2023-2024学年云南省保山市B、C类学校高一（上）第三次质检数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省保山市B、C类学校高一（上）第三次质检数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−2≤x<1}，B={−2,−1,0,1}，则A∩B=( )
A. {−2,−1,0,1}B. {−1,0,1}C. {−1,0}D. {−2,−1,0}
2.sin1500°等于( )
A. 12B. 32C. −12D. − 32
3.下列函数中是增函数的为( )
A. f(x)=lg12xB. f(x)=(23)xC. f(x)=x2D. f(x)=3x
4.二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶.从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒.二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为( )
A. 3π4B. −3π4C. 5π4D. −5π4
5.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3−1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A. (0,0.5)，f(0.125)B. (0,0.5)，f(0.375)
C. (0.5,1)，f(0.75)D. (0,0.5)，f(0.25)
6.若2a=5b=10，则2a+2b=( )
A. −1B. lg7C. 2D. lg710
7.设a=lg20.3,b=−lg20.4,c=0.40.3，则a，b，c的大小关系为( )
A. a8.给定函数.f(x)=−2x+3，g(x)=−2x2+5x，x∈R.，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为M(x)=min{f(x),g(x)}，则M(x)的最大值为( )
A. −3B. 2C. 3D. 258
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若a>b>0，则a2>b2
C. 若a10.下列结论正确的是( )
A. −7π6是第二象限角
B. 第三象限角的集合为{α|π+2kπ≤α≤3π2+2kπ,k∈Z}
C. 终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+π2,k∈Z}
D. 若角α为锐角，则角2α为钝角
11.若函数f(x)=lg12x，则下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域为(0,+∞)B. 当00
C. f(x)>1的解集为(−∞,12)D. f(f(12))=0
12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)，g(x)在(−∞,0]上单调递减，则下列说法正确的是( )
A. g(g(−1))C. f(g(1))>f(g(2))D. f(f(1))三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=lga(x−2)+1(a>0且a≠1)恒过定点______．
14.如果tanα=1，那么2sinα+csα4sinα−3csα= ______ ．
15.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根是−1和2，则对应二次函数y=ax2+bx+c的零点是______ ，对应一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是______ ．
16.已知函数f(x)=|x+2|,x≥0x−2x−1,x<0，若f(5a)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求值：
(1) (3−π)2+813+(827)−23−0.52+( 3−1)0；
(2)12lg25+lg2+(13)lg32−lg29×lg32．
18.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为−45，求tanα的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈(0,π2]，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
19.(本小题12分)
(1)已知csθ=1213，且θ为第四象限角，求sinθ和tanθ的值；
(2)已知tanα=−3,π2<α<π，求sinα，csα的值；
(3)已知sinα+csα=15，若α是第二象限角，求sinα−csα的值．
20.(本小题12分)
著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质.已知函数f(x)=(12)x−1,x≤0−x2+2x+1,x>0．
(1)在平面直角坐标系中作函数y=f(x)的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间；
(2)解不等式f(x)≤1．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)满足2f(x)+f(−x)=3x2−2x．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)=m|x−1|−1有3个不同的实数解，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg3x−1x+1．
(1)求函数f(x)的定义域，并判断其奇偶性；
(2)若关于x的方程f(9x+9−x+9)+f(−3x−3−x−3m)=0有解，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵A={x|−2≤x<1}，B={−2,−1,0,1}，
∴A∩B={−2,−1,0}．
故选D．
2.【答案】B
【解析】解：sin1500°=sin(4×360°+60°)=sin60°= 32．
故选：B．
用诱导公式先化简后求值．
本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=lg12x为(0,+∞)上的减函数，不符合题意；
对于B，f(x)=(23)x为R上的减函数，不符合题意；
对于C，f(x)=x2在R上不单调，不符合题意；
对于D，f(x)=∖rt^3为R上的增函数，符合题意．
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：依题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每一份的弧度数位2π24=π12，
