湖北省黄冈市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份湖北省黄冈市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共24页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。

黄冈市教育科学研究院命制
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 0C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或0
【答案】A
【解析】
【分析】由直线与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直得到方程和不等式，求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 40B. 120C. 121D. 363
【答案】C
【解析】
【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】设公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3. SKIPIF 1 < 0 年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在 SKIPIF 1 < 0 年提出的 SKIPIF 1 < 0 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 是素数，素数对 SKIPIF 1 < 0 称为孪生素数.从 SKIPIF 1 < 0 以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】列举出 SKIPIF 1 < 0 以内的素数，以及任取两个不同的素数构成的数对，确定孪生素数的个数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 以内的素数有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
任取两个不同的素数有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，共 SKIPIF 1 < 0 个，
其中孪生素数有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，共 SKIPIF 1 < 0 个，故所求概率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4. 如图，已知空间四边形 SKIPIF 1 < 0 ，M，N分别是边OA，BC的中点，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算一步步将向量 SKIPIF 1 < 0 化为关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可整理得出答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 取值范围为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析可得直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共点（公共点不能是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ），结合直线与圆的位置关系分析运算.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上（点 SKIPIF 1 < 0 不能是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ），
∵以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共点（公共点不能是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ），
当直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共点时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的公共点为A或B时，则直线 SKIPIF 1 < 0 即为x轴，即 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6. 已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上一点，记 SKIPIF 1 < 0 到双曲线左焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到双曲线一条渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值等于双曲线的焦距长，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线定义得到 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，数形结合得到当点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的交点时，此时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，从而列出方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到渐近线方程.
【详解】由双曲线定义可知： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作渐近线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的交点时，此时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
最小值即为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7. 已知在大小为 SKIPIF 1 < 0 的二面角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为邻边作平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的长，证明出 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 的长，即可求解
【详解】如下图所示，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为邻边作平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角相当于直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
8. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据椭圆的定义求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆的定义可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 SKIPIF 1 < 0 “第一次出现3点”， SKIPIF 1 < 0 “第二次的点数小于5点”， SKIPIF 1 < 0 “两次点数之和为奇数”， SKIPIF 1 < 0 “两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A. A与B不互斥且相互独立B. A与D互斥且不相互独立
C. B与C不互斥且相互独立D. B与D互斥且不相互独立
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出事件A，B，C，D的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答.
【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，共36个不同结果，
事件A所含的结果有： SKIPIF 1 < 0 ，共6个，
事件B所含的结果有24个，事件C所含的结果有18个，事件D所含的结果有： SKIPIF 1 < 0 ，共3个，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，事件A与B都含有 SKIPIF 1 < 0 ，共4个结果，即事件A与B可以同时发生，
而 SKIPIF 1 < 0 ，A与B不互斥且相互独立，A正确；
对于B，事件A与D不能同时发生， SKIPIF 1 < 0 ，A与D互斥且不相互独立，B正确；
对于C，事件B与C都含有 SKIPIF 1 < 0 ，共12个结果，
即事件B与C可以同时发生， SKIPIF 1 < 0 ，B与C不互斥且相互独立，C正确；
对于D，事件B与D都含有 SKIPIF 1 < 0 ，即B与D可以同时发生， SKIPIF 1 < 0 ，
因此B与D不互斥且不相互独立，D错误.
故选：ABC
10. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .则下列说法正确的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B. 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为17D. 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 结合等差数列的角标性质判断ABC；由裂项相消求和法判断D.
【详解】对于A：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，故B正确；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值不是17，故C错误；
对于D： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 最大.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，故D正确；
故选：ABD
11. 如图，直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A. 存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B. 当 SKIPIF 1 < 0 时，存在点 SKIPIF 1 < 0 使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个
D. 当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直棱柱的性质及面面平行的性质判断A，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断B、C、D.
