江西省上饶市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题（含答案详解）

这是一份江西省上饶市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题（含答案详解），共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分， 某一地区的患有癌症的人占0，16B， 下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

命题人：俞 振 王渠佳 张 丽 董乐华
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.
4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题1：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线的方程是（ ）.
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，纵截距为 SKIPIF 1 < 0 ，
A选项：直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，纵截距为 SKIPIF 1 < 0 ，符合；
B选项：直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，纵截距为 SKIPIF 1 < 0 ，不符合；
C选项：直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，纵截距为 SKIPIF 1 < 0 ，不符合；
D选项：直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，纵截距为 SKIPIF 1 < 0 ，不符合；
故选：A.
2. SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 20D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】直接由二项式定理求解即可.
【详解】由二项式定理直接可得 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0
故选：D.
3. 在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，则两圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】B
【解析】
【分析】求出两圆的圆心和半径，通过计算两圆心的距离与半径和或差的大小来判断两圆的位置关系.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两圆心距离 SKIPIF 1 < 0 ，
故两圆的位置关系是外切
故选：B.
4. 为进一步强化学校育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，上饶市某校开设了传统文化、思维拓展、趣味体育、建筑美育、劳动教育五门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则甲同学选修劳动教育的概率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式以及排列数、组合数的计算求得正确答案.
【详解】6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，
基本事件有 SKIPIF 1 < 0 种，
由于选修劳动教育的人数可能是 SKIPIF 1 < 0 人或 SKIPIF 1 < 0 人，
所以甲选修劳动教育包括的基本事件有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以甲同学选修劳动教育的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
5. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为3，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 即可得渐近线方程.
【详解】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
6. “堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项不正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】结合长方体、锥体体积公式求得正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确.
SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确.
SKIPIF 1 < 0 ，C选项正确.
SKIPIF 1 < 0 ，D选项不正确.
故选：D
7. 某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A. 0.16B. 0.32C. 0.42D. 0.84
【答案】A
【解析】
【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.
【详解】此人是癌症患者的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
8. SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的定义、线对称的性质、圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】由题意可知曲线 SKIPIF 1 < 0 是半径为1的圆，设圆心 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 是抛物线的焦点，
该抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作准线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，如下图所示： SKIPIF 1 < 0 有最小值， 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
【点睛】关键点睛：利用抛物线的性质通过转化思想进行求解是解题的关键.
二、选择题2：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. 事件 SKIPIF 1 < 0 为必然事件，则事件 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是互为对立事件
C. 设随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. 甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，则恰有1人射中的概率为0.12
【答案】AC
【解析】
【分析】根据组合数的性质可判断选项 SKIPIF 1 < 0 ；根据互斥事件与对立事件的定义可判断选项 SKIPIF 1 < 0 ；由正态分布的性质可判断选项 SKIPIF 1 < 0 ；由相互独立事件和对立事件的概率计算可判断选项 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 ，由组合数的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，事件 SKIPIF 1 < 0 为必然事件，若 SKIPIF 1 < 0 互斥，则事件 SKIPIF 1 < 0 是对立事件；若 SKIPIF 1 < 0 不互斥，则事件 SKIPIF 1 < 0 不是互为对立事件，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，设随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则正态分布曲线关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，恰有1人射中包括甲中乙不中，乙中甲不中，由相互独立事件和对立事件的概率计算可得：恰有1人射中的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
10. 在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. 该正方体的内切球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0
D. 平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得的截面是五边形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据线线垂直（线面垂直）、线线平行、内切球、正方体的截面等知识求得正确答案.
【详解】A选项，设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确.
B选项，正方体内切球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确.
C选项，根据正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，C选项错误.
D选项，延长 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
延长 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由此得到的五边形 SKIPIF 1 < 0 ，即时平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得图象，所以D选项正确.
