黑龙江省大庆实验中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）

这是一份黑龙江省大庆实验中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解），共22页。试卷主要包含了单项选择题，不定项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.
1. 在曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象上取一点 SKIPIF 1 < 0 及邻近一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均变化率 SKIPIF 1 < 0 ，代入计算．
【详解】 SKIPIF 1 < 0
故选：A
2. 设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角 SKIPIF 1 < 0 的范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】当 SKIPIF 1 < 0 时，可得倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，由直线方程可得斜率 SKIPIF 1 < 0 ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，方程变为 SKIPIF 1 < 0 ，其倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由直线方程可得斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由上知，倾斜角的范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
3. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 2B. SKIPIF 1 < 0 C. 1D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的性质求解.
详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由题有 SKIPIF 1 < 0 ，据此可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得双曲线的渐近线方程.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由题有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
5. 函数 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】设切点 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过 SKIPIF 1 < 0 代入求参数m，即可得切线方程.
【详解】由题设 SKIPIF 1 < 0 ，若切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又切线过 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，切线为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，切线为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6. 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 两点，以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆C过点 SKIPIF 1 < 0 ，则圆C的方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.
【详解】抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，令弦AB的中点为E，
而圆心C是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，又 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然直线AB不垂直于y轴，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得圆C的半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，而圆C过点 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此圆C的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7. 若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，问题转化为 SKIPIF 1 < 0 图象恒在 SKIPIF 1 < 0 上方，分类讨论参数 SKIPIF 1 < 0 ，结合函数图象、导数，即可求 SKIPIF 1 < 0 在何范围时图象符合要求.
【详解】对 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，知：不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
问题可转化为：曲线 SKIPIF 1 < 0 恒处于直线 SKIPIF 1 < 0 的上方，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线与曲线没有交点且曲线 SKIPIF 1 < 0 恒处于直线 SKIPIF 1 < 0 的上方，满足条件.
当 SKIPIF 1 < 0 时，当直线与曲线相切时，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，代入方程得 SKIPIF 1 < 0 ，此时切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 恒处于直线 SKIPIF 1 < 0 的上方，
综上， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【点睛】本题考查不等式恒成立，并将问题转化为函数图象的位置关系，利用导数研究函数求参数范围.
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，和b比较，确定变量，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用其导数判断其单调性，即可比较 SKIPIF 1 < 0 大小，再比较 SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故设函数 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【点睛】关键点睛：比较 SKIPIF 1 < 0 的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.
二、不定项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 关于函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下面四个命题中正确的是（ ）
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减B. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C. 函数 SKIPIF 1 < 0 没有最小值D. 函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
作出其大致图像如图：
由图像可知函数 SKIPIF 1 < 0 没有最小值，故C正确，D错误，
故选：BC
10. 定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
SKIPIF 1 < 0 故D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数 SKIPIF 1 < 0 是解决本题的关键.
11. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取到的值可以有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】 SKIPIF 1 < 0 可以看作点直线上的点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆上的点 SKIPIF 1 < 0 的距离，从而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的点，
由 SKIPIF 1 < 0 得点 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点,
则 SKIPIF 1 < 0 可以看作点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 且在 SKIPIF 1 < 0 轴上方的点，
如图，设与直线 SKIPIF 1 < 0 平行且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去 SKIPIF 1 < 0 ）
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BCD
12. 对于正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是小于或等于 SKIPIF 1 < 0 的正整数中与 SKIPIF 1 < 0 互质的数的数目.函数 SKIPIF 1 < 0 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 SKIPIF 1 < 0 （1，3与4互质），则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 如果 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增
C. 数列 SKIPIF 1 < 0 的前6项和等于63D. 数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据欧拉函数的定义，即可求解AC,根据反例即可排除BD.
【详解】对于A,13与1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12均互质，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，
对于B,当 SKIPIF 1 < 0 时，6与1，5互质，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误，
对于C,由于2为质数，所以小于等于 SKIPIF 1 < 0 的正整数中,所有的偶数的个数为 SKIPIF 1 < 0 个，所以剩下的均与 SKIPIF 1 < 0 互质，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 前6项和等于 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确，
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时，5与1，2，3，4均互质，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然不成立，故D错误，（与 SKIPIF 1 < 0 不互质的数有 SKIPIF 1 < 0 ，共有 SKIPIF 1 < 0 个，所以与 SKIPIF 1 < 0 不互质的数有 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，则前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，故错误）
故选：AC
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每空5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦所在直线方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则两圆相交，
故将两圆方程相减可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先化简为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数 SKIPIF 1 < 0 ，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：
已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为正整数）， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，试确定使得 SKIPIF 1 < 0 至少需要________步雹程；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值集合 SKIPIF 1 < 0 为________.
