q的轨迹是一条线段
B. 存在Q点，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C. 当且仅当Q点落在棱 SKIPIF 1 < 0 上某点处时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，那么Q点的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得动点轨迹判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，由 SKIPIF 1 < 0 与此法向量平行确定 SKIPIF 1 < 0 点位置，判断B，利用空间向量法求得 SKIPIF 1 < 0 到到平面 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值，确定 SKIPIF 1 < 0 点位置判断C，利用勾股定理确定 SKIPIF 1 < 0 点轨迹，得轨迹长度判断D．
【详解】选项A，分别取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平行且相等得平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 点轨迹是线段 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
选项B，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此正方形 SKIPIF 1 < 0 内（含边界）不存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
选项C， SKIPIF 1 < 0 面积为定值，当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，d有最大值1，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，d有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 时，d取得最大值1，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时，d取得最大值，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大，C正确；
选项D， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 点轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆弧，圆心角是 SKIPIF 1 < 0 ，轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过 SKIPIF 1 < 0 且与平面 SKIPIF 1 < 0 平行的平面 SKIPIF 1 < 0 ，由体积公式，在正方形 SKIPIF 1 < 0 内的点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积最大．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. （多选）点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线的距离为2，则a的值可以为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】把抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，化为标准形式 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故准线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，利用点到直线的距离可得答案.
【详解】抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因为点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线的距离为2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选AB．
【点晴】焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，计算时一定要找准 SKIPIF 1 < 0 的值.
10. 等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中最大的项
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 D. 若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和性质判断．
【详解】A错： SKIPIF 1 < 0 ；B对： SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 7；
C对： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
D错： SKIPIF 1 < 0 ，但不能得出 SKIPIF 1 < 0 是否为负，因此不一定有 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和性质，（1） SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2） SKIPIF 1 < 0 ，可由 SKIPIF 1 < 0 的正负确定 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小；（3） SKIPIF 1 < 0 ，因此可由 SKIPIF 1 < 0 的正负确定 SKIPIF 1 < 0 的正负．
11. 如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右项点为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长半轴长分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则以下结论中正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题中关系可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合椭圆的几何性质逐项判断即可.
【详解】由题图知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
且 SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确；
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有公共的左顶点和左焦点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右项点为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确．
故选：AC．
12. 若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断.
【详解】A选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .累加得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
B选项，由A选项可知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，B不正确；
C选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
累加得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D选项，由C选项中同理可知， SKIPIF 1 < 0 ，D不正确.
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：
SKIPIF 1 < 0
这10名同学数学成绩的 SKIPIF 1 < 0 分位数是___________.
【答案】146
【解析】
【分析】根据计算分位数的步骤，计算求解即可.
【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：
140,142,142,143,144,145,147,147,148,150
根据 SKIPIF 1 < 0 ，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；
10名同学数学成绩的 SKIPIF 1 < 0 分位数为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：146
14. 直线 SKIPIF 1 < 0 将单位圆 SKIPIF 1 < 0 分成长度 SKIPIF 1 < 0 的两段弧,则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据直线将单位圆分成长度 SKIPIF 1 < 0 的两段弧，求出劣弧所对圆心角，再根据半径为1，求出圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式求出 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】解:由题知 SKIPIF 1 < 0 分成长度 SKIPIF 1 < 0 的两段弧，
所以两段弧长所对圆心角之比为 SKIPIF 1 < 0 ，故劣弧所对圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂线，垂足 SKIPIF 1 < 0 ，画图如下:
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
即圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，根据点到直线的距离公式有: SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知定点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最小值为1，则a的值为___________．
【答案】2或4
【解析】
【分析】设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，求出|PA|的解析式，再利用二次函数的性质分析解答得解.
【详解】解：设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 .∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 (舍)，
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当x＝3时， SKIPIF 1 < 0 ，
故a＝2或a＝4，
综上得a＝2或4.
故答案为：2或4.
16. 圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = 1和双曲线C2: SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ .

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.
【详解】椭圆 SKIPIF 1 < 0 ；双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线和椭圆的焦点重合.
根据双曲线的定义有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
根据椭圆的定义由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以路程 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
（1）求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与轨迹 SKIPIF 1 < 0 相切，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，用两点间距离公式化简求解.
（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以P点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切；
当直线l的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 到l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
18. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值；
（3）在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
（3）存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1） SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到线面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
（3）假设存在，设 SKIPIF 1 < 0 ，计算 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行得到 SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 ，再利用向量的距离公式计算得到答案.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
以 SKIPIF 1 < 0 为原点，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
假设在棱 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
要使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
19. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到其准线的距离为2，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 值及直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据抛物线的焦准距得 SKIPIF 1 < 0 ，再设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，进而与抛物线联立，结合判别式求解即可；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而结合韦达定理与焦半径公式得 SKIPIF 1 < 0 ，再解方程即可得答案.
【小问1详解】
解：因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到其准线的距离为2，
所以， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，
所以，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故方程有两个不等的实数解.
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0
又由焦半径公式得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
20. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种主流经济形式．某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图．
（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”，所得频率直方图如图所示．
（i）请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数，并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数；
（ii）若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验，求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率．
【答案】（1）16家；4家；
（2）（i）6家；120家；（ii） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）由已知，可先计算小吃类、玩具类商家所占的比例，然后按照分层抽样的方法直接计算；
（2）由已知题意和图像可先求解出 SKIPIF 1 < 0 ，然后再直接计算直播平台优秀商家个数；可根据条件，优秀商家中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家，直接计算邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件的概率.
【小问1详解】
抽取小吃类商家 SKIPIF 1 < 0 （家），
抽取玩具类商家 SKIPIF 1 < 0 （家）；
【小问2详解】
由图可得 SKIPIF 1 < 0 ，
（i）该直播平台“优秀商家”个数约为 SKIPIF 1 < 0 （家）；
（ii）由已知得：抽取的“优秀商家”中来自300-350元平均日利润组的有4家，
来白350-400元平均日利润组的有2家．
设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
21. 已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，并判断 SKIPIF 1 < 0 是否是等差数列，说明理由；
（2）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列，理由见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，然后两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 从第2项起为等差数列，根据 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列，然后求通项即可；
（2）利用裂项相消方法求 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 为正项数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或-1（舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 从第2项起为等差数列，公差为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列.
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，且交点在椭圆E上，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】（1）由椭圆定义知 SKIPIF 1 < 0 为两圆半径之和，由点差法可得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到椭圆方程；
（2）设直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 中点在直线 SKIPIF 1 < 0 上求得 SKIPIF 1 < 0 值，注意检验直线PQ与椭圆有两个交点.
【小问1详解】
因圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，且交点在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①－② SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆E的方程： SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，PQ中点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由N在l上， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．