黑龙江省佳木斯市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份黑龙江省佳木斯市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程是
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，抛物线可化为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
考点：抛物线的几何性质．
2. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 平面ABC”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用存在实数x，y，使得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABC或 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，结合充分必要条件定义即可求解.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，则 SKIPIF 1 < 0 共面，故存在实数x，y，使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以必要性成立；
若存在实数x，y，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 共面，则 SKIPIF 1 < 0 平面ABC或 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，所以充分性不成立；
所以 “存在实数x，y，使得 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 平面ABC”的必要不充分条件，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABC或 SKIPIF 1 < 0 平面ABC是解题的关键，属于基础题.
3. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为（ ）
A. 1B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由平行线间的距离公式求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，经检验符合题意；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
4. 中国古人所使用的音阶是“五声音阶”，即“宫徵（zhǐ）商羽角（jué）”五个音，中国古代关于这五个音阶的律学理论，叫做“三分损益法”，相关记载最早见于春秋时期《管子·地缘篇》．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”两层含义，“三分损一”是指将原有长度作三等分而减去其一份生得长度，“三分益一”是指将原有长度作三等分而增添其一份生得长度．具体来说，以一段圆径绝对均匀的发声管为基数——宫（称为“基本音”），宫管的“三分损一”为徵管，徵管发出的声音即为徵，徵管的“三分益一”为商管，商管发出的声音即为商，商管的“三分损一”为羽管，羽管的“三分益一”为角管，由此“宫、徵、商、羽、角”五个音阶就生成了．关于五音，下列说法中不正确的是（ ）
A. 五音管中最短的音管是羽管
B. 假设基本音的管长为81，则角管的长度为64
C. 五音管中最长的音管是商管
D. 类比题中的“三分损益”可推算：商的“四分损一”为徵
【答案】C
【解析】
【分析】设宫管的长为a，即可表示出徵、商、羽、角的管长，即可判断A，B，C；根据“三分损益”的含义可求得商的“四分损一”为徵，判断D.
【详解】不妨设宫管的长为a，则徵管的长为 SKIPIF 1 < 0 ，商管的长为 SKIPIF 1 < 0 ，
羽管的长为 SKIPIF 1 < 0 ，角管的长为 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
故最长的音管是宫管，最短的音管是羽管，故选项A正确，选项C错误；
令 SKIPIF 1 < 0 ，即基本音的管长为81，则 SKIPIF 1 < 0 ，即角管的长度为64，故选项B正确；
商的“四分损一”为 SKIPIF 1 < 0 ，即为徵，选项D正确，
故选︰C．
5. 如图，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则C到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.
【详解】由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
取AC的中点O，则 SKIPIF 1 < 0 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影的长度为 SKIPIF 1 < 0 ，
故点C到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6. 已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆心为 SKIPIF 1 < 0 的圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 面积最大时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由三角形面积公式结合正弦函数的性质得出当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 面积最大，设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，确定圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，列出方程，求解得出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，当仅当 SKIPIF 1 < 0 时“ SKIPIF 1 < 0 ”成立，此时点 SKIPIF 1 < 0 到
直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，即 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，此时圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由三角形面积公式得出当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 面积最大，进而由距离公式得出方程.
7. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大 SKIPIF 1 < 0 值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式并结合等差数列的性质即可求解
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以公差 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大 SKIPIF 1 < 0 值为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，据双曲线的定义可用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，构造直角三角形可计算得 SKIPIF 1 < 0 ，并用勾股定理列出了 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 .
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .如图：
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【点睛】（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义；
（2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于 SKIPIF 1 < 0 的齐次等式，再化为 SKIPIF 1 < 0 的等式可求；
（3）此题的关键是作 SKIPIF 1 < 0 得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立 SKIPIF 1 < 0 的齐次等式.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量， SKIPIF 1 < 0 分别为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 不重合），并且直线 SKIPIF 1 < 0 均不在平面 SKIPIF 1 < 0 内，那么下列说法中正确的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】由空间向量的位置关系对选项逐一判断，
【详解】已知直线 SKIPIF 1 < 0 不在平面 SKIPIF 1 < 0 内，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，D错误，
由空间向量的位置关系得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B，C正确，
故选：ABC
10. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为实数，公比为q，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式的应用，等比数列的性质的应用，可判断A、B、C、D的结论是否正确．
【详解】显然 SKIPIF 1 < 0 .A：因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项正确；
B：由 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，显然
SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项正确；
C：由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此本选项正确；
D：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此本选项不正确.
