湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且不过第四象限，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，观察可得.
【详解】
如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故 SKIPIF 1 < 0 .
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2．
故选：A.
2. 函数 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴方程是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】先化简，再根据正弦函数的对称轴求解
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,对称轴方程是 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ,知 SKIPIF 1 < 0 是一条对称轴
故选:C
3. 若集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据排列数的计算公式可得 SKIPIF 1 < 0 ,根据组合数的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可由交集的定义求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4. 如图，在同一平面内以平行四边形 SKIPIF 1 < 0 两边 SKIPIF 1 < 0 为斜边向外作等腰直角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】通过题意可得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后通过数量积的运算律即可求解.
【详解】根据题意可知 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由等腰直角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B
5. 6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（ ）
A. 540种B. 360种C. 180种D. 120种
【答案】B
【解析】
【分析】根据分组分配即可由排列组合进行求解.
【详解】每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同,故三个社区分配到志愿者的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，故共有 SKIPIF 1 < 0 种.
故选：B
6. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点F与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合,两曲线有一个公共点为P,若 SKIPIF 1 < 0 ,则该双曲线的离心率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据焦半径公式计算出 SKIPIF 1 < 0 点坐标,再根据定义计算离心率即可
【详解】由题知,抛物线焦准距 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
不妨设点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限,则 SKIPIF 1 < 0
双曲线焦半距 SKIPIF 1 < 0 ,焦点是 SKIPIF 1 < 0
根据双曲线的定义 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
所以离心率 SKIPIF 1 < 0
故选:A
7. 函数 SKIPIF 1 < 0 的零点属于区间( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】找到两个端点异号的区间,再说明函数的单调性,利用零点存在定理即可
【详解】 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 是增函数,所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一的零点 SKIPIF 1 < 0
故选：C
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值等于( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】先变形为 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，再把问题转化为求直线上的动点到圆上动点距离的最小值.
【详解】由题设 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的点，
而目标式为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. z的虚部是 SKIPIF 1 < 0 B. z的共轭复数是 SKIPIF 1 < 0
C. z的模是 SKIPIF 1 < 0 D. z在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】由复数虚部、共轭复数、模的定义和复数的几何意义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴z的虚部是1，
共轭复数是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选:BCD
10. 下列数列 SKIPIF 1 < 0 中，单调递增的数列是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】结合对应函数单调性即可判断各选项.
【详解】对于A，结合对应函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，可知数列 SKIPIF 1 < 0 不为递增数列；
对于B，结合对应函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，可知数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列；
对于C，结合对应函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知数列 SKIPIF 1 < 0 不为递增数列；
对于D， 由于 SKIPIF 1 < 0 ，结合对应函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列.
故选：BD.
11. 法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程 SKIPIF 1 < 0 所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当 SKIPIF 1 < 0 时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ）
A. 经过第三象限B. 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
C. 与直线 SKIPIF 1 < 0 有公共点D. 与直线 SKIPIF 1 < 0 没有公共点
【答案】BD
【解析】
【分析】根据笛卡尔叶形线的方程，即可判断AB，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与笛卡尔叶形线的方程，通过方程的根可判断CD.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时, 笛卡尔叶形线为 SKIPIF 1 < 0 ，
A：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故不经过第三象限，故A错误，
B：若点 SKIPIF 1 < 0 在曲线上，则点 SKIPIF 1 < 0 也在曲线上.故笛卡尔叶形线关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故B正确，
C,D：由方程组 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，此方程组无解，故笛卡尔叶形线与直线 SKIPIF 1 < 0 没有公共点，故D正确，C错误，
故选：BD
12. 过下列哪些点恰可以作函数 SKIPIF 1 < 0 的两条切线（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，结合导数的几何意义分别求解即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 上，
当 SKIPIF 1 < 0 为切点时，有一条切线；
当 SKIPIF 1 < 0 不为切点时，由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点，故 SKIPIF 1 < 0 只有一个解，
综上所述，过 SKIPIF 1 < 0 恰可做函数 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，故A正确；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 有3个零点，故 SKIPIF 1 < 0 有3个解，
所以 SKIPIF 1 < 0 恰可做函数 SKIPIF 1 < 0 的三条切线，故B不正确；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以过 SKIPIF 1 < 0 恰可做函数 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，故C正确；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 有1个零点，故 SKIPIF 1 < 0 有1个解，
所以 SKIPIF 1 < 0 恰可做函数 SKIPIF 1 < 0 的一条切线，故D不正确；
故选：AC.
