山东省枣庄市2022-2022学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份山东省枣庄市2022-2022学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共20页。试卷主要包含了02， 抛物线有如下光学性质等内容，欢迎下载使用。

2023.02
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点 SKIPIF 1 < 0 是点 SKIPIF 1 < 0 在坐标平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间中射影的定义即可得到答案.
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 是点 SKIPIF 1 < 0 在坐标平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影，所以 SKIPIF 1 < 0 的竖坐标为0 ，
横、纵坐标与A点的横、纵坐标相同，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 直接列方程求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3. 如图，空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】由直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直得到 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5. 在棱长均为1的平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 3C. SKIPIF 1 < 0 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 结合数量积的运算即可得到答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由已知，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据递推式以及 SKIPIF 1 < 0 迭代即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
7. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点 SKIPIF 1 < 0 射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 坐标可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与抛物线方程联立求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据选项可得答案,
【详解】把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
与抛物线方程联立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确,
故选：D.
8. 已如双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线的右支于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】先作辅助线，设出边长，结合题干条件得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理得到关于 SKIPIF 1 < 0 的等量关系，求出离心率.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则根据 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线定义可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，即该双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系可能是（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
【答案】ABC
【解析】
【分析】由圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 整理为： SKIPIF 1 < 0 ，从而圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，而 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2，从而两圆的圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，此时两圆外离；
当 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，此时两圆外切；
由于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，两圆相交；
且 SKIPIF 1 < 0 ，故两圆不会内含或内切，综上：两圆得位置关系可能是外离，外切或相交.
故选：ABC
10. 已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 为递减数列
C. SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项D. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】先由题干中条件得到公差 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出通项公式，判断出AB选项；计算出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 发现 SKIPIF 1 < 0 ，故判断C选项的正误；D选项 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 最小，计算出结果即可判断.
【详解】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确；由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，B选项错误；通过计算可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，C选项错误；因为 SKIPIF 1 < 0 为递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值， SKIPIF 1 < 0 ，D选项正确
故选：AD
11. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0
B. 当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0
D. 当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 在两坐标轴上的截距相等
【答案】BC
【解析】
【分析】根据直线方程的相关性质即可逐项求解.
【详解】对于A项，若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 或1，故A错误；
对于B项，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为1，而直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为－1，∴两条直线垂直，故B正确；
对于C项， SKIPIF 1 < 0 恒成立时，令y＝0，得x＝1，即直线过定点(1，0)，故C正确；
对于D项，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，所以横截距和纵截距互为相反数，故D错误.
故选：BC.
12. 如图，在边长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动（包括端点），下列选项正确的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的最小值是 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 得到A正确；取特殊点排除B；根据距离的最值得到C正确；确定 SKIPIF 1 < 0 得到D正确，得到答案.
【详解】如图所示：连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不垂直，故B错误；
SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 最大时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角度最小，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故此处线面所成角的最小值θ的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时等号成立，D正确.
故选：ACD
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.
13. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为共面向量，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据空间向量共面定理即可求解.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 为共面向量,
则存在一组唯一的实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2
14. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 _____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】试题分析：由题意得: SKIPIF 1 < 0
考点：等差数列通项
15. 在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】建立空间坐标系，求解直线 SKIPIF 1 < 0 的单位方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，结合勾股定理进行求解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________；若直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________.
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】直线l表示过点 SKIPIF 1 < 0 的直线，在平面直角坐标系中作出线段 SKIPIF 1 < 0 ，当直线l过点B时，直线l与线段 SKIPIF 1 < 0 相交且斜率最大，求出斜率；作出线段 SKIPIF 1 < 0 ，直线l分别过点B和点C时，为斜率的临界值，得到斜率的取值范围.
【详解】直线l表示过点 SKIPIF 1 < 0 的直线，在平面直角坐标系中作出线段 SKIPIF 1 < 0 如图，
当直线l过点B时，直线l与线段 SKIPIF 1 < 0 相交且斜率最大，此时斜率 SKIPIF 1 < 0 ；
在平面直角坐标系中作出线段 SKIPIF 1 < 0 如图，
直线l过点B时，斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线l过点C时，斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以k的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2； SKIPIF 1 < 0
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项的和，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
（2）在等比数列中 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 和公比 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）72；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式计算首项和公差，再代入计算 SKIPIF 1 < 0 ；（2）利用等比中项的性质求 SKIPIF 1 < 0 ，并结合 SKIPIF 1 < 0 确定 SKIPIF 1 < 0 的具体值，再代入等式计算可求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【详解】解：（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由等比数列的性质可得， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
18. 给出下列条件：①焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上；②焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上；③抛物线上横坐标为 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ；④抛物线的准线方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（1）对于顶点在原点 SKIPIF 1 < 0 的抛物线 SKIPIF 1 < 0 ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，并说明理由；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的任意一条直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不同两点，试探究是否总有 SKIPIF 1 < 0 ？请说明理由.
【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有 SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；
（2）假设总有 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，利用韦达定理计算 SKIPIF 1 < 0 可得结果.
【详解】解：（1）因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以条件①适合，条件②不适合.
又因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以条件④不适合题意，
当选择条件③时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时适合题意，
故选择条件①③时，可得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）假设总有 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，无论 SKIPIF 1 < 0 如何变化，总有 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.
19. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 点.
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，计算得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可证得结论成立；或利用反证法；
（2）利用空间向量法即求.
【小问1详解】
方法一：如图以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直．
方法二：假设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，又直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0
又已知 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，这产生矛盾，所以假设不成立，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直得证.
【小问2详解】
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 .
显然二面角 SKIPIF 1 < 0 为钝二面角，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间插入n个数，使这 SKIPIF 1 < 0 个数组成一个公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）证明见解析， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用 SKIPIF 1 < 0 及已知即可得到证明，从而求得通项公式；
（2）先求出通项 SKIPIF 1 < 0 ，再利用错位相减法求和即可.
小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
21. 某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向 SKIPIF 1 < 0 米的点A处，有一 SKIPIF 1 < 0 全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．
（1）在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？
（2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．
【答案】（1）不在 （2）17.5米
【解析】
【分析】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示直角坐标系，求出直线AB方程，判断直线AB与圆O的位置关系即可；
（2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点A的直线l与圆O相切时的直线方程即可.
【小问1详解】
以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系
则 SKIPIF 1 < 0 ，观景直道所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0
依题意得：游客所在点为 SKIPIF 1 < 0
则直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心O到直线AB的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线AB与圆O相交，
所以游客不在该摄像头监控范围内.
【小问2详解】
由图易知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，
所以设直线l过A且恰与圆O相切，
①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；
②若直线l不垂直于x轴，设 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
所以圆心O到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
设这两条直线与 SKIPIF 1 < 0 交于D，E
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.
22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于A、B两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）2.
【解析】
【分析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；
(2)直线l和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线l和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式y＝kx＋t，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长 SKIPIF 1 < 0 得k和t的关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.
【小问1详解】
由题知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 位于 SKIPIF 1 < 0 轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 不垂直 SKIPIF 1 < 0 轴时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0
已知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 化简得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大值为2.
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
综上， SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为2.