贵州省遵义市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份贵州省遵义市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共20页。

注意事项：
1． 考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码．
2． 客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选其它选项！主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相成的位置答题；在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求.
【详解】化直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，令直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线标准方程知p＝2，可得抛物线准线方程．
【详解】抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且2p=4, SKIPIF 1 < 0 =1，
∴抛物线的准线方程是x＝﹣1．
故选C．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．
3. 已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则x的值为（ ）
A. －2B. －1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出x的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
4. 已知正实数a、b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
故选：A.
5. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与2比较可得 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 用换底公式变换后构造函数，研究其单调性比较即可.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6. 已知两条直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，下列不正确的是（ ）
A. “a＝1”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件
B. 当 SKIPIF 1 < 0 时，两条直线间的距离为 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，两条直线不可能垂直
D. 直线 SKIPIF 1 < 0 横截距为1
【答案】D
【解析】
【分析】由直线平行关系可以判断A正确；利用平行线间距离公式可以判断B正确；利用垂直关系可以判断C正确；令 SKIPIF 1 < 0 可以求出直线 SKIPIF 1 < 0 得横截距.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，故舍去，所以A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 间的距离为
SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时， SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 横截距为-1，
所以D错误.
故选：D.
7. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示，则 SKIPIF 1 < 0 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象变换得到偶函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，再根据平移变换得到 SKIPIF 1 < 0 的图象.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 轴左侧作函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的图象，得到偶函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
向左平移一个单位得到 SKIPIF 1 < 0 的图象.
故选：A.
8. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B对立
C. 事件A与事件B相互独立D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A与事件B的基本事件可判断A，B；根据独立事件的概率公式可判断C；求出事件 SKIPIF 1 < 0 的概率可判断D.
【详解】对于A，B，事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，
这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不互斥，也不对立，A，B错误；
对于C，投掷一枚均匀骰子，共有基本事件6个，
事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为 SKIPIF 1 < 0 ,
B：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为 SKIPIF 1 < 0 ,
事件 SKIPIF 1 < 0 包含的基本事件个数有1个，其概率为 SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 ,故事件A与事件B相互独立，C正确；
对于D，事件 SKIPIF 1 < 0 包含的基本事件个数有朝上的点数为 SKIPIF 1 < 0 共4个，
故 SKIPIF 1 < 0 ，D错误，
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 函数f（x）为偶函数
B. 函数f（x）的定义域为 SKIPIF 1 < 0
C. 函数f（x）的最小值为2
D. 函数f（x）在（0，＋∞）单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：根据偶函数的定义即可判断；对于B：分母不为0即可判断；对于C：根据基本不等式即可判断；对于D：求导即可判断.
【详解】对于A： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数.故A正确；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .故B正确；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2.故C正确；
对于D： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.故D错误.
故选：ABC.
10. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 函数f（x）的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
B. 将函数f（x）的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后的图象关于y轴对称
C. 函数f（x）的一个对称中心为 SKIPIF 1 < 0
D. 函数f（x）在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
【答案】AD
【解析】
分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调性即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A项， SKIPIF 1 < 0 ，故A项正确；
对于B项， SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位后为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以图象不关于y轴对称.故B项错误；
对于C项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的对称中心.故C项错误；
对于D项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.故D项正确.
故选：AD.
11. 已知直线l： SKIPIF 1 < 0 ，点P为⊙M ： SKIPIF 1 < 0 上一点，则（ ）
A. 直线l与⊙M相离
B. 点P到直线l距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
D. 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】利用圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 与半径 SKIPIF 1 < 0 的关系可以判断A正确；点P到直线l距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，判断B错误；求出圆心 SKIPIF 1 < 0 关于直线l对称点 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出圆的方程，判断C正确；利用圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，求出其切线方程，判断D错误.
【详解】⊙M ： SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线l： SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l与⊙M相离，故A正确；
点P到直线l距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
设圆心 SKIPIF 1 < 0 关于直线l对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则与⊙M关于直线l对称的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
设平行于l且与⊙M相切的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AC.
12. 双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线右支交于A、B两点， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 内切圆半经分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 面积最小值为15
C. SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心的连线与x轴垂直
D. SKIPIF 1 < 0 为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：根据定义和双曲线性质得渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
B： SKIPIF 1 < 0 ，联立方程，找到面积的表达式，函数解析式找到最小值，在垂直时取到；
CD:画图，设圆 SKIPIF 1 < 0 切 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，推导出点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，证得 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，得证；
【详解】
选项 SKIPIF 1 < 0 :双曲线的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 化简成一般式为 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
选项 SKIPIF 1 < 0 ：设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ；
设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线为l显然与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直，设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于A， SKIPIF 1 < 0 均在双曲线右支，故
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 带入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
代入韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为15，正确；
选项 SKIPIF 1 < 0 :（如图所示） 过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线的右支交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，
由切线长定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标也为 SKIPIF 1 < 0 ，同理可知点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 轴，正确；
选项 SKIPIF 1 < 0 ：由C可知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 均与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 两圆外切.