三、本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，常数项为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据展开式的通项公式求解即可.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以常数项为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
14. 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦长等于______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】两圆相减得出公共弦所在直线方程，再根据勾股定理计算公共弦长
【详解】联立 SKIPIF 1 < 0 ,得公共弦所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
圆心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 距离 SKIPIF 1 < 0
所以公共弦长为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，动点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.（用区间表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，通过线面垂直的判定定理和性质定理可得到 SKIPIF 1 < 0 ，通过几何关系可得到 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角.设 SKIPIF 1 < 0 的交点为O，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角.所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 的最大值为点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处，此时 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】连结 SKIPIF 1 < 0 ,
由正方体的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
连接 SKIPIF 1 < 0 的交点为O，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ,所以有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ,
由正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时，此时 SKIPIF 1 < 0 有最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 最小为 SKIPIF 1 < 0 ；
显然当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 有最大值，因为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 有最大值，显然 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，所以此时 SKIPIF 1 < 0 ；故 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,表明曲线偏离直线的程度,曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大,工程规划中常需要计算曲率,如高铁的弯道设计.曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 曲率的计算公式是 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数.则曲线 SKIPIF 1 < 0 上点的曲率的最大值是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据定义直接计算,最后利用基本不等式得出结果
【详解】对于曲线 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立
故答案为: SKIPIF 1 < 0
三、本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间 SKIPIF 1 < 0 内的概率；
（2）估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长；
（3）若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．
【答案】（1）0.3 （2）6.8小时
（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】(1)由频率分布直方图求出学习时长在 SKIPIF 1 < 0 内的频率，由此估计学习时长在 SKIPIF 1 < 0 内的概率；(2)根据平均值的计算公式求解；(3)先由分层抽样的性质确定从 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 组中应抽取的人数，再列出样本空间，并利用古典概型概率公式求出事件所选取的2人来自不同的组的概率．
【小问1详解】
由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在 SKIPIF 1 < 0 内的频率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在 SKIPIF 1 < 0 内的概率为0.3．
【小问2详解】
由题意知各组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长在6.8小时．
【小问3详解】
由（2）知，利用“学习强国”时长在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的频率分别为0.25，0.1，故两组人数分别为250，100，
采用分层抽样的方法从 SKIPIF 1 < 0 组抽取人数为 SKIPIF 1 < 0 ，记作a，b，c，d，e；从 SKIPIF 1 < 0 组抽取人数为 SKIPIF 1 < 0 ，记作A，B；
从7人中抽取2人的基本事件有 SKIPIF 1 < 0 ，共21个，来自不同组的基本事件有 SKIPIF 1 < 0 ，共10个，
故所求概率 SKIPIF 1 < 0 ．
18. 记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用题意建立等式求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用 SKIPIF 1 < 0 ，求出通项即可；
（2）先将 SKIPIF 1 < 0 放大为 SKIPIF 1 < 0 ，然后裂项求和即可.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也满足上式.
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不等式成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图， SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求A大小；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 内点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）对 SKIPIF 1 < 0 变形,运用余弦定理求解.
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,再在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中运用正弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 的另外一个关系即可求解.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
由余弦定理得, SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中,由正弦定理得, SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中,由正弦定理得, SKIPIF 1 < 0
两式相除得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
20. 如图所示，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交点记为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交点记为 SKIPIF 1 < 0 .证明：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，分别以 SKIPIF 1 < 0 为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得证；
（2）求得平面平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，进而求解.
【小问1详解】
根据题意知， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
分别以 SKIPIF 1 < 0 为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点即为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交点M，
直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点即为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交点N，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设G为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 大小是 SKIPIF 1 < 0 .
21. 设F，E分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，椭圆上存在点N，满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的面积为20.
（1）求b值；
（2）设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点记为M.若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）a的最小值是7， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理以及椭圆定义得到焦点三角形中满足的边角关系，即可联立求解，
（2）根据点点距离可求解 SKIPIF 1 < 0 ,由向量的模长可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合等比中项即可得求解.
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,
【小问2详解】
由于 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,
因此 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，所以
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，—①
设 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入①，得 SKIPIF 1 < 0 .
整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，—②
由②得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以a的最小值为7，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，即直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
又点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内，于是两条直线 SKIPIF 1 < 0 均满足要求.
综上，a的最小值是7，此时直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
22. 设函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 在原点处的切线为x轴，
（1）求a的值；
（2）求方程 SKIPIF 1 < 0 解；
（3）证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的导数值为0，解方程即可；
（2）构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数证明其单调性，再通过观察法得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的零点，从而得解；
（3）利用（2）中结论证明 SKIPIF 1 < 0 ，再构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数证得 SKIPIF 1 < 0 ，从而赋值证得 SKIPIF 1 < 0 ，由此得证.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 在原点处的切线为 SKIPIF 1 < 0 轴，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
要证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
先证 SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）易得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
再证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点睛：本题的突破口是熟记两个重要的放缩不等式：
（1） SKIPIF 1 < 0 ，
（2） SKIPIF 1 < 0 .