故选：ABC.
11. 以下关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（ ）
A. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点
B. 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有2条
C. 设A，B是两个定点，k是非零常数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则动点P的轨迹是双曲线的一支
D. 动圆P过定点 SKIPIF 1 < 0 且与定直线l： SKIPIF 1 < 0 相切，则圆心P的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】求出双曲线与椭圆的焦点坐标即可判断A；求出双曲线的实轴长及过右焦点的直线垂直x轴时所截弦长即可判断B；由双曲线的定义即可判断C；根据抛物线的定义即可判断D．
【详解】对于A，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，由双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程知，右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为10，所以过右焦点与双曲线左右两支各交于一点且满足弦长为10的直线只有1条；过右焦点的直线垂直x轴时，得两交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，此时弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以过右焦点与双曲线右支相交于两点且满足弦长为10的直线有2条，综上，过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，故B错误；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时，动点P的轨迹是一条射线，当 SKIPIF 1 < 0 时，动点P的轨迹是双曲线的一支，故C错误；
对于D，因为动圆P过定点 SKIPIF 1 < 0 且与定直线l： SKIPIF 1 < 0 相切，即P点到 SKIPIF 1 < 0 的距离与到直线l： SKIPIF 1 < 0 的距离相等，根据抛物线的定义可得，P点的轨迹是为以 SKIPIF 1 < 0 为焦点， SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线，所以点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：AD．
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的最小值为2B. SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 为钝角
【答案】BC
【解析】
【分析】A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知， SKIPIF 1 < 0 ，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，A项错误； B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值； C项，由对称性，可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与k的关系； D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由C项可知 SKIPIF 1 < 0 ， 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，排除D项.
【详解】对于A，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，A错误；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，B正确；
对于C，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率额为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：BC.
【点睛】椭圆常用结论：
已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，AB为椭圆经过原点的一条弦，P是椭圆上异于A、B的任意一点，若 SKIPIF 1 < 0 都存在，则 SKIPIF 1 < 0 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据圆与 SKIPIF 1 < 0 轴相切，圆的半径等于点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离，求出半径 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出圆的标准方程．
【详解】设圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆与 SKIPIF 1 < 0 轴相切， SKIPIF 1 < 0 半径 SKIPIF 1 < 0 等于圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】665
【解析】
【分析】利用累加法求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 (不为原点)， SKIPIF 1 < 0 为抛物线的焦点，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交抛物线于另一点 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 分别作准线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 记线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可变形为用 SKIPIF 1 < 0 表示，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，再由基本不等式可得最小值．
【详解】焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 时面积最小为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：4．
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中与焦点弦有关的面积问题．解题关键是把抛物线的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这样三角形的面积可以与焦点弦长联系，从而利用韦达定理求解．
16. 对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的“加权和”，已知某数列 SKIPIF 1 < 0 的“加权和” SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数p的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据数列新定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，相减求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，利用 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得： SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足上式，
故 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】关键点点睛：根据数列新定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，相减求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，因此解答的关键就在于将 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立转化为解 SKIPIF 1 < 0 的问题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设方程为 SKIPIF 1 < 0 根据题意求出 SKIPIF 1 < 0 即可
（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可
【小问1详解】
因为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，①
又双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，②
又 SKIPIF 1 < 0 ，③
联立上述式子解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故所求方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
18. 在① SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，_________.若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】选择见解析； SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
若选①，由 SKIPIF 1 < 0 得数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，进而得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据裂项相消求和法求和即可；若选②，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据 SKIPIF 1 < 0 之间的关系得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据裂项相消求和法求和即可；若选③，由 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，得 SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，再根据裂项相消求和法求和即可.
【详解】解：若选①，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
若选②，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
若选③，
因为 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列，
故 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题解题的关键在于根据递推关系（等差中项， SKIPIF 1 < 0 之间的关系等）证明数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列，进而得 SKIPIF 1 < 0 .考查运算求解能力，是中档题.
19.
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道 SKIPIF 1 < 0 侧面 SKIPIF 1 < 0 ，利用线面垂直的性质可以证明出 SKIPIF 1 < 0 ，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）以点 SKIPIF 1 < 0 坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，设正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出相应点的坐标，利用 SKIPIF 1 < 0 ，可以求出 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，分别求出平面 SKIPIF 1 < 0 、平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【详解】（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 是长方体，所以 SKIPIF 1 < 0 侧面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
[方法一]【三垂线定理】
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，又E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，为等腰直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
如图2，联结 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 相交于点O，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H，联结 SKIPIF 1 < 0 ，由三垂线定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 平面角的补角．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二]【利用平面的法向量】
设底面边长为1，高为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量．
因为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 为同一平面，故 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 角，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 ，的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法三]【利用体积公式结合二面角的定义】
设底面边长为1，高为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离相等设为 SKIPIF 1 < 0 ．
同理，A，E到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，都为1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
设点B到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由面积相等解得 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角， SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法四]【等价转化后利用射影面积计算】
由（1）的结论知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值与二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值相等．
设 SKIPIF 1 < 0 的中点分别为F，G，H，显然 SKIPIF 1 < 0 为正方体，所求问题转化为如图3所示，
在正方体 SKIPIF 1 < 0 中求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
设 SKIPIF 1 < 0 相交于点O，易证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影．
令正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法五]【结合（1）的结论找到二面角的平面角进行计算】
如图4，分别取 SKIPIF 1 < 0 中点F，G，H，联结 SKIPIF 1 < 0 ．
过G作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为P，联结 SKIPIF 1 < 0 ．
易得E，F，G，H共面且平行于面 SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为E为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且均为等腰三角形．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，四棱柱 SKIPIF 1 < 0 为正方体．
在 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 中有 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为直角三角形且全等．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 （即 SKIPIF 1 < 0 ）的一个平面角．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法六]【最优解：空间向量法】
以点 SKIPIF 1 < 0 坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值的绝对值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
【整体点评】(2)方法一：三垂线定理是立体几何中寻找垂直关系的核心定理；
方法二：利用平面的法向量进行计算体现了等价转化的数学思想，是垂直关系的进一步应用；
方法三：体积公式可以计算点面距离，结合点面距离可进一步计算二面角的三角函数值；
方法四：射影面积法体现等价转化的数学思想，是将角度问题转化为面积问题的一种方法；
方法五：利用第一问的结论找到二面角，然后计算其三角函数值是一种常规的思想；
方法六：空间向量是处理立体几何的常规方法，在二面角不好寻找的时候利用空间向量是一种更好的方法.
20. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理法即求；
（2）由题可求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合条件即得.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
（1）分别求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 通项公式；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间插入 SKIPIF 1 < 0 个数，使这 SKIPIF 1 < 0 个数组成一个公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，和等比数列的定义即可得出；利用已知条件和累乘法即可得出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；（2）先利用已知条件得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ，
已知 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故等比数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
那么 SKIPIF 1 < 0 ，
以上 SKIPIF 1 < 0 个式子相乘，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 满足上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间插入 SKIPIF 1 < 0 个数，使这 SKIPIF 1 < 0 个数组成一个公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：
由数列前 SKIPIF 1 < 0 项和求通项公式时，一般根据 SKIPIF 1 < 0 求解；
数列求和的方法：
（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法.
22. 如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，已知圆 SKIPIF 1 < 0 将椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴三等分，椭圆 SKIPIF 1 < 0 右焦点到右顶点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点A，B．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于另一个交点为点P，M．求证：直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解 SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与椭圆方程联立求 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而可求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，即可得结果.
【小问1详解】
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题意知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为k，则直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，点E在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 ，
故用 SKIPIF 1 < 0 去替代k得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的一元二次方程，必要时计算 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.