数学八年级下册19.2.2 一次函数同步训练题

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例1．一次函数与(k，b是常数，且)在同一坐标系中的大致图象是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数图象可知，，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；
B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项正确；
C、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；
D、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；
故选：B．
例2．在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误；
B、反映，，反映，，则，故本选项错误；
C、反映，，反映，，则，故本选项错误；
D、反映，，反映，，则，故本选项错误；
故选：D．
【变式训练1】下列图中，表示一次函数与正比例函数(其中、为常数，且)的大致图像，其中表示正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：A.由一次函数图像可知，则；正比例函数的图像可知不矛盾，故此选项正确，符合题意；
B. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
C. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
D. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【变式训练2】一次函数的图像可能正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：令x＝0，则y＝k2+1＝0，
所以一次函数y＝kx+k2+1(k≠0)的图像与y轴交于点(0，k2+1)，
∵k2+1＞0，
∴图像与y轴的交点在y轴的正半轴上．
故选：C．
【变式训练3】如图，是平面直角坐标系中的两点，若一次函数的图象与线段AB有交点，则k的取值范围是_______．
【答案】k<-1或k>2
【详解】解：当直线y=kx-1过点A时，得-2k-1=1，解得k=-1，
当直线y=kx-1过点B时，得2k-1=3，解得k=2，
∵一次函数的图象与线段AB有交点，
∴k<-1或k>2，
故答案为：k<-1或k>2．
类型二、一次函数图像与应用问题
例1．如图点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是( )．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由点M是CD中点可得：CM=，
(1)如图：当点P位于线段AB上时，即0≤x≤1时，
y==x；
(2)如图：当点P位于线段BC上时，即1BP=x－1，CP=2－x，
y===；
(3)如图：当点P位于线段MC上时，即2MP=，y===．
综上所述：
．
根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符．
故选：C．
例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，点与坐标原点重合，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿的路线向终点运动，连接、，设点运动的时间为秒，的面积为，下列图像能表示与之间函数关系的是( )

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵矩形的顶点，,
∴OA=BC=6，OC=AB=4，
当点P在OA边上即0≤t<3时，，
当点P在AB边上即3≤t<5时，，
当点P在BC边上即5≤t≤8时，，
故选：B .
【变式训练1】如图，一次函数与的图象相交于点，则函数的图象可能是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：根据y1,y2的图象可知，k＜0，b＞0，
且当x=1时，y2=0，即k+b=0.
∴对于函数，有b＞0，
当x=1时，y=k-1+b=0-1=-1＜0.
∴符合条件的是A选项.
故选：A.
【变式训练2】如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：设菱形的高为h，有三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，
y=AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C不正确；
②当P在边BC上时，如图2，
y=AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项A不正确；
③当P在边CD上时，如图3，
y=PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项D不正确，
故选：B．
【变式训练3】如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，
由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中，，
∴△OAB≌△DAC(AAS)，
∴OB=CD，
∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1(x＞0)．
【变式训练4】如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，
由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中，，
∴△OAB≌△DAC(AAS)，
∴OB=CD，
∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1(x＞0)．
【变式训练5】如图，在直角梯形ABCD中，AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中点，点P在直角梯形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：当点P运动到点B时，如图1，
作AB边上的高MH，