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
故答案为：BCD
【点睛】方法点睛：双曲线中的面积最值问题的处理方法：设出直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，设出交点坐标 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，可根据交点情况得出参数范围，利用点的坐标求出面积，代入韦达定理的结果后面积可化为所设参数的函数，从而再利用函数知识、不等式知识求得最值．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则|z|＝___．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.
【详解】由题意，复数 SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 ，虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则tan 2 SKIPIF 1 < 0 ＝___．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】方法1：运用特殊角的三角函数值计算即可.
方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可.
【详解】方法1：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
方法2：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝2，AB＝1， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为___．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由题意结合球心的性质确定三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的球心的位置，求得球的半径，即可求外接球的表面积
【详解】由题意，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若方程 SKIPIF 1 < 0 有四个不相等的实数根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】画出 SKIPIF 1 < 0 的图象可得m的范围， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入所求式子转化为求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，
∵方程 SKIPIF 1 < 0 有四个不相等的实根，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日－12月18日进行，赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分，某企业为了解广大球迷世界杯知识的知晓情况．在球迷中开展了网上测试，从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：
（1）根据频率分布直方图，求a的值；
（2）若从得分在[75，90]内的球迷中用分层抽样的方法抽取6人作世界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取的2人中至少有1名球迷得分在 SKIPIF 1 < 0 内的概率．
【答案】（1）0.04.
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据所有频率之和为1列式解方程即可.
（2）根据分层抽样的抽样比相同抽取人数，用列举法解决古典概型.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由分层抽样可知，
从得分在 SKIPIF 1 < 0 内的球迷中抽取 SKIPIF 1 < 0 人，分别记为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，从得分在 SKIPIF 1 < 0 内的球迷中抽取 SKIPIF 1 < 0 人，分别记为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
从得分在 SKIPIF 1 < 0 内的球迷中抽取 SKIPIF 1 < 0 人，记为 SKIPIF 1 < 0 .
所以从这6人中选取2人的基本事件有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，共有15个，
两人中至少有1名球迷得分在 SKIPIF 1 < 0 内的基本事件有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，共有9个.
所以两人中至少有1名球迷得分在 SKIPIF 1 < 0 内的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知 SKIPIF 1 < 0 的圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 公共弦的长度．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）求出 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的方程，联立方程求得圆心坐标，继而求得半径，即可得答案；
（2）求出两圆的公共线的方程，求得 SKIPIF 1 < 0 到该直线的距离，根据圆的弦长的求法可得答案.
【小问1详解】
由题意知 SKIPIF 1 < 0 的圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
则半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相交，
将 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 公共弦的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图，正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，M为 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求DM与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析.
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 ,证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,找到DM与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角，求出相关线段的长，解直角三角形即可求得答案.
【小问1详解】
证明：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
故 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为P，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , M为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
连接 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为 DM与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 ,
故在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,
即DM与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中选择一个，补充在下面问题中并解答．
问题：在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，___________．
（1）求C；
（2）若a＝1，b＝2，D在线段AB上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求线段CD的长．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）选择条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；选择条件②，先用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；
（2）先利用余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由题意求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据勾股定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问1详解】
选择条件① SKIPIF 1 < 0 ，
依题意由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
选择条件② SKIPIF 1 < 0 ，
依题意由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
【小问2详解】
结合（1）由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则在Rt△CBD中， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
21. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，四棱锥P－ABCD的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角P－BC－A的余弦值．
【答案】（1）见解析 （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理2，可得线面垂直，可得答案；
（2）根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 所有垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线都在平面 SKIPIF 1 < 0 内，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 存在一条过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为同一条直线，
即 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
在平面 SKIPIF 1 < 0 内，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，作图如下：
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，则其体积 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知椭圆C SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，M为 SKIPIF 1 < 0 与C两交点的中点，N为 SKIPIF 1 < 0 与C两交点的中点，求△FMN面积的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由已知顶点坐标求出 SKIPIF 1 < 0 ，由离心率求出 SKIPIF 1 < 0 ，进一步运算得出椭圆的方程；
（2）设出直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆C方程联立，得出M，N的纵坐标，表示△FMN的面积，求其最大值.
【小问1详解】
由左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 斜率都存在且不为0，设 SKIPIF 1 < 0 与C交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C两交点的中点M的纵坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C两交点的中点N的纵坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
所以△FMN的面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， 不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，△FMN面积有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．