故选：ABD
11. 2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记 SKIPIF 1 < 0 为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的可能取值为0，1，2，3B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意分析 SKIPIF 1 < 0 服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 的可能取值为0，1，2，3，故A正确；
分析可得 SKIPIF 1 < 0 服从参数为10，4，3的超几何分布，
其分布列为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：ACD.
12. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，记点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
B. 直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 的最小值为0
D. 当 SKIPIF 1 < 0 最小时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题知，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹曲线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，对于A， SKIPIF 1 < 0 即可判断；对于B，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据条件得到直线 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断；对于C，根据条件得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为全等的等腰直角三角形，得 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断；对于D，求出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，得到A和B的坐标,即可判断.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹曲线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
对于A，因为直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，
过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离为d,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆的方程为
SKIPIF 1 < 0 ，①
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①，②相减,得直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据几何性质可知， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为全等的等腰直角三角形，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0，故C正确；
对于D，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为
SKIPIF 1 < 0 ，
此时四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】直接由数量积为零列方程求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. SKIPIF 1 < 0 共6人站成一排，如果 SKIPIF 1 < 0 必须相邻且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用捆绑法并且内部不排序，直接全排列解答即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 必须相邻且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 右边,可将 SKIPIF 1 < 0 捆绑在一起并且不用排序，
则6人的排列方法种数共有 SKIPIF 1 < 0 种.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知正四棱锥的侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案.
【详解】如图所示正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
设正四棱锥外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设正四棱锥底面边长 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①，
由 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第二象限交于 SKIPIF 1 < 0 两点,且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的方程为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设出 SKIPIF 1 < 0 点坐标,根据直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于第二象限,可得坐标的正负,过点 SKIPIF 1 < 0 向 SKIPIF 1 < 0 轴作垂线,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 向 SKIPIF 1 < 0 轴作垂线,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,将坐标代入可得 SKIPIF 1 < 0 ,用点差法将上式及斜率公式代入即可得 SKIPIF 1 < 0 ,又有 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,两式联立即可得 SKIPIF 1 < 0 两点坐标,进而求出直线方程即可.
【详解】解:由题知 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,
过点 SKIPIF 1 < 0 向 SKIPIF 1 < 0 轴作垂线,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,
过点 SKIPIF 1 < 0 向 SKIPIF 1 < 0 轴作垂线,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,如图所示:
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 轴, SKIPIF 1 < 0 轴,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以有 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,两式相减可得:
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,
两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ,将 SKIPIF 1 < 0 代入可得:
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ①,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ②,
①②联立可得: SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
根据截距式直线方程可得:
SKIPIF 1 < 0 ,化简可得: SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】思路点睛:该题考查直线与椭圆的综合问题,属于难题,关于解析几何中有关中点和直线斜率的题的一般思路为:
(1)设出点的坐标 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)根据中点坐标 SKIPIF 1 < 0 和斜率公式 SKIPIF 1 < 0 建立等式;
(3)将点 SKIPIF 1 < 0 分别代入圆锥曲线中,两式相减;
(4)将中点坐标及斜率代入,化简即可得到等式.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 求下列问题的排列数:
（1）3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;
（2）3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.
【答案】（1）480 （2）504
【解析】
【分析】(1)先将另4人进行全排列,再将甲乙插空排列即可;
(2)甲不排排头,先让乙排排头,则甲和另4人无限制,全排有 SKIPIF 1 < 0 种,当乙不排排头,乙不排排尾,先给乙找位置 SKIPIF 1 < 0 ,再给甲找位置 SKIPIF 1 < 0 ,另4人全排 SKIPIF 1 < 0 ,根据分步和分类的加法乘法原则,计算结果即可.