从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个格，
所以转过的弧所对圆心角的弧度数为15×π12=5π4．
故选：C．
根据弧度制的定义计算出每一小格所代表的弧度即可得出答案．
本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：令f(x)=x5+8x3−1，
则f(0)<0，f(0.5)>0，
∴f(0)⋅f(0.5)<0，
∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，
第二次应计算的函数值应该为f(0.25)．
故选：D．
根据零点定理f(a)f(b)<0，说明f(x)在(a,b)上有零点，已知第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈(0,0.5)，根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值f(0.25)．
本题考查的是二分法研究函数零点的问题，在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力，属中档题．
6.【答案】C
【解析】解：∵2a=5b=10，∴a=lg210，b=lg510，
∴2a+2b=2(1a+1b)=2(1lg210+1lg510)=2(lg2+lg5)=2lg10=2．
故选：C．
由已知表示出a，b，再由换底公式化简可求．
本题主要考查了指数与对数的转化及对数的运算性质的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为y=lg2x在(0,+∞)内单调递增，
则lg20.3lg22=1，即a<0，b>1，
又因为y=0.4x在R内单调递减，则0<0.40.3<0.40=1，即0所以a故选：D．
根据指数函数和对数函数的性质求出a，b，c的范围即可求解．
本题考查指数函数和对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：画出函数f(x)，g(x)的图像，如图示：
，
由y=−2x+3y=−2x2+5x，解得：x=12y=2或x=3y=−3，
故A(12,2)，B(3,−3)，
∵M(x)=min{f(x),g(x)}，
∴M(x)的最大值是2．
故选：B．
画出函数f(x)，g(x)的图像，结合图像求出M(x)的最大值即可．
本题考查了常见函数的性质以及函数的最值问题，考查数形结合思想，是基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：A选项：当c=0时，ac2=bc2，故A错；
B选项：当a>b>0时，a2>b2，故B正确；
C选项：当ab2，故C错；
D选项：当a1b，故D错．
故选：ACD．
根据不等式的性质判断即可．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，−7π6与5π6是终边相同的角，5π6是第二象限角，故−7π6是第二象限角，故A正确；
对于B，第三象限角的集合为{α|π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z}，故B错误；
对于C，终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+π2,k∈Z}，故C正确；
对于D，若角α为锐角，则角2α不一定为钝角，如：α=15°，2α=30°，故D错误．
故选：AC．
根据终边相同的角的概念，即可判断A；根据象限角的概念，即可判断B；根据轴线角的概念，即可判断C；举反例，即可判断D．
本题考查象限角，轴线角，终边相同的角的概念，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=lg12x，
对于A，函数f(x)=lg12x的定义域为(0,+∞)，故A正确；
对于B，∵函数f(x)=lg12x在(0,+∞)上单调递减，
∴当0lg121=0，故B正确；
对于C，函数f(x)=lg12x在(0,+∞)上单调递减，f(x)>1，
∴lg12x>lg1212，解得(0, 12)，故C错误；
对于D，f(f(12))=f(lg1212)=f(1)=lg121=0，故D正确．
故选：ABD．
根据对数函数的图象性质解决即可．
本题考查对数函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)，g(x)在(−∞,0]上单调递减，
所以g(−1)因为g(f(−1))=g(−f(1))=g(f(1))，
又f(x)在R上单调递减，
所以0=f(0)>f(1)>f(2)，
因为g(x)为偶函数且在(−∞,0]上单调递减，
所以g(f(1))>g(f((2)),
即g(f(−1))因为f(x)为(−∞,0]上递增的奇函数，即f(x)在R上递增，
所以f(g(1))>f(g(2))，C正确；
由f(x)为R上递减的奇函数，得f(1)>f(2)，
所以f(f(1))故选：CD．
由已知结合函数的奇偶性及单调性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
13.【答案】(3,1)
【解析】【分析】
令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得对数函数定点坐标．
本题主要考查函数的图象经过定点问题，令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得对数函数定点坐标，属于中档题．
【解答】
解：对于函数f(x)=lga(x−2)+1(a>0且a≠1)，令x−2=1，求得x=3，y=1，
可得函数的图象经过(3,1)．
故答案为(3,1)
14.【答案】3
【解析】解：由tanα=1，得2sinα+csα4sinα−3csα=2tanα+14tanα−3=2×1+14×1−3=3．
故答案为：3．
根据题意，分式分子分母同除以csα，由已知化弦为切求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】−1和2 (−1,2)
【解析】解：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根是−1和2，
根据函数零点的定义，可得二次函数y=ax2+bx+c的零点是−1和2；
结合一元二次函数与一元二次不等式的关系，
可得不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为(−1,2)．
故答案为：−1和2；(−1,2)．
根据题意，结合零点的定义，求得函数的零点，再由一元二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解．
