人教版八年级下册19.2.2 一次函数课时训练

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类型一、面积问题
例．如图，直线AB的表达式为，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为点C在线段上，交y轴于点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若，求点C的坐标．
(3)若与的面积相等，在直线上有点P，满足与的面积相等，求点P坐标．
【变式训练1】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．
(1)填空：________；________；________；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，点D是y轴正半轴上的动点，连接交x轴于点E．
(1)如图①，若点D的坐标为，求的面积；
(2)如图②，若，求点D的坐标．
(3)如图③，若，请直接写出点D的坐标．
【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B．过点且垂直于x轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求直线的解析式和点B的坐标；
(2)求的面积(用含n的代数式表示)；
(3)当的面积为2时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求出点C的坐标．
类型二、最值问题
例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过、两点．
(1)______，______．
(2)已知、，
①在直线上找一点P，使．用无刻度直尺和圆规作出点P(不写画法，保留作图痕迹)；
②点P的坐标为______；③点Q在y轴上，那么的最小值为______．
【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线经过和两点，且与轴，轴分别相交于，两点．
(1)求直线的表达式；
(2)若点在直线上，当的面积等于2时，求点的坐标；
(3)①在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为______；
②在轴上找一点，使得的值最大，则点的坐标为______．
【变式训练2】如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求正比例函数的表达式；
(2)点D是一次函数图象上的一点，且的面积是4，求点D的坐标；
(3)点P是y轴上一点，当的值最小时，若存在，点P的坐标是______．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，．
(1)求点的坐标；
(2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围；
(3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长．
类型三、等腰三角形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的标为，若点P是x轴上的一个动点．
(1)A的坐标是______，B的坐标是______；
(2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标．
(3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标．
【变式训练1】直线与x轴、y轴分别交于两点，且．
(1)求的长和k的值：
(2)若点A是第一象限内直线上的一个动点，当它运动到什么位置时，的面积是？
(3)在(2)成立的情况下，y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(写过程)
【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)如图1，求直线的解析式和A点坐标；
(2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，若，求点P坐标；
(3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，求点Q的坐标．
【变式训练3】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2，点为轴上的一个动点．
(1)求点的坐标和、的值；
(2)连接，当与的面积相等时，求点的坐标；
(3)连接，是否存在点使得为等腰三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四、直角三角形存在性问题
例．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
(1)直线的函数表达式．
(2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．
(3)若为直角三角形，求点D的坐标．
【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．直线与x轴交于点D，若点P是线段上的一个动点，点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A(到 A停止运动)．设点P的运动时间为．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)当的面积为12时，求t的值；
(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)已知点是直线上的动点，
若的面积为4，求点的坐标；
若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【变式训练3】如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，，且点的坐标为．
(1)则______，______，______；
(2)关于， 的二元一次方程组的解为______；
(3)求四边形的面积；
(4)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标．
类型五、等腰直角三角形存在性问题
例．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．
(1)求证：．
(2)模型应用：已知直线与轴交与点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．
(3)如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【变式训练1】综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段OA的中点，点与点关于轴对称，作直线．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)若点是直线上的一个动点．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题．
A．如图2，连接，．直接写出为直角三角形时点的坐标．
B．如图3，连接，过点作轴于点．直接写出为等腰直角三角形时点的坐标．
【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求直线的解析式；
(2)当时，在第一象限内找一点C，使为等腰直角三角形，求点C的坐标．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
类型六、平行四边形存在性问题
例．在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标．
(3)点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．
(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在(2)的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【变式训练2】如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B(3，0)，与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．
(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ；
(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；
(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．
类型七、菱形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴点B，C且与直线交于点A，
(1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________；
(2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线交于点P．
(1)A点坐标为________，P点坐标为________；
(2)在线段上有一个动点M，过M点作直线轴，与直线相交于点N，若的面积为，求M点的坐标．
(3)若点C为线段上一动点，在平面内是否存在一点D，使得以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说明理由．