【小问1详解】
解:由题知共6人,除去男生甲和女生乙外,还有4人,
将4人全排共 SKIPIF 1 < 0 种,
4人排好后留下5个位置,将这5个位置分给甲乙,有 SKIPIF 1 < 0 种,
所以男生甲和女生乙不能相邻共 SKIPIF 1 < 0 种
【小问2详解】
由于男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾,
当乙排排头时,甲没有限制,此时排列数为 SKIPIF 1 < 0 种,
当乙不排排头,因为乙不能排排尾,
所以乙只能排中间4个位置中,共 SKIPIF 1 < 0 种,
因为甲不能排排头,除去排头位置和已经排好的乙外,
还有4个位置,选一个位置给甲,有 SKIPIF 1 < 0 种,
此时还有另4人,没有限制,全排列有 SKIPIF 1 < 0 种,
故当乙不排派头时有 SKIPIF 1 < 0 种,
所以男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾共计:
SKIPIF 1 < 0 种.
18. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入已知点列方程组求解即可；
（2）设出直线方程，利用垂径定理列方程求解即可.
【小问1详解】
设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
当过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
当过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，
设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）通过证明 SKIPIF 1 < 0 来证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的余弦值.
【小问1详解】
因为PA⊥平面ABCD，且BD SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为底面是正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
所以BD⊥平面PAC ．
【小问2详解】
建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知二面角 SKIPIF 1 < 0 为钝角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知 SKIPIF 1 < 0 为原点，线段 SKIPIF 1 < 0 的端点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动.
（1）求线段 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【答案】（1）|OA| SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据点和圆的位置关系求得正确答案.
（2）设出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后利用代入法求得 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【小问1详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以| SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
21. 伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善．据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一．小王每天17∶00—18∶00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球两种．已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表所示：
（1）已知小王第一天打篮球，则他第三天做哪项运动的可能性较大？
（2）已知小王参加这两种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：
问：要让小王前三天参加体育运动能量消耗总数的期望较大，小王第一天该参加哪项体育运动？（请用数据说明）
【答案】（1）打篮球 （2）打篮球
【解析】
【分析】（1）根据小王第一天打篮球，先求出第二天分别参加运动项目的概率，再由此分别计算第三天分别参加运动项目的概率，再通过比较大小，即可求解；
（2）分两种情况讨论，小王第一天打篮球或打羽毛球，确定前三天的运动项目安排方法，写出运动能量消耗总数的所有可能取值，分别求出对应的概率，再结合期望公式，通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 分别表示打篮球，打羽毛球运动项目， SKIPIF 1 < 0 分别表示第 SKIPIF 1 < 0 天进行 SKIPIF 1 < 0 运动项目的概率，
SKIPIF 1 < 0 小王第一天打篮球，
SKIPIF 1 < 0 小王第二天所做运动项目的概率分别为： SKIPIF 1 < 0 ，
小王第三天所做运动项目的概率分别为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故小王第三天打篮球的可能性较大．
【小问2详解】
若小王第一天打篮球，前三天的运动项目安排有： SKIPIF 1 < 0 共4种，运动能量消耗总数用 SKIPIF 1 < 0 表示， SKIPIF 1 < 0 所有可能取值为1500，1400，1300，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 (卡)；
若小王第一天打羽毛球，前三天的运动项目安排有： SKIPIF 1 < 0 共4种，运动能量消耗总数用 SKIPIF 1 < 0 表示， SKIPIF 1 < 0 所有可能取值为1400，1300，1200，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 (卡)，
SKIPIF 1 < 0 ，故小王第一天应该参加打篮球体育运动．
22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）证明详见解析，定点坐标 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程.
（2）根据直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及 SKIPIF 1 < 0 求得定点坐标.
【小问1详解】
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
故椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设点 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据 SKIPIF 1 < 0
有 SKIPIF 1 < 0
整理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线MN的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，恒过 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线MN的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，过A点，舍去.
所以直线MN过定点P SKIPIF 1 < 0 ，
当直线MN的斜率不存在时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），此时直线MN方程为 SKIPIF 1 < 0 ,过点P SKIPIF 1 < 0 .
综上，直线MN过定点P SKIPIF 1 < 0 .
前一天
当天
篮球
羽毛球
篮球
0.4
0.6
羽毛球
0.6
0.4
运动项目
篮球
羽毛球
能量消耗（卡）
500
400