∵AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中点，
∴MH是梯形的中位线．∴MH=×(6+4)=5．
∴△APM的面积=×2×5=5．
∴当x=2时，y=5．从而可排除A，B选项．
当点P运动到点C时，如图2，
分别作△ACD和△AMD的AD边H的高CE和MF，
∵AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中点，
∴MF是△CDE的中位线．∴MF=×2=1．
∴S△APM==×6×2-×6×1=3
∴当x=6时，y=3．从而可排除C选项．
故选：D．
类型三、参数问题
例．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究：①；②；③当时，；④若，，则，其中正确结论的个数共有()
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【详解】解：由图像可得经过二、三、四象限，
∴，，①正确
由图象可得：经过一、三、四象限，
∴，
∴，②正确；
由图象可得，当时，，③正确；
由题意可得，和经过点
则，
又∵，
解得，
则：，
将代入，，解得，
即，，
，④错误
正确的个数为3
故选：C
【变式训练1】一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是( )
A．①②B．①④C．②③D．③④
【答案】B
【详解】解：由图像可知，对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确；
根据题意可知：a＞0，d＞0，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由可得，故不等式的解集是，故③不正确；
可以得到，故④正确；
故正确的有①④；
故选B．
【变式训练2】如图，一次函数与的图象交于点．下列结论中，正确的有( )
①；②；③当时，；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【详解】解：由图象可知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，
故①选项不符合题意；
由图象可知一次函数y=cx+d的图象经过一、二、三象限，∴c＞0，d＞0，∴ac＜0，
故②选项不符合题意；由图象可知，当x＞1时，ax+b＜cx+d，故③选项不符合题意；
∵一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，且P的横坐标为1，∴a+b=c+d，故④选项符合题意；
∵函数y=cx+d=0时，x=-，由图象可知，-＞-1，
∵c＞0，∴d＜c，故⑤选项不符合题意；
综上，正确的选项有：④共1个，
故选：A．
【变式训练3】如图，是平面直角坐标系中的两点，若一次函数的图象与线段AB有交点，则k的取值范围是_______．
【答案】k<-1或k>2
【详解】解：当直线y=kx-1过点A时，得-2k-1=1，解得k=-1，
当直线y=kx-1过点B时，得2k-1=3，解得k=2，
∵一次函数的图象与线段AB有交点，
∴k<-1或k>2，
故答案为：k<-1或k>2．
类型四、规律性问题
例．如图，直线：与直线：相交于动点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴方向运动，到达直线上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，．．．，照此规律运动，动点C依次进过点，，，，，，…，，则当动点C到达处时，运动的总路径的长为( )
A．22022-1B．22022-2C．22023+1D．22023-2
【答案】D
【详解】解：将代入解析式，可得，，
由直线：可知，，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知，，，，
，，，，
，，，…，
由此可得，，
∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为，
∴当点到达处时，运动的总路径的长为．
故选：D．
【变式训练1】如图，点在直线l：上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点……按照这个规律进行下去，点的坐标为__________．
【答案】
【详解】解：∵点在直线l：上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，⋯⋯
∴点的坐标为，故答案为：．
【变式训练2】如图，点在直上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角，再过点作轴交直线y＝x和直线于，两点，再以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去，则等腰直角的边长为_____．(用含正整数n的代数式表示)
【答案】
【详解】解：∵点在直线上，
∴点横坐标为2，将代入得，∴点坐标为．
∵为等腰直角三角形，∴，∴点坐标为．．
∵过点作过点轴，
∴的横坐标为3，将分别代入与中得的纵坐标分别为3，，
即，，，∴．
同理可得，……，∴．
故答案为：．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作 y 轴平行线，交直线 于点，以线段为边在右侧作第一个正方形 所在的直线交的图象于点，交 的图象于点 ，再以线段为边在右侧作第二个正方形…依此类推，按照图中反映的规律，第 3 个正方形的边长是______ ；第 100 个正方形的边长是______ ．
【答案】 18
【详解】解：∵点，轴，
∴点的横坐标为1，
当时，，
∴点的坐标为，
∴，
∴正方形的边长为2，
∴，
∴点、的横坐标均为3，
∴，
∴，
∴正方形的边长为6，
同理：，
∴，
∴正方形的边长为18，
∴，
∴
……，
由此发现，，
∴，
∴第100个正方形的边长为
故答案为：18；．
【变式训练4】如图，直线的解析式为与x轴交于点M，与y轴交于点A，以为边作正方形，点B坐标为．过B点作直线交于点E，交x轴于点，过点作x轴的垂线交于点，以为边作正方形，点的坐标为．过点作直线交于，交x轴于点，过点作x轴的垂线交于点．以为边作正方形，…，则点的坐标 _____．
【答案】
【详解】解：∵的解析式为，
∴，
即，
由题意得：，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
综上，，
当时，，
∴点，
故答案为：．