本题考查了函数零点与不等式的解集应用问题，是基础题．
16.【答案】(−6,1)
【解析】解：因为x≥0时，f(x)=|x+2|单调递增，且f(x)≥f(0)=2，
因为x<0时，f(x)=x−2x−1=1−1x−1单调递增，f(x)所以f(x)在R上单调递增，因为f(5a)所以5a<6−a2，所以−6故答案为：(−6,1)．
通过分析f(x)在x≥0与x<0两个区间段内的单调性知，f(x)在R上单调递增，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求出实数a的取值范围．
本题主要考查分段函数及其应用，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1) (3−π)2+813+(827)−23−0．52+( 3−1)0=π−3+2+[(23)3]−23−14+1=π+94−14=π+2．
(2)12lg25+lg2+(13)lg32−lg29×lg32=lg5+lg2+(13)lg1312−2lg23×lg32
=lg5+lg2+12−2lg3lg2×lg2lg3=lg(5×2)+12−2=1−32=−12．
【解析】(1)指数的运算法则即可计算；
(2)对数的运算法则即可计算．
本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设点B(−45, y0),y0>0，由单位圆的性质可得y0= 1−(−45)2=35，
则B(−45, 35)，
所以，根据三角函数的定义得tanα=yx=35−45=−34．
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB=π3，
故与角α终边相同的角β的集合为{β|β=2kπ+π3,k∈Z}．
(3)若α∈(0, π2]，则扇形的面积为S1=12αr2=12α，
由S△AOB=12×1×1⋅sinα=12sinα．
所以弓形AB的面积为S=S1−S△AOB=12α−12sinα, α∈(0, π2]．
【解析】(1)根据三角函数的定义得到tanα=yx，即可求解．
(2)由△AOB为等边三角形得到∠AOB=π3，结合终边相同角的表示，即可求解．
(3)根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，求得扇形和三角形的面积，进而求得弓形AB的面积．
本题主要考查三角函数的定义、终边相同的角，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为θ为第四象限角，则sinθ<0，
所以sinθ=− 1−cs2θ=− 1−(1213)2=−513，
所以tanθ=sinθcsθ=−5131213=−512；
(2)因为tanα=−3，
所以sinαcsα=−3，则sinα=−3csα，
又sin2α+cs2α=1，
故(−3csα)2+cs2α=1，则cs2α=110，
因为π2<α<π，
所以sinα>0，csα<0，
故csα=− 1010，
所以sinα= 1−cs2α=3 1010；
(3)(sinα+csα)2=sin2α+cs2α+2sinαcsα=1+2sinαcsα=125，
所以2sinαcsα=−2425，
所以(sinα−csα)2=sin2α+cs2α−2sinαcsα=1−2sinαcsα=1+2425=4925，
所以sinα−csα=±75，
又因为α是第二象限角，
所以sinα>0，csα<0，
所以sinα−csα=75．
【解析】(1)由同角三角函数的基本关系求解；
(2)由同角三角函数的基本关系求解；
(3)由(sinα+csα)2=1+2sinαcsα得sinαcsα的值，再由(sinα−csα)2=1−2sinαcsα求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)简图如图所示：
由图可得该函数的单调减区间为(−∞,0)和(1,+∞)；
(2)①当x≤0时，(12)x−1≤1得2−x≤21，所以−1≤x≤0；
②当x>0时，−x2+2x+1≤1，解得x≥2；
综上：原不等式f(x)≤1的解集为[−1,0]⋃[2,+∞)．
【解析】(1)根据指数函数、二次函数的性质作出图象即可；
(2)结合图象，求出f(x)=1时的x的值，即可求出不等式的解集．
本题考查函数图象的画法，不等式的解法等，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由2f(x)+f(−x)=3x2−2x①，可得2f(−x)+f(x)=3x2+2x②，
联立①②可得f(x)=x2−2x．
(2)由题可知x2−2x=m|x−1|−1，即(x−1)2−m|x−1|=0，
令t=x−1，则关于t的方程t2−m|t|=0有3个不同的实数解，t2−m|t|=0，即|t|⋅(|t|−m)=0，解得t=0或|t|=m，
则只需|t|=m有两个不同的非零实数解，则m>0，
所以m的取值范围为(0,+∞)．
【解析】(1)用−x代替x，再消去f(−x)即可得解；
(2)令t=x−1，讨论方程t2−m|t|=0的实数解的情况，即可得出m的范围．
本题主要考查了函数解析式的求法，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了二次函数的性质，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由x−1x+1>0解得x<−1或x>1，所以f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，
定义域关于原点对称，且f(−x)=lg3−x−1−x+1=lg3x+1x−1=−lg3x−1x+1=−f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)由(1)可知：f(9x+9−x+9)+f(−3x−3−x−3m)=0有解⇒f(9x+9−x+9)=−f(−3x−3−x−3m)=f(3x+3−x+3m)有解，
因为9x+9−x+9≥11，3x+3−x≥2，3x+3−x+3m>2，
又因为f(x)=lg3x−1x+1=lg3(1−2x+1)在(1,+∞)上单调递增．⇒9x+9−x+9=3x+3−x+3m有解，
设t=3x+3−x(t∈[2,+∞))，则9x+9−x=t2−2，⇒t2−2+9=t+3m有解，⇒t2−t+7=3m有解，
当t∈[2,+∞)时，y=t2−t+7∈[9,+∞)，所以3m∈[9,+∞)，m∈[2,+∞)．
【解析】(1)由x−1x+1>0可求得定义域，根据函数奇偶性的定义进行判断即可；
(2)根据奇函数的性质和单调性可得9x+9−x+9=3x+3−x+3m有解，设t=3x+3−x(t∈[2,+∞))，可得t2−t+7=3m有解，即可求出．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义进行判断是解决本题的关键，是中档题．