【答案】 ①. 13 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】第一空，根据运算法则，写出每一个步骤，即可得答案；第二空，根据运算法则一步步逆推，分类求解，可得答案.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，则按运算法则得到：
SKIPIF 1 < 0 ，
即使得 SKIPIF 1 < 0 需要13步雷程．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值集合 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：13； SKIPIF 1 < 0
16. 已知 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 是双曲线上关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的不同两点，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若点A到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】确定 SKIPIF 1 < 0 坐标，设点 SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，结合 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，根据点A到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，列式计算，求得t的值，即可求得答案.
【详解】由题意可得双曲线 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于点A到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设点 SKIPIF 1 < 0 ，从而表示出 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，这是关键的环节，然后再结合题意求解即可.
四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分.把答案填在答题卡的相应位置.
17. 过点 SKIPIF 1 < 0 可以作两条直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，切点分别为 SKIPIF 1 < 0
（1）求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，存在直线 SKIPIF 1 < 0 吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据点 SKIPIF 1 < 0 在圆外和圆方程的条件即可求解；
（2）易知 SKIPIF 1 < 0 四点共圆且以 SKIPIF 1 < 0 为直径，求其方程，利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线方程，从而求解.
【小问1详解】
由题意可知，点 SKIPIF 1 < 0 在圆外，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
又因为圆 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与圆相切，所以 SKIPIF 1 < 0 四点共圆且以 SKIPIF 1 < 0 为直径.
设过 SKIPIF 1 < 0 四点的圆上一点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以过 SKIPIF 1 < 0 过四点的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
两圆方程相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
18. 设抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，过抛物线上的动点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足.设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线的方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，记直线的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）结合抛物线定义确定 SKIPIF 1 < 0 最小值，即可求得p的值，可得答案.
（2）设出直线方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系，进而将 SKIPIF 1 < 0 化简，即可求得答案.
【小问1详解】
设抛物线焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 三点共线时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
而 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率一定存在，设为k，则其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.
19. 设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系式即可求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）结合 SKIPIF 1 < 0 的奇偶，利用分组求和法、裂项相消法求和.
小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，得：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
①-②得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，4为公差的等差数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
利用分组，列项和并项求和即可获得 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，首项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，公比 SKIPIF 1 < 0 小于0，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）记点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上；
（2）对任意奇数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，对任意偶数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据题意求得等常数列的通项公式，即可求得等比数列的通项公式，继而求得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，即可证明结论；
（2）结合（1）可判断当 SKIPIF 1 < 0 为奇数和偶数时 SKIPIF 1 < 0 的单调性，从而求得 SKIPIF 1 < 0 的最值，即可得答案.
【小问1详解】
证明：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
则由首项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上；
【小问2详解】
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 在奇数集上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 在偶数集上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（2）是否存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）1 （2）存在,最小正整数 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数说明其单调性，结合设 SKIPIF 1 < 0 ，判断其取值情况，即可求得答案.
（2）求出函数的导数，根据其表达式，讨论 SKIPIF 1 < 0 时，说明不合题意，当 SKIPIF 1 < 0 时，将问题转化为函数的最值问题，即可求得答案.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故对于 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题意 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，函数无最大值，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，且 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在最小正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
【点睛】方法点睛：（1）第一问中要能根据 SKIPIF 1 < 0 的表达式的结构特征进行变形为 SKIPIF 1 < 0 ，从而构造函数，利用导数判断单调性，解决问题；
（2）第二问中，根据函数不等式恒成立问题，求出函数导数，分类讨论参数范围，进而转化为函数最值问题解决.
22. 已知离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆第一象限于点 SKIPIF 1 < 0 .直线 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为原点），且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 介于 SKIPIF 1 < 0 两点之间）.
（1）当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时，求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点联立方程即可解 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得椭圆方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，进而由弦长公式求解弦长，利用面积公式表达面积，结合基本不等式即可求解最值，
（2）根据比例关系可将问题转化成斜率之和为0，代入斜率公式即可化简求解.
【小问1详解】
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
又点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
又 SKIPIF 1 < 0 介于 SKIPIF 1 < 0 两点之间， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
要证结论成立，只须证明 SKIPIF 1 < 0 ，
由角平分线性质即证：直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，
转化成证明： SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因此结论成立.
【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用