山东省淄博市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份山东省淄博市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解），共21页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 在空间直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 关于平面 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于什么对称什么不变来解答.
【详解】点 SKIPIF 1 < 0 关于平面 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
故选：C.
2. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，则a的值为（ ）
A. 1B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 1或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线垂直的公式计算即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互相垂直,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3. 十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意用根 SKIPIF 1 < 0 算筹组成的无重复数字三个数字组合为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，再由排列数计算总的基本事件的个数以及能被 SKIPIF 1 < 0 整除的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】用根 SKIPIF 1 < 0 算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
三位数有 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 这四种情况每一种情况三个数的全排列，有 SKIPIF 1 < 0 种，
能被 SKIPIF 1 < 0 整除的基本事件的个数为 SKIPIF 1 < 0 的全排列，有 SKIPIF 1 < 0 种，
所以这个三位数能被3整除的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
4. 某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）若该同学所画的椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则“切面”所在平面与底面所成的角为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由离心率求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得∠BAM的余弦值，得角的大小．
【详解】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
5. 近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲､乙､丙三人通过强基计划概率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（ ）
A SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】甲、乙、丙三人通过强基计划为相互独立事件,根据概率的乘法公式求解.
【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件 SKIPIF 1 < 0 ,显然 SKIPIF 1 < 0 为相互独立事件,
则“三人中恰有两人通过”相当于事件 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 互斥,
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
6. 如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；
【详解】解：以D为原点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向分别作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，设正方体的棱长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以所求角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
7. 已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 9D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】 SKIPIF 1 < 0 的周长最小，即求 SKIPIF 1 < 0 最小，过P做抛物线准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,转化为求 SKIPIF 1 < 0 最小，数形结合即可求解.
【详解】
如图：由已知 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在抛物线内部，
作 SKIPIF 1 < 0 准线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 准线于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线定义知 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时取最小值，
故 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
8. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一条公切线，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】先通过条件得两圆内切，利用圆与圆的位置关系得 SKIPIF 1 < 0 关系，再利用 SKIPIF 1 < 0 关系及基本不等式求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 两圆有且仅有一条公切线，
SKIPIF 1 < 0 两圆内切，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得0分．
9. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案
【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误
对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确
对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确
故选：BD
【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题
10. 在棱长为3的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上运动（不与顶点重合），则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离可以是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
【分析】利用坐标法，设，可得平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，进而即得.
【详解】以D为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
则有： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以距离的范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：CD.
11. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
B. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线所成的锐角为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0
D. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 离心率为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】由左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，求得双曲线的方程，再逐项判断.
【详解】因为双曲线的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以过 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确;
则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两渐近线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则两渐近线所成的锐角为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确;
不妨取渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到双曲线 SKIPIF 1 < 0 渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,故C错误﹔
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .故D错误;
故选：AB
12. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 无公共点，则 SKIPIF 1 < 0
B. 当 SKIPIF 1 < 0 时，两圆公共弦长所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时，P、Q分别是圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
D. 当 SKIPIF 1 < 0 时，过直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点分别作圆 SKIPIF 1 < 0 、圆 SKIPIF 1 < 0 切线，则切线长相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据两圆无公共点可得，圆内含或外离，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的范围，判断A错；由两圆的方程作差，即可得出公共弦所在直线方程，判断B正确；由 SKIPIF 1 < 0 ，先判断两圆位置关系，进而可得 SKIPIF 1 < 0 范围，判断C正确；根据两点间的距离公式，分别求出直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点到两圆心的距离，进而求出切线长，即可判断D正确.
【详解】由题意，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
则圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ；
A选项，若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 无公共点，则只需 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故A错；
B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
C选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离；又P、Q分别是圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 上的点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故C选项正确；
D选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，由A选项可知，两圆外离；
记直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因此切线长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于熟记圆与圆位置关系、公共弦所在直线方程的求法，以及圆的切线长的求法等，结合题中条件，即可求解.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 不共线的概率是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有 SKIPIF 1 < 0 种结果，向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 不共线的对立事件是 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共线，根据向量共线的条件得到 SKIPIF 1 < 0 ，列举出所有的结果数，得到共线的概率，从而求得不共线的概率.
【详解】由题意知本题是一个古典概型，
SKIPIF 1 < 0 试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有 SKIPIF 1 < 0 种结果，
当向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线时，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
满足这种条件的有 SKIPIF 1 < 0 ，共有3种结果，
SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
根据对立事件，向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则 SKIPIF 1 < 0 ＝___
【答案】1
【解析】
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得焦点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设过 SKIPIF 1 < 0 点直线方程为 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简后为： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，根据抛物线定义可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 .
15. 直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点N坐标为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先通过观察可得到定点 SKIPIF 1 < 0 ，再利用直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，以及线段 SKIPIF 1 < 0 的中点在直线 SKIPIF 1 < 0 上列方程求解点N坐标.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点N坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 定义离心率是 SKIPIF 1 < 0 的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 是“黄金椭圆”，则 SKIPIF 1 < 0 ___________，若“黄金椭圆” SKIPIF 1 < 0 两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是 SKIPIF 1 < 0 的内心，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点N，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由离心率的定义可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 结合椭圆定义可求解．
【详解】由题， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球､假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．
（1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率：
（2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．
【答案】（1）0.5 （2）0.1
【解析】
【分析】（1）设双方10：10平后的第 SKIPIF 1 < 0 个球甲获胜为事件 SKIPIF 1 < 0 ，又打了 SKIPIF 1 < 0 个球比赛结束，则由 SKIPIF 1 < 0 能求出结果．
（2） SKIPIF 1 < 0 且甲获胜 SKIPIF 1 < 0 ，由此能求出事件“ SKIPIF 1 < 0 且甲获胜”的概率．
【小问1详解】
设双方10：10平后的第 SKIPIF 1 < 0 个球甲获胜为事件 SKIPIF 1 < 0 ，又打了 SKIPIF 1 < 0 个球比赛结束，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 且甲获胜 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设方程为 SKIPIF 1 < 0 根据题意求出 SKIPIF 1 < 0 即可
（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可
【小问1详解】
因为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，①
又双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，②
又 SKIPIF 1 < 0 ，③
联立上述式子解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故所求方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
19. 如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足 SKIPIF 1 < 0 ，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）用向量 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）先计算 SKIPIF 1 < 0 ，再开方即可求解
【小问1详解】
因为M是棱BC的中点，点N满足 SKIPIF 1 < 0 ，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
因为四面体 SKIPIF 1 < 0 是正四面体，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
20. 设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，曲线 SKIPIF 1 < 0 上有两点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，又满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，得到圆心和半径，根据题意可得圆心在直线上，进而可求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）先由题意设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与圆的方程，结合韦达定理、判别式等，即可求出结果.
【小问1详解】
曲线方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆.
因为 SKIPIF 1 < 0 在圆上且关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，代入得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，将直线代入圆的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的平面展开图中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为边长等于 SKIPIF 1 < 0 的正方形， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为正三角形，（如图2所示）．
在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中：
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上一点且 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理证明 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，即可证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，进一步证明面面垂直；
（2）以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，求出 SKIPIF 1 < 0 点的坐标.然后求出平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，利用向量法即可求出答案.
【小问1详解】
由已知，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
如图3，取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，如图4，建立空间直角坐标系.
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量.
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量.
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为左右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）已知结论：若点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，则椭圆在该点的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两条不同切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 为定点；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据已知可得 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 方程，代入 SKIPIF 1 < 0 点坐标，即可得出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.令 SKIPIF 1 < 0 ，可求得 SKIPIF 1 < 0 为常数.
【小问1详解】
如图1，由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则由已知可得， SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 .
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 方程整理可得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
显然 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 点坐标都满足方程 SKIPIF 1 < 0 .
即直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 点坐标 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 为定点.