【详解】解：如图建立空间直角坐标系D-xyz，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A：由直棱柱的性质可知平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
显然平面 SKIPIF 1 < 0 法向量可以为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故不存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即不存在点 SKIPIF 1 < 0 使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个，故C错误；
对于D：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
圆弧 SKIPIF 1 < 0 的长度 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：AD
12. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的另一个交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0
C. 若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 斜率都存在，且分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之和的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】可通过特殊情况，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时求得直线 SKIPIF 1 < 0 不过定点 SKIPIF 1 < 0 ，排除A，也可以通过设出 SKIPIF 1 < 0 的方程与抛物线方程联立，求得 SKIPIF 1 < 0 纵坐标关系，两点式写出 SKIPIF 1 < 0 方程，化简整理可得方程过定点 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 纵坐标表示两个三角形面积之比，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 斜率化简可判断B，C正确， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之和用 SKIPIF 1 < 0 纵坐标表示，化简后利用基本不等式可求得最小值.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与抛物线方程联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与抛物线方程联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，不过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误.
如图：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以B正确.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以C正确.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. SKIPIF 1 < 0 是空间向量的一组基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据空间向量共面定理可得存在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,从而可求解.
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为:3.
14. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 所截得的两段圆弧的弧长之比为 SKIPIF 1 < 0 ，且圆 SKIPIF 1 < 0 上恰有三个不同的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，作出图形，计算出圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，解出 SKIPIF 1 < 0 的值，利用勾股定理可求得直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长.
【详解】设圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，因为圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 所截得的两段圆弧的弧长之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则劣弧所对的圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
将直线 SKIPIF 1 < 0 平移，使得平移后的直线与直线 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
假设平移后的直线为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则这两条直线一条与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，一条与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，
不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间距离为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 截圆 SKIPIF 1 < 0 所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，焦距为8，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与该椭圆交于M，N两点，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据焦距为8， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合椭圆的定义进而求解.
【详解】由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义可得： SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据题意令 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，代入整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用并项求和结合等差数列求和运算求解.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 为偶数， SKIPIF 1 < 0 为偶数，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：本题中出现 SKIPIF 1 < 0 ，故应讨论 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性，根据题意把相邻的四项合并为一项，组成一个新的数列，再进行求和运算，同时注意对 SKIPIF 1 < 0 的处理.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在面试部分合格的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，谁被录取的可能性最大?
（2）当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后，不考虑其它因素，求三人中至少有一人被录取的概率.
【答案】（1）丙 （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A，B，C，且A，B，C相互独立，甲、乙、丙三人被录取即三人即通过笔试部分又通过面试部分，由独立事件概率的乘法公式计算得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，比较概率的大小即可得出答案；
（2）记三人中至少有一人被录取为事件 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为对立事件，从而根据对立事件的计算公式与独立事件概率的乘法公式计算得出答案.
【小问1详解】
记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 丙被录取的可能性最大.
【小问2详解】
记三人中至少有一人被录取为事件 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为对立事件，
SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的距离；
（2）一束光线从 SKIPIF 1 < 0 出发经 SKIPIF 1 < 0 反射后平行于 SKIPIF 1 < 0 轴射出，求入射光线所在的直线方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由平行条件得出 SKIPIF 1 < 0 的值，再由距离公式求解；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 得出反射光线的方程，并与直线 SKIPIF 1 < 0 联立得出入射点，进而由两点式写出方程.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，舍去
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴入射点为 SKIPIF 1 < 0 .
故入射光线所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
（1）求证数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系整理得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的定义分析理解；
（2）根据等比数列通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，法一：根据题意直接代入运算；法二：利用错位相减法求和；法三：整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
对于等差数列 SKIPIF 1 < 0 可得：
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 是以9为首项，9为公差的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列.
【小问2详解】
方法一：由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
方法三：由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
比较系数得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
20. 在如图所示的多面体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为60°，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，得到线面垂直；
（2）在第一问的基础上，得到直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
证明：∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 内的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为边长为2的等边三角形，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，如下图：
由 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
21. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，往里第二个正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，…，往里第 SKIPIF 1 < 0 个正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，问 SKIPIF 1 < 0 是否存在最大项?若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由图形可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，结合题设条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用数列的单调性求出结果.
【小问1详解】
由图形可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是以1为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②
SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
经检验，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也满足上式，
∴ SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 或3时， SKIPIF 1 < 0 的最大项为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一条以 SKIPIF 1 < 0 为中点的弦所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 轴上，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另外一个交点分别为M，N，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，并求出此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由点差法得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而由 SKIPIF 1 < 0 得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）与椭圆方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再由面积公式结合相似三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，由二次函数的性质得出 SKIPIF 1 < 0 的最大值以及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
同理，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .