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初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程精练
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这是一份初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程精练，文件包含第5讲分式与分式方程章末重难点题型原卷版docx、第5讲分式与分式方程章末重难点题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
【考点1 分式及最简分式的概念】
【方法点拨】掌握分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【例1】（砀山县期末）下列各式：①k22π；②1m+n；③m2−n24；④2b3a；⑤(x+1)2x−1；⑥1x，其中分式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：分式有：②1m+n、④2b3a、⑤(x+1)2x−1、⑥1x，共有4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以k22π不是分式，是整式．
【变式1-1】（遂宁期末）下列各式中，分式的个数为（ ）
x−y3，xπ+2，a2x+1，3ab，23x−y，13x+y，3x+3=1x+1
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式可得答案．
【解答】解：a2x+1，3ab，23x−y是分式，共3个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式，关键是掌握分式定义．
【变式1-2】（唐河县期中）下列分式−bcab2c3，x2−4x2−2x，x2+2xyxy−2y2，m+1m2+1，x+yx2+y2中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据最简分式的定义对各分式进行判断．
【解答】解：−bcab2c3=−1abc2，
x2−4x2−2x=(x+2)(x−2)x(x−2)=x+2x，
所以最简分式有x2+2xyxy−2y2，m+1m2+1，x+yx2+y2．
故选：C．
【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【变式1-3】（平潭县期末）若m为实数，分式x(x+2)x2+m不是最简分式，则m＝ ．
【分析】直接利用最简分式的定义结合分式的性质得出答案．
【解答】解：∵分式x(x+2)x2+m不是最简分式，
∴m＝0或﹣4时，都可以化简分式．
故答案为：0，﹣4．
【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握分式的基本性质是解题关键．
【考点2 分式有意义的条件】
【方法点拨】掌握分式有意义的条件：分母不等于0.
【例2】（沙河市期末）已知x＝﹣2时，分式x−1□无意义，则□可以是（ ）
A．2﹣xB．x﹣2C．2x+4D．x+4
【分析】当x＝﹣2时分式无意义，可知分母□的值应为0，再分别求出各选项的值即可得出答案．
【解答】解：当x＝﹣2时分式无意义，
所以分母□的值应为0，
当x＝﹣2时，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A选项不符合题意；
x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B选项不符合题意；
2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C选项符合题意；
x+4＝﹣2+4＝2≠0，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分式有意义的条件是分母不等于零．
【变式2-1】讨论探索：当x取什么数时，分式|x|−2x2−4．
（1）有意义？
（2）无意义？
【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据分母为零分式无意义，可得答案．
【解答】解：（1）要使分式|x|−2x2−4有意义，
则x2﹣4≠0，
x≠±2；
（2）要使分式|x|−2x2−4无意义，
则x2﹣4＝0，
x＝±2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
【变式2-2】下列分式有意义，求x的取值范围．
（1）x22−|x|．
（2）x+3x2+1
（3）x2−1(x−2)(x−1)．
（4）1x2−2x−3．
（5）1x2−2x+3．
【分析】分式有意义，分母不等于零，据此来求x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知2﹣|x|≠0，解得x≠±2；
（2）无论x为任何值，x2+1＞0，
∴x取任意实数，分式都有意义；
（3）由题意知（x﹣2）（x﹣1）≠0，
则x≠2且x≠1；
（4）由题意知x2﹣2x﹣3≠0，
解得：x≠﹣1且x≠3；
（5）当x取任意实数时，x2+2x+3＝（x+1）2+2＞0，
∴x取任意实数，分式都有意义．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
【变式2-3】x为何值时，分式x2−91+13+x有意义？
【分析】根据分式有意义的条件可得3+x≠0，13+x≠−1，再解即可．
【解答】解：由题意得：3+x≠0，13+x≠−1，
解得：x≠﹣3和﹣4．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
【考点3 分式值为0的条件】
【方法点拨】掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【例3】（锦江区校级月考）已知分式(x−3)(x+1)1−x2的值为0，那么x的值是（ ）
A．﹣1B．3C．1D．3或﹣1
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式(x−3)(x+1)1−x2的值为0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，则1﹣x2≠0，
解得：x＝3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键．
【变式3-1】（开江县期末）若分式a2−1a2−3a+2的值为零，则a的值为（ ）
A．﹣1B．±1C．1D．不确定
【分析】根据分式值为零的条件可得a2﹣1＝0，且a2﹣3a+2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a2﹣1＝0，且a2﹣3a+2≠0，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【变式3-2】（资阳区校级期中）若a，b为实数，且(a−2)2+|b2−16|b+4=0，求3a﹣b的值．
【分析】首先利用分式为0的条件和平方以及绝对值的性质得出a，b的值，进而代入3a﹣b求出即可．
【解答】解：∵(a−2)2+|b2−16|b+4=0，
∴a−2=0b2−16=0b+4≠0，
解得a=2b=4，
∴3a﹣b＝6﹣4＝2．
故3a﹣b的值是2．
【点评】此题主要考查了绝对值和平方的性质，正确求出a，b的值是解题关键．
【变式3-3】已知a、b、c是△ABC的三边，且a、b、c的取值使分式ab−ac+c2−bca−b的值为零，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【分析】根据分式值为零的条件，可得分子为零，根据因式分解，可得答案．
【解答】解：这个三角形是等腰三角形，理由如下
由题意，得
ab﹣ac+c2﹣bc＝0，且a﹣b≠0．
（ab﹣bc）﹣（ca﹣c2）＝0，
b（a﹣c）﹣c（a﹣c）＝0
（a﹣c）（b﹣c）＝0，
得a＝c或b＝c，
这个三角形是等腰三角形．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，利用因式分解得出（a﹣c）（b﹣c）＝0是解题关键．
【考点4 分式的基本性质】
【方法点拨】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
【例4】（南昌县期末）下列运算中，错误的是（ ）
A．ab=acbc
B．−a−ba+b=−1
C．0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b
D．y−xy+x=−x−yx+y
【分析】根据分式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵c＝0时，ab=acbc不成立，
∴选项A符合题意；
∵−a−ba+b=−(a+b)a+b=−1，
∴选项B不符合题意；
∵0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b，
∴选项C不符合题意；
∵y−xy+x=−x−yx+y，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【变式4-1】（马鞍山期末）若把分式x−y3xy中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的3倍B．不变
C．变为原来的13D．变为原来的19
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式=3x−3y3×3x×3y
=3(x−y)27xy
=x−y9xy
=13×x−y3xy，
所以把分式x−y3xy中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值变为原来的13．
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【变式4-2】（绍兴期中）不改变分式的值，把分式23x−yx+12y的分子、分母中各项的系数都化为整数，结果是（ ）
A．4x−6y6x+3yB．2x−6y6x+yC．4x−2y3x+3yD．2x−6y6x+3y
【分析】根据分式的基本性质分子和分母都乘以6，再求出即可．
【解答】解：23x−yx+12y=(23x−y)×6(x+12y)×6
=4x−6y6x+3y，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质的内容是解此题的关键．
【变式4-3】（慈溪市期末）不改变分式1.3x−12x−0.7y的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，其结果正确的是（ ）
A．13x−12x−7yB．13x−102x−7y
C．13x−1020x−7yD．13x−120x−7y
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式=13x−1020x−7y，
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【考点5 利用分式的基本性质求值】
【例5】（河南期末）若1m+1n=3，则分式2m+2n−5mn−m−n的值为 ．
【分析】由1m+1n=3可得m+n＝3mn，再将原分式的分子、分母化为含有（m+n）的代数式，进而整体代换求出结果即可．
【解答】解：∵1m+1n=3，
∴m+nmn=3，即m+n＝3mn，
∴原式=2(m+n)−5mn−(m+n)
=6mn−5mn−3mn
=mn−3mn
=−13，
故答案为：−13．
【点睛】本题考查分式的值，理解分式有意义的条件，掌握分式值的计算方法是解决问题的关键．
【变式5-1】（沙坪坝区校级月考）已知2yx−xy=3，则3x2−2xy−6y22y2−x2= ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵2yx−xy=3，
∴2y2−x2xy=3，
∴2y2﹣x2＝3xy，
∴原式=3x2−2xy−6y23xy
=xy−23−2yx
＝﹣3−23
=−113，
故答案为：−113
【点睛】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式5-2】（莱西市期末）如果x+1x=3，则x23x4+x2+3的值等于
【分析】由x+1x=3得x2+2+1x2=9，即x2+1x2=7，整体代入原式=13x2+1+3x2=13(x2+1x2)+1，计算可得．
【解答】解：∵x+1x=3，
∴（x+1x）2＝9，即x2+2+1x2=9，
则x2+1x2=7，
∵x≠0，
∴原式=13x2+1+3x2
=13(x2+1x2)+1
=13×7+1
=122，
故答案为：122．
【点睛】本题主要考查分式的值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想的运用及利用分式的基本性质对分式变形．
【变式5-3】（江北区校级期中）按要求完成下列各题：
（1）若（x﹣3）（x+m）＝x2+nx﹣15，求n2−m28n+5的值．
（2）已知（n﹣2020）2+（2021﹣n）2＝3，求（n﹣2020）（2021﹣n）的值．
（3）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b含有因式x2+x﹣2，求ab的值．
【分析】（1）利用整式乘法求出m，n的值，再代入求值即可；
（2）利用完全平方公式和整体代入，用多项式乘多项式法则求解即可；
（3）由于x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），而多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），则x＝﹣2和x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到ab的值．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+m）＝x2+（m﹣3）x﹣3m＝x2+nx﹣15，
∴n＝m﹣3，﹣3m＝﹣15，
∴m＝5，n＝2，
把m＝5，n＝2代入n2−m28n+5得，
原式=22−528×2+5=−2121=−1．
（2）令n﹣2020＝a，2021﹣n＝b，
根据题意得：
a2+b2＝3，a+b＝1，
∴原式＝ab=(a+b)2−(a2+b2)2=1−32=−1．
（3）∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），
∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，
设商是A．
则2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），
则x＝﹣2或x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x＝﹣2时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝32+24+4a﹣14+b＝4a+b+42＝0 ①，
当x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝2﹣3+a+7+b＝a+b+6＝0 ②，
①﹣②，得
3a+36＝0，
∴a＝﹣12，
∴b＝﹣6﹣a＝6．
∴ab=−126=−2．
【点睛】此题考查的是分式的值，熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基础，注意因式的特点，灵活解决问题．
【考点6 分式的化简求值】
【方法点拨】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
【例6】（织金县期末）先化简，在求值：(x2x+1−x+1)÷x−1x2+2x+1，再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[x2x+1−(x+1)(x−1)x+1]•(x+1)2x−1
=1x+1•(x+1)2x−1
=x+1x−1，
要使分式有意义，x不能取﹣1，1，
则当x＝0时，原式=0+10−1=−1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-1】（渝中区校级期末）先化简，再求值：2a+4a2−2a+1÷（1−aa−1−1a2−1），其中a是不等式23a−56≤12a的最大整数解．
【分析】原式括号中三项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出a的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=2(a+2)(a−1)2÷a2−1−a(a+1)−1(a+1)(a−1)
=2(a+2)(a−1)2÷−(a+2)(a+1)(a−1)
=−2(a+2)(a−1)2•(a+1)(a−1)a+2
=−2(a+1)a−1，
不等式23a−56≤12a，解得：a≤5，即a＝5，
当a＝5时，原式=−124=−3．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-2】（太湖县期末）先化简，再求值：a3−aa2+2a+1÷a−12a+2+(1+2a−a+1a−2)⋅2a3−4a2a+1其中a的值在﹣1≤a≤3的整数中选出一个合适的值．
【分析】根据分式的乘除法和加减法可以化简题目中的式子，然后从﹣1≤a≤3的整数中，选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：a3−aa2+2a+1÷a−12a+2+(1+2a−a+1a−2)⋅2a3−4a2a+1
=a(a+1)(a−1)(a+1)2⋅2(a+1)(a−1)+a(a−2)+2(a−2)−a(a+1)a(a−2)⋅2a2(a−2)a+1
＝2a+a2−2a+2a−4−a2−a1•2aa+1
＝2a−2a(a+4)a+1
=2a(a+1)−2a(a+4)a+1
=2a2+2a−2a2−8aa+1
=−6aa+1，
∵﹣1≤a≤3，a＝﹣1，0，1，2时原分式无意义，
∴a＝3，
当a＝3时，原式=−6×33+1=−92．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【变式6-3】（卫辉市期末）先化简x2−2x+1x2−1÷(x−1x+1−x+1)，然后从−6＜x＜6的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式=(x−1)2(x−1)(x+1)÷(x−1x+1−x2−1x+1)
=x−1x+1÷x−x2x+1
=x−1x+1⋅x+1−x(x−1)=−1x，
∵−6＜x＜6，且x为整数，
∴x可取的整数为﹣2，﹣1，0，1，2，
∵要使分式有意义∴x≠±1，且x≠0，
∴x只能取±2，
∴当x＝2时，原式=−12．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【考点7 解分式方程】
【方法点拨】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
【例7】（东阳市期末）小明在解一道分式方程1−x2−x−1=2x−5x−2，过程如下：
第一步：方程整理x−1x−2−1=2x−5x−2
第二步：去分母…
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
【分析】（1）利用分式的基本性质及等式的基本性质判断即可；
（2）写出正确的解题过程即可．
【解答】解：（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质．
故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质；
（2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，
去括号得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5，
移项得：x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5，
合并得：﹣2x＝﹣6，
系数化为1得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
【变式7-1】（梁平区期末）解下列分式方程：
（1）1a+1+32−a=0；
（2）xx+1=2x3x+3+1．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2﹣a+3（a+1）＝0，
解得：a=−52，
经检验a=−52是分式方程的解；
（2）去分母得：3x＝2x+3x+3，
解得：x=−32，
经检验x=−32是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式7-2】（织金县期末）解方程
（1）x−2x+2+84−x2=1；
（2）1x−1−1=32x−2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）x−2x+2+84−x2=1，
x−2x+2−8x2−4=1，
x−2x+2−8(x+2)(x−2)=1，
（x﹣2）2﹣8＝x2﹣4，
x2﹣4x+4﹣8＝x2﹣4，
﹣4x＝0，
x＝0，
经检验，x＝0是原方程的根；
（2）1x−1−1=32x−2，
1x−1−1=32(x−1)，
2﹣2（x﹣1）＝3，
2﹣2x+2＝3，
x=12，
经检验，x=12是原方程的根．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【变式7-3】（崇川区校级期末）解下列方程：
（1）1x−2=1−x2−x−3
（2）5x2+x−1x2−x=0
【分析】去分母将分式方程化为整式方程后再求解，注意检验．
【解答】解：（1）1x−2=1−x2−x−3
去分母得：﹣1＝1﹣x﹣3（2﹣x）
解得：x＝2，
2﹣x＝2﹣2＝0，
所以分式方程无解；
（2）5x2+x−1x2−x=0
去分母得：5（x﹣1）＝x+1，
解得：x=32，
经检验x=32是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【考点8 换元法解分式方程】
【方法点拨】解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
【例8】（台州期中）在解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0时，设x2﹣2x＝y，则原方程可转化为y2﹣2y﹣3＝0，解得y1＝﹣1，y2＝3，所以x2﹣2x＝﹣1或x2﹣2x＝3，可得x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．我们把这种解方程的方法叫做换元法．对于方程：x2+1x2−3x−3x=12，我们也可以类似用换元法设x+1x=y，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（ ）
A．y2﹣3y﹣12＝0B．y2+y﹣8＝0C．y2﹣3y﹣14＝0D．y2﹣3y﹣10＝0
【分析】设x+1x=y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝12，即y2﹣3y﹣14＝0．
【解答】解：x2+1x2−3x−3x=12
x2+2+1x2−2﹣3x−3x=12，
（x+1x）2﹣2﹣3（x+1x）＝12，
设x+1x=y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝12，即y2﹣3y﹣14＝0，
故选：C．
【点评】本题主要考查换元法解方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．
【变式8-1】（遂宁期末）已知方程3x−1x2+1−3x2+33x−1=2，如果设3x−1x2+1=y，那么原方程可以变形成关于y的方程为 ．
【分析】根据3x−1x2+1=y，把原方程变形成关于y的方程即可．
【解答】解：设3x−1x2+1=y，
原方程变形为：y−3y=2，
故答案为：y−3y=2．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，掌握整体思想是解题的关键．
【变式8-2】（安徽模拟）已知方程x2+x−3x2+x=2，则2x2+2x＝ ．
【分析】首先设x2+x＝y，则原方程变为为y2﹣2y﹣3＝0，再利用因式分解法解出方程，可得y的值，进而得到2x2+2x的值．
【解答】解：设x2+x＝y，
则原方程变为y−3y=2，
整理得：y2﹣2y﹣3＝0，
分解因式得：（y﹣3）（y+1）＝0，
则y﹣3＝0，y+1＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣1，
所以x2+x＝3或﹣1，
因为x2+x＝﹣1无解，
故2x2+2x＝6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了换元法法解分式方程，正确去分母化简是解题关键．
【变式8-3】（青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，∴当y＝2时，x−1x=2，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13，经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程x−14x−xx−1=0中，设y=x−1x，则原方程可化为： ；
（2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y=x−1x+1，则原方程可化为： ；
（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y=x−1x+2，将原方程化为y−1y=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将y=x−1x代入原方程，则原方程化为y4−1y=0；
（2）将y=x−1x+1代入方程，则原方程可化为y−4y=0；
（3）原方程化为：x−1x+2−x+2x−1=0，
设y=x−1x+2，则原方程化为：y−1y=0，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y−1y=0的解．
当y＝1时，x−1x+2=1，该方程无解；
当y＝﹣1时，x−1x+2=−1，解得：x=−12；
经检验：x=−12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−12．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
【考点9 分式方程的解】
【方法点拨】求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【例9】（北碚区校级期末）若整数a使得关于x的方程2−3x−2=a2−x的解为非负整数，且关于y的不等式组3y−22+1＞y−22y−a3≤0至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．6B．9C．13D．16
【分析】分别表示出分式方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的和即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）﹣3＝﹣a，
去括号得：2x﹣4﹣3＝﹣a，
解得：x=7−a2，
由分式方程的解为非负整数，得到7﹣a＝0或2或6或8或…，
解得：a＝7或5或1或﹣1或…，
不等式组整理得：y＞−1y≤a，即﹣1＜y≤a，
由不等式组至少有2个整数解，得到a≥1，
综上，a＝1，5，7，其和为13．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式9-1】（沙坪坝区校级期末）若实数a使关于x的不等式组16a−x＜72x+1＞3x+32有且只有2个整数解，且使关于x的分式方程33−x−axx−3=3有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．1
【分析】表示出不等式组的解集，以及分式方程的解，由题意确定出整数a的和即可．
【解答】解：不等式组整理得：x＞16a−72x＜−1，
解得：16a−72＜x＜﹣1，
由不等式组有且只有2个整数解，得到整数解为﹣3，﹣2，
∴﹣4≤16a−72＜−3，
解得：﹣3≤a＜3，即整数a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
分式方程去分母得：﹣3﹣ax＝3x﹣9，
解得：x=6a+3，
由分式方程有整数解，得到a＝﹣2，0，其和为﹣2+0＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式9-2】（九龙坡区校级期末）如果关于x的不等式组x−m3＜0x＞3x−2的解集是x＜1，且关于x的分式方程x+4x−1+m1−x=3有正整数解，则所有符合条件的m的值之和为（ ）
A．9B．8C．4D．3
【分析】表示出不等式组的解集，以及分式方程的解，根据题意确定出m的值之和即可．
【解答】解：不等式组整理得：x＜mx＜1，
由不等式组的解集为x＜1，得到m≥1，
分式方程去分母得：x+4﹣m＝3x﹣3，
解得：x=7−m2，
由分式方程有正整数解，得到7﹣m为2的正整数倍，即m＝1，3，其和为1+3＝4．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式9-3】（九龙坡区校级期末）若关于x的一元一次不等式组x−13(3a−5)≤234x+33＞x+3无解，且关于y的分式方程2y−ay−1−2y−31−y=2有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．7B．8C．14D．15
【分析】不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件a的值，进而求出之和．
【解答】解：解不等式组x−13(3a−5)≤234x+33＞x+3，得x≤a−1x＞6，
∵不等式组x−13(3a−5)≤234x+33＞x+3无解，
∴a﹣1≤6，
∴a≤7．
解分式方程2y−ay−1−2y−31−y=2，得y=a+12，
∵y=a+12为非负整数，a≤7，
∴a＝﹣1或1或3或5或7，
∵a＝1时，y＝1，原分式方程无解，故将a＝1舍去，
∴符合条件的所有整数a的和是﹣1+3+5+7＝14，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
【考点10 分式方程的增根】
【方法点拨】增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
【例10】（定远县期末）若关于x的分式方程2m−1x−1−7xx−1=5有增根，则m的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：2m−1x−1−7xx−1=5，
方程两边都乘（x﹣1）得2m﹣1﹣7x＝5（x﹣1），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，2m﹣1﹣7＝0，
解得m＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式10-1】（梁子湖区期末）若关于x的方程3x+axx+1=2−3x+1有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值，从而求出2a﹣3的值．
【解答】解：方程两边都乘x（x+1），
得3（x+1）+ax2＝2x（x+1）﹣3x
∵原方程有增根为﹣1，
∴当x＝﹣1时，a＝3，
故2a﹣3＝3．
故选：B．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式10-2】（江华县期末）关于x的方程5x−5+axx2−25=3x+5有增根，则a＝（ ）
A．﹣10或6B．﹣2或﹣10C．﹣2或6D．﹣2或﹣10或6
【分析】根据分式方程的増根的意义即可求解．
【解答】解：原方程去分母得：
5（x+5）+ax＝3（x﹣5）
因为分式方程的増根为x＝±5，
所以50+5a＝0或﹣5a＝﹣30
得a＝﹣10或a＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的増根，解决本题的关键是理解増根的意义．
【变式10-3】（百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mxx2−9=3x+3．
（1）若该分式方程有增根，则增根为 ．
（2）在（1）的条件下，求出m的值，
【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）由增根的定义可知，x1＝3，x2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：（1）2x−3+mxx2−9=3x+3，
方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得2（x+3）+mx＝3（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）当x＝3时，m＝﹣4，
当x＝﹣3时，m＝6．
故m的值为﹣4或6．
【点评】考查了分式方程的增根，（1）增根的求法：令最简公分母为0；（2）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
【考点11 分式方程的应用（行程问题）】
【例11】（岳西县期末）2020年6月8日，岳西县黄沙岭隧道建成通车，来榜至岳西里程由原来的23千米缩短为现在的16千米．从来榜开车到岳西，若隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高13，则隧道开通后比隧道开通前少用22分钟，在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需多少分钟？
【分析】设在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需x分钟，则隧道开通前，从来榜开车到岳西需要（x+22）分钟，根据速度＝路程÷时间结合隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高13，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需x分钟，则隧道开通前，从来榜开车到岳西需要（x+22）分钟，
依题意，得：16x=（1+13）×23x+22，
解得：x＝24，
经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意．
答：在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需24分钟．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式11-1】（文山州期末）广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月30日24时正式通车运营，全长49km的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．它将有力助推全县全面打赢脱贫攻坚战，从广南到那洒还有条全长58km的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快30km/h，由高速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时．
【分析】设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要2x小时，根据速度＝路程÷时间结合某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快30km/h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要2x小时，
依题意，得：49x−582x=30，
解得：x=23，
经检验，x=23是原方程的解，且符合题意．
答：该客车由高速公路从广南到那洒需要23小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式11-2】（岑溪市期末）随着科技的迅猛发展，高铁已成为我国建造业、制造业的一张名片，享誉全球，近年来，我国高铁科研团队继续深入研究、革新技术，实现了高速列车的速度再提高60%，这样，使高速列车从A地到B地的运行时间缩短了3小时，已知A、B两地之间的距离是1600km，问高速列车在这次提速前和提速后的速度分别是多少？
【分析】提速前后路程没变，关键描述语为：“高速列车从A地到B地的运行时间缩短了3小时”；等量关系为：提速前的列车所用时间＝提速后的列车所用时间+4．
【解答】解：设设提速前的列车速度为xkm/h，则它提速后的速度为（1+60%）xkm/h，根据题意得：
1600x−1600(1+60%)x=3．
解之得：x＝200．
经检验：x＝200是原方程的解，且符合题意．
∴（1+60%）x＝（1+60%）×200＝320．
答：高速列车在这次提速前的速度是200km/h，提速后的速度是320km/h．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式11-3】（荔湾区期末）列方程解应用题：
初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；
（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间＝大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
【解答】解：（1）设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，
根据题意得：60x=601.5x+14+14，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
1.5x＝1.5×40＝60．
答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；
（2）设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：
14+60−y60=60−y40，
解得：y＝30，
答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．
【考点12 分式方程的应用（工程问题）】
【例12】（皇姑区期末）某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前3个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月？
【分析】设原计划完成这一工程的时间为x个月，根据实际施工的工效＝（1+20%）×原计划的工效建立方程求出其解即可．
【解答】解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，
由题意，得：（1+20%）⋅1x=1x−3，
解得：x＝18．
经检验，x＝18是原方程的解．
答：原计划完成这一工程的时间是18个月．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，工作总量＝工作效率×工作时间的运用，解答时根据工作效率的数量关系建立方程是解答的关键
【变式12-1】（广丰区期末）某建筑公司中标了从县城到某乡镇的一段公路的路基工程，此公司有两个工程队，做进度计划时计算得出，如由甲工程队单独施工可按时完工，由乙工程队单独施工要延迟20天完工．最后公司安排甲乙两个工程队一起先共同施工15天，剩下的工程由乙工程队单独施工，刚好按时完工，求此工程的工期．
【分析】设此工程的工期为x天，根据甲的工作量+乙的工作量＝总的工作量1，列方程求解即可．
【解答】解：设此工程的工期为x天，依题意得方程
15（1x+1x+20）+x−15x+20=1，
解得：x＝60，
答：此工程的工期为60天．
【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．等量关系是甲的工作量+乙的工作量＝总的工作量1．
【变式12-2】（香坊区期末）为改善交通拥堵状况，我市进行了大规模的道路桥梁建设．已知某路段乙工程队单独完成所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的1.5倍，如果按甲工程队单独工作20天，再由乙工程队单独工作30天的方案施工，这样就完成了此路段的23．
（1）求甲，乙工程队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲工程队每天的施工费用是2万元，乙工程队每天的施工费用为1.2万元，要使该项目的工程费不超过114万元，则需要改变施工方案，但甲乙两个工程队不能同时施工，乙工程队最少施工多少天才能完成此项工程？
【分析】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，根据“如果按甲工程队单独工作20天，再由乙工程队单独工作30天的方案施工，这样就完成了此路段的23”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工（60−23m）天，根据总工程费＝甲工程队每天所需费用×甲工程队工作的时间+乙工程队每天所需费用×乙工程队工作的时间结合该项目的工程费不超过114万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，
依题意，得：20x+301.5x=23，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝90．
答：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天．
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工1−m90160=（60−23m）天，
依题意，得：2（60−23m）+1.2m≤114，
解得：m≥45．
答：乙工程队最少施工45天才能完成此项工程．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式12-3】（龙岗区期末）深圳市某中学为了更好地改善教学和生活环境，该学校计划在2020年暑假对两栋主教学楼重新进行装修．
（1）由于时间紧迫，需要雇佣建筑工程队完成这次装修任务．现在有甲，乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成，如果乙工程队单独施工则要超过期限6天才能完成，若两队合做4天，剩下的由乙队单独施工，则刚好也能如期完工，那么，甲工程队单独完成此工程需要多少天？
（2）装修后，需要对教学楼进行清洁打扫，学校准备选购A、B两种清洁剂共100瓶，其中A种清洁剂6元/瓶，B种清洁剂9元/瓶．要使购买总费用不多于780元，则A种清洁剂最少应购买多少瓶？
【分析】（1）可设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，根据工作总量的等量关系，列出方程即可求解；
（2）可设A种清洁剂应购买a瓶，则B种清洁剂应购买（100﹣a）瓶，根据购买总费用不多于780元，列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，
依题意有4x+xx+6=1，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解．
故甲工程队单独完成此工程需要12天；
（2）设A种清洁剂应购买a瓶，则B种清洁剂应购买（100﹣a）瓶，
依题意有6a+9（100﹣a）≤780，
解得a≥40．
故A种清洁剂最少应购买40瓶．
【点评】考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
【考点13 分式方程的应用（销售问题）】
【例13】（揭西县期末）受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．
（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；
（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
【分析】（1）设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x元/瓶，根据所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元，列出方程即可解决问题．
（2）根据题意分别求出两次的利润即可解决问题．
【解答】解：（1）设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x元/瓶，依题意得：2×8000x=17600x+1．
解得，x＝10．
经检验，x＝10是原方程的根．
所以该商场购进的第一批消毒液的单价为10元/瓶；
（2）共获利：（800010+1760010+1−200）×13+200×13×0.9﹣（8000+17600）＝5340（元）．
在这两笔生意中商场共获得5340元．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系，注意解分式方程必须检验．
【变式13-1】（龙岗区校级期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
【分析】（1）设A品牌口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，根据用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进B品牌口罩m个，则购进A品牌口罩（6000﹣m）个，根据总利润＝每个的利润×销售数量（购进数量）结合这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A品牌口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，
依题意，得：7200x=2×5000x+0.7，
解得：x＝1.8，
经检验，x＝1.8是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.7＝2.5，
答：A品牌口罩每个进价为1.8元，B品牌口罩每个进价为2.5元．
（2）设购进B品牌口罩m个，则购进A品牌口罩（6000﹣m）个，
依题意，得：（2﹣1.8）（6000﹣m）+（3﹣2.5）m≥1800，
解得：m≥2000．
答：最少购进B品牌口罩2000个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式13-2】（上蔡县期末）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为80元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变，要使两种商品全部售完后共获利不少于3520元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元，根据数量＝总价÷单价结合购进的甲、乙两种商品件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价可求出购进甲、乙两种商品的数量，设甲种商品按原销售单价销售了m件，根据利润＝销售总价﹣进货成本，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元．
依题意，得：2000x=2400x+8，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+8＝48．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元．
（2）甲、乙两种商品的购进数量为2000÷40＝50（件）．
设甲种商品按原销售单价销售了m件，
依题意，得：80m+80×0.7（50﹣m）+88×50﹣40×50﹣48×50≥3520，
解得：m≥30．
答：甲种商品按原销售单价至少销售30件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式13-3】（拱墅区期末）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元．
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍．这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【分析】（1）根据购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得A款T恤衫的单价和B款T恤衫的单价，然后即可计算出同时购进A数和B款T恤衫各60件的总价钱，然后和10000比较大小，即可解答本题；
（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到a的值，然后即可计算出商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润．
【解答】解：（1）设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，
40a+60b=840045a+50b=8050，
解得，a=90b=80，
∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，
∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A数和B款T恤衫各60件；
（2）由题意可得，
980090+a×1.2=1224090+a+0.5a，
解得，a＝8，
经检验，a＝8是原分式方程的解，
则4月份购进的T恤衫的数量为980090+8=100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），
（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），
答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元．
【点评】本题考查分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验．
【考点14 分式方程的应用（方案问题）】
【例14】（织金县期末）小明准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少6元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．
（1）求这种笔和本子的单价各是多少？
（2）小明准备用自己的180元压岁钱购买这种笔和本子，计划180元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣6）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量＝50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程30x−6=50x，再解方程可得答案；
（2）设恰好用完180元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n＝180，再求出整数解即可．
【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣6）元，由题意得：
30x−6=50x，
解得：x＝15，
经检验：x＝15是原分式方程的解，
则x﹣6＝9．
答：这种笔单价为15元，则本子单价为9元；
（2）设恰好用完180元，可购买这种笔m支和购买本子n本，
由题意得：15m+9n＝180，
整理得：m＝12−35n，
∵m、n都是正整数，
∴①n＝5时，m＝9，②n＝10时，m＝4，③n＝15，m＝3；
∴有三种方案：
①购买这种笔9支，购买本子5本；
②购买这种笔4支，购买本子10本；
③购买这种笔3支，购买本子15本．
【点评】此题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
【变式14-1】（勃利县期末）某公司有960件新产品需经加工后才能投放市场，现有甲、乙两家工厂都想加工加工这批产品．已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天120元．
（1）甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？
（2）公司制定的方案如下，可以由每个厂家单独完成，也可以有两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到工厂进行技术指导，并担负每天5元的午餐补助，请帮公司需出一种既省时又省钱的加工方案．
【分析】（1）设乙工厂每天能加工x件新产品，则甲工厂每天能加工23x件新产品，根据时间＝工作总量÷工作效率结合甲工厂独立完成比乙工厂独立完成多需20天即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）分别求出甲、乙两工厂独立完成以及合作完成所需的总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工厂每天能加工x件新产品，则甲工厂每天能加工23x件新产品，
根据题意得：96023x−960x=20，
解得：x＝24，
经检验，x＝24是原方程的解，
∴23x=23×24＝16．
答：乙工厂每天能加工24件新产品，甲工厂每天能加工16件新产品．
（2）甲工厂独立完成需要的费用为96016×（80+5）＝5100（元）；
乙工厂独立完成需要的费用为96024×（120+5）＝5000（元）；
甲、乙合作完成需要的费用为96016+24×（80+120+5）＝4920（元）．
∵5100＞5000＞4920，
∴甲、乙两个厂家合作完成省时省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据时间＝工作总量÷工作效率列出关于x的分式方程；（2）分别求出甲、乙两工厂独立完成以及合作完成所需的总费用．
【变式14-2】（北镇市期末）为迎接中国传统节日“端午节”的到来，某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，两种品牌粽子的进价和售价如下表：
已知用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种品牌的粽子共200盒的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于2170元且不超过2200元，问该超市有几种进货方案？
【分析】（1）根据“用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同”列出分式方程并解答；
（2）设购进甲品牌粽子x盒，则购进乙品牌粽子（200﹣x）盒，根据题意，列出不等式组并解答．
【解答】解：（1）根据题意，得300m=240m−2，
解这个方程，得m＝10．
经检验，m＝10是所列方程的根．
所以m的值为10．
（2）设购进甲品牌粽子x盒，则购进乙品牌粽子（200﹣x）盒，
根据题意，得2170≤（24﹣10）x+（16﹣8）（200﹣x）≤2200，
解这个不等式组，得95≤x≤100．
∵x为正整数，∴x可取95、96、97、98、99、100．
∴该超市共有6种进货方案．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
【变式14-3】（沙坪坝区校级期末）某建筑公司为了完成一项工程，设计了两种施工方案．
方案一：甲工程队单独做需40天完成；
方案二：乙工程队先做30天后，甲、乙两工程队一起再合做20天恰好完成任务．
请问：
（1）乙工程队单独做需要多少天才能完成任务？
（2）现将该工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了x天，乙工程队做另一部分工程用了y天，若x，y都是正整数，且甲工程队做的时间不到15天，乙工程队做的时间不到70天，那么两工程队实际各做了多少天？
【分析】（1）设乙工程队单独做需要x天完成任务，由甲完成的工作+乙完成的工作量＝总工作量1，建立方程求出其解即可；
（2）由甲完成的工作量+乙完成的工作量＝1 得x与y的关系式；由x、y的取值范围得不等式，求整数解即可．
【解答】解：（1）设乙工程队单独做需要x天完成任务，
由题意，得：30+20x+20×140=1，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要100天才能完成任务；
（2）根据题意得：x40+y100=1，
整理得：y＝100−52x．
∵y＜70，
∴100−52x＜70．
解得：x＞12．
又∵x＜15且为整数，
∴x＝13或14．
当x＝13时，y不是整数，所以x＝13不符合题意，舍去．
当x＝14时，y＝100−52×14＝100﹣35＝65．
答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天．
【点评】此题考查了分式方程的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式的解法，本题综合性强，熟练掌握分式方程的应用和一元一次不等式的解法是解题的关键．粽子价格
甲品牌
乙品牌
进价（元/盒）
m
m﹣2
售价（元/盒）
24
16
【考点1 分式及最简分式的概念】
【方法点拨】掌握分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【例1】（砀山县期末）下列各式：①k22π；②1m+n；③m2−n24；④2b3a；⑤(x+1)2x−1；⑥1x，其中分式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：分式有：②1m+n、④2b3a、⑤(x+1)2x−1、⑥1x，共有4个．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以k22π不是分式，是整式．
【变式1-1】（遂宁期末）下列各式中，分式的个数为（ ）
x−y3，xπ+2，a2x+1，3ab，23x−y，13x+y，3x+3=1x+1
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式可得答案．
【解答】解：a2x+1，3ab，23x−y是分式，共3个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式，关键是掌握分式定义．
【变式1-2】（唐河县期中）下列分式−bcab2c3，x2−4x2−2x，x2+2xyxy−2y2，m+1m2+1，x+yx2+y2中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据最简分式的定义对各分式进行判断．
【解答】解：−bcab2c3=−1abc2，
x2−4x2−2x=(x+2)(x−2)x(x−2)=x+2x，
所以最简分式有x2+2xyxy−2y2，m+1m2+1，x+yx2+y2．
故选：C．
【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【变式1-3】（平潭县期末）若m为实数，分式x(x+2)x2+m不是最简分式，则m＝ ．
【分析】直接利用最简分式的定义结合分式的性质得出答案．
【解答】解：∵分式x(x+2)x2+m不是最简分式，
∴m＝0或﹣4时，都可以化简分式．
故答案为：0，﹣4．
【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握分式的基本性质是解题关键．
【考点2 分式有意义的条件】
【方法点拨】掌握分式有意义的条件：分母不等于0.
【例2】（沙河市期末）已知x＝﹣2时，分式x−1□无意义，则□可以是（ ）
A．2﹣xB．x﹣2C．2x+4D．x+4
【分析】当x＝﹣2时分式无意义，可知分母□的值应为0，再分别求出各选项的值即可得出答案．
【解答】解：当x＝﹣2时分式无意义，
所以分母□的值应为0，
当x＝﹣2时，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A选项不符合题意；
x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B选项不符合题意；
2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C选项符合题意；
x+4＝﹣2+4＝2≠0，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分式有意义的条件是分母不等于零．
【变式2-1】讨论探索：当x取什么数时，分式|x|−2x2−4．
（1）有意义？
（2）无意义？
【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据分母为零分式无意义，可得答案．
【解答】解：（1）要使分式|x|−2x2−4有意义，
则x2﹣4≠0，
x≠±2；
（2）要使分式|x|−2x2−4无意义，
则x2﹣4＝0，
x＝±2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
【变式2-2】下列分式有意义，求x的取值范围．
（1）x22−|x|．
（2）x+3x2+1
（3）x2−1(x−2)(x−1)．
（4）1x2−2x−3．
（5）1x2−2x+3．
【分析】分式有意义，分母不等于零，据此来求x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知2﹣|x|≠0，解得x≠±2；
（2）无论x为任何值，x2+1＞0，
∴x取任意实数，分式都有意义；
（3）由题意知（x﹣2）（x﹣1）≠0，
则x≠2且x≠1；
（4）由题意知x2﹣2x﹣3≠0，
解得：x≠﹣1且x≠3；
（5）当x取任意实数时，x2+2x+3＝（x+1）2+2＞0，
∴x取任意实数，分式都有意义．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
【变式2-3】x为何值时，分式x2−91+13+x有意义？
【分析】根据分式有意义的条件可得3+x≠0，13+x≠−1，再解即可．
【解答】解：由题意得：3+x≠0，13+x≠−1，
解得：x≠﹣3和﹣4．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
【考点3 分式值为0的条件】
【方法点拨】掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【例3】（锦江区校级月考）已知分式(x−3)(x+1)1−x2的值为0，那么x的值是（ ）
A．﹣1B．3C．1D．3或﹣1
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式(x−3)(x+1)1−x2的值为0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，则1﹣x2≠0，
解得：x＝3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键．
【变式3-1】（开江县期末）若分式a2−1a2−3a+2的值为零，则a的值为（ ）
A．﹣1B．±1C．1D．不确定
【分析】根据分式值为零的条件可得a2﹣1＝0，且a2﹣3a+2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a2﹣1＝0，且a2﹣3a+2≠0，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【变式3-2】（资阳区校级期中）若a，b为实数，且(a−2)2+|b2−16|b+4=0，求3a﹣b的值．
【分析】首先利用分式为0的条件和平方以及绝对值的性质得出a，b的值，进而代入3a﹣b求出即可．
【解答】解：∵(a−2)2+|b2−16|b+4=0，
∴a−2=0b2−16=0b+4≠0，
解得a=2b=4，
∴3a﹣b＝6﹣4＝2．
故3a﹣b的值是2．
【点评】此题主要考查了绝对值和平方的性质，正确求出a，b的值是解题关键．
【变式3-3】已知a、b、c是△ABC的三边，且a、b、c的取值使分式ab−ac+c2−bca−b的值为零，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【分析】根据分式值为零的条件，可得分子为零，根据因式分解，可得答案．
【解答】解：这个三角形是等腰三角形，理由如下
由题意，得
ab﹣ac+c2﹣bc＝0，且a﹣b≠0．
（ab﹣bc）﹣（ca﹣c2）＝0，
b（a﹣c）﹣c（a﹣c）＝0
（a﹣c）（b﹣c）＝0，
得a＝c或b＝c，
这个三角形是等腰三角形．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，利用因式分解得出（a﹣c）（b﹣c）＝0是解题关键．
【考点4 分式的基本性质】
【方法点拨】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
【例4】（南昌县期末）下列运算中，错误的是（ ）
A．ab=acbc
B．−a−ba+b=−1
C．0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b
D．y−xy+x=−x−yx+y
【分析】根据分式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵c＝0时，ab=acbc不成立，
∴选项A符合题意；
∵−a−ba+b=−(a+b)a+b=−1，
∴选项B不符合题意；
∵0.5a+b0.2a−0.3b=5a+10b2a−3b，
∴选项C不符合题意；
∵y−xy+x=−x−yx+y，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【变式4-1】（马鞍山期末）若把分式x−y3xy中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的3倍B．不变
C．变为原来的13D．变为原来的19
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式=3x−3y3×3x×3y
=3(x−y)27xy
=x−y9xy
=13×x−y3xy，
所以把分式x−y3xy中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值变为原来的13．
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【变式4-2】（绍兴期中）不改变分式的值，把分式23x−yx+12y的分子、分母中各项的系数都化为整数，结果是（ ）
A．4x−6y6x+3yB．2x−6y6x+yC．4x−2y3x+3yD．2x−6y6x+3y
【分析】根据分式的基本性质分子和分母都乘以6，再求出即可．
【解答】解：23x−yx+12y=(23x−y)×6(x+12y)×6
=4x−6y6x+3y，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质的内容是解此题的关键．
【变式4-3】（慈溪市期末）不改变分式1.3x−12x−0.7y的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，其结果正确的是（ ）
A．13x−12x−7yB．13x−102x−7y
C．13x−1020x−7yD．13x−120x−7y
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式=13x−1020x−7y，
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【考点5 利用分式的基本性质求值】
【例5】（河南期末）若1m+1n=3，则分式2m+2n−5mn−m−n的值为 ．
【分析】由1m+1n=3可得m+n＝3mn，再将原分式的分子、分母化为含有（m+n）的代数式，进而整体代换求出结果即可．
【解答】解：∵1m+1n=3，
∴m+nmn=3，即m+n＝3mn，
∴原式=2(m+n)−5mn−(m+n)
=6mn−5mn−3mn
=mn−3mn
=−13，
故答案为：−13．
【点睛】本题考查分式的值，理解分式有意义的条件，掌握分式值的计算方法是解决问题的关键．
【变式5-1】（沙坪坝区校级月考）已知2yx−xy=3，则3x2−2xy−6y22y2−x2= ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵2yx−xy=3，
∴2y2−x2xy=3，
∴2y2﹣x2＝3xy，
∴原式=3x2−2xy−6y23xy
=xy−23−2yx
＝﹣3−23
=−113，
故答案为：−113
【点睛】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式5-2】（莱西市期末）如果x+1x=3，则x23x4+x2+3的值等于
【分析】由x+1x=3得x2+2+1x2=9，即x2+1x2=7，整体代入原式=13x2+1+3x2=13(x2+1x2)+1，计算可得．
【解答】解：∵x+1x=3，
∴（x+1x）2＝9，即x2+2+1x2=9，
则x2+1x2=7，
∵x≠0，
∴原式=13x2+1+3x2
=13(x2+1x2)+1
=13×7+1
=122，
故答案为：122．
【点睛】本题主要考查分式的值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想的运用及利用分式的基本性质对分式变形．
【变式5-3】（江北区校级期中）按要求完成下列各题：
（1）若（x﹣3）（x+m）＝x2+nx﹣15，求n2−m28n+5的值．
（2）已知（n﹣2020）2+（2021﹣n）2＝3，求（n﹣2020）（2021﹣n）的值．
（3）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b含有因式x2+x﹣2，求ab的值．
【分析】（1）利用整式乘法求出m，n的值，再代入求值即可；
（2）利用完全平方公式和整体代入，用多项式乘多项式法则求解即可；
（3）由于x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），而多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），则x＝﹣2和x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到ab的值．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+m）＝x2+（m﹣3）x﹣3m＝x2+nx﹣15，
∴n＝m﹣3，﹣3m＝﹣15，
∴m＝5，n＝2，
把m＝5，n＝2代入n2−m28n+5得，
原式=22−528×2+5=−2121=−1．
（2）令n﹣2020＝a，2021﹣n＝b，
根据题意得：
a2+b2＝3，a+b＝1，
∴原式＝ab=(a+b)2−(a2+b2)2=1−32=−1．
（3）∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），
∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，
设商是A．
则2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），
则x＝﹣2或x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x＝﹣2时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝32+24+4a﹣14+b＝4a+b+42＝0 ①，
当x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝2﹣3+a+7+b＝a+b+6＝0 ②，
①﹣②，得
3a+36＝0，
∴a＝﹣12，
∴b＝﹣6﹣a＝6．
∴ab=−126=−2．
【点睛】此题考查的是分式的值，熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基础，注意因式的特点，灵活解决问题．
【考点6 分式的化简求值】
【方法点拨】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
【例6】（织金县期末）先化简，在求值：(x2x+1−x+1)÷x−1x2+2x+1，再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[x2x+1−(x+1)(x−1)x+1]•(x+1)2x−1
=1x+1•(x+1)2x−1
=x+1x−1，
要使分式有意义，x不能取﹣1，1，
则当x＝0时，原式=0+10−1=−1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-1】（渝中区校级期末）先化简，再求值：2a+4a2−2a+1÷（1−aa−1−1a2−1），其中a是不等式23a−56≤12a的最大整数解．
【分析】原式括号中三项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出a的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=2(a+2)(a−1)2÷a2−1−a(a+1)−1(a+1)(a−1)
=2(a+2)(a−1)2÷−(a+2)(a+1)(a−1)
=−2(a+2)(a−1)2•(a+1)(a−1)a+2
=−2(a+1)a−1，
不等式23a−56≤12a，解得：a≤5，即a＝5，
当a＝5时，原式=−124=−3．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-2】（太湖县期末）先化简，再求值：a3−aa2+2a+1÷a−12a+2+(1+2a−a+1a−2)⋅2a3−4a2a+1其中a的值在﹣1≤a≤3的整数中选出一个合适的值．
【分析】根据分式的乘除法和加减法可以化简题目中的式子，然后从﹣1≤a≤3的整数中，选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：a3−aa2+2a+1÷a−12a+2+(1+2a−a+1a−2)⋅2a3−4a2a+1
=a(a+1)(a−1)(a+1)2⋅2(a+1)(a−1)+a(a−2)+2(a−2)−a(a+1)a(a−2)⋅2a2(a−2)a+1
＝2a+a2−2a+2a−4−a2−a1•2aa+1
＝2a−2a(a+4)a+1
=2a(a+1)−2a(a+4)a+1
=2a2+2a−2a2−8aa+1
=−6aa+1，
∵﹣1≤a≤3，a＝﹣1，0，1，2时原分式无意义，
∴a＝3，
当a＝3时，原式=−6×33+1=−92．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【变式6-3】（卫辉市期末）先化简x2−2x+1x2−1÷(x−1x+1−x+1)，然后从−6＜x＜6的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式=(x−1)2(x−1)(x+1)÷(x−1x+1−x2−1x+1)
=x−1x+1÷x−x2x+1
=x−1x+1⋅x+1−x(x−1)=−1x，
∵−6＜x＜6，且x为整数，
∴x可取的整数为﹣2，﹣1，0，1，2，
∵要使分式有意义∴x≠±1，且x≠0，
∴x只能取±2，
∴当x＝2时，原式=−12．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【考点7 解分式方程】
【方法点拨】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
【例7】（东阳市期末）小明在解一道分式方程1−x2−x−1=2x−5x−2，过程如下：
第一步：方程整理x−1x−2−1=2x−5x−2
第二步：去分母…
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
【分析】（1）利用分式的基本性质及等式的基本性质判断即可；
（2）写出正确的解题过程即可．
【解答】解：（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质．
故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质；
（2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，
去括号得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5，
移项得：x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5，
合并得：﹣2x＝﹣6，
系数化为1得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
【变式7-1】（梁平区期末）解下列分式方程：
（1）1a+1+32−a=0；
（2）xx+1=2x3x+3+1．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2﹣a+3（a+1）＝0，
解得：a=−52，
经检验a=−52是分式方程的解；
（2）去分母得：3x＝2x+3x+3，
解得：x=−32，
经检验x=−32是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式7-2】（织金县期末）解方程
（1）x−2x+2+84−x2=1；
（2）1x−1−1=32x−2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）x−2x+2+84−x2=1，
x−2x+2−8x2−4=1，
x−2x+2−8(x+2)(x−2)=1，
（x﹣2）2﹣8＝x2﹣4，
x2﹣4x+4﹣8＝x2﹣4，
﹣4x＝0，
x＝0，
经检验，x＝0是原方程的根；
（2）1x−1−1=32x−2，
1x−1−1=32(x−1)，
2﹣2（x﹣1）＝3，
2﹣2x+2＝3，
x=12，
经检验，x=12是原方程的根．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【变式7-3】（崇川区校级期末）解下列方程：
（1）1x−2=1−x2−x−3
（2）5x2+x−1x2−x=0
【分析】去分母将分式方程化为整式方程后再求解，注意检验．
【解答】解：（1）1x−2=1−x2−x−3
去分母得：﹣1＝1﹣x﹣3（2﹣x）
解得：x＝2，
2﹣x＝2﹣2＝0，
所以分式方程无解；
（2）5x2+x−1x2−x=0
去分母得：5（x﹣1）＝x+1，
解得：x=32，
经检验x=32是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【考点8 换元法解分式方程】
【方法点拨】解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
【例8】（台州期中）在解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0时，设x2﹣2x＝y，则原方程可转化为y2﹣2y﹣3＝0，解得y1＝﹣1，y2＝3，所以x2﹣2x＝﹣1或x2﹣2x＝3，可得x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．我们把这种解方程的方法叫做换元法．对于方程：x2+1x2−3x−3x=12，我们也可以类似用换元法设x+1x=y，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（ ）
A．y2﹣3y﹣12＝0B．y2+y﹣8＝0C．y2﹣3y﹣14＝0D．y2﹣3y﹣10＝0
【分析】设x+1x=y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝12，即y2﹣3y﹣14＝0．
【解答】解：x2+1x2−3x−3x=12
x2+2+1x2−2﹣3x−3x=12，
（x+1x）2﹣2﹣3（x+1x）＝12，
设x+1x=y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝12，即y2﹣3y﹣14＝0，
故选：C．
【点评】本题主要考查换元法解方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．
【变式8-1】（遂宁期末）已知方程3x−1x2+1−3x2+33x−1=2，如果设3x−1x2+1=y，那么原方程可以变形成关于y的方程为 ．
【分析】根据3x−1x2+1=y，把原方程变形成关于y的方程即可．
【解答】解：设3x−1x2+1=y，
原方程变形为：y−3y=2，
故答案为：y−3y=2．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，掌握整体思想是解题的关键．
【变式8-2】（安徽模拟）已知方程x2+x−3x2+x=2，则2x2+2x＝ ．
【分析】首先设x2+x＝y，则原方程变为为y2﹣2y﹣3＝0，再利用因式分解法解出方程，可得y的值，进而得到2x2+2x的值．
【解答】解：设x2+x＝y，
则原方程变为y−3y=2，
整理得：y2﹣2y﹣3＝0，
分解因式得：（y﹣3）（y+1）＝0，
则y﹣3＝0，y+1＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣1，
所以x2+x＝3或﹣1，
因为x2+x＝﹣1无解，
故2x2+2x＝6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了换元法法解分式方程，正确去分母化简是解题关键．
【变式8-3】（青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程y−4y=0的解，∴当y＝2时，x−1x=2，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x=13，经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程x−14x−xx−1=0中，设y=x−1x，则原方程可化为： ；
（2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y=x−1x+1，则原方程可化为： ；
（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y=x−1x+2，将原方程化为y−1y=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将y=x−1x代入原方程，则原方程化为y4−1y=0；
（2）将y=x−1x+1代入方程，则原方程可化为y−4y=0；
（3）原方程化为：x−1x+2−x+2x−1=0，
设y=x−1x+2，则原方程化为：y−1y=0，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y−1y=0的解．
当y＝1时，x−1x+2=1，该方程无解；
当y＝﹣1时，x−1x+2=−1，解得：x=−12；
经检验：x=−12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−12．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
【考点9 分式方程的解】
【方法点拨】求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【例9】（北碚区校级期末）若整数a使得关于x的方程2−3x−2=a2−x的解为非负整数，且关于y的不等式组3y−22+1＞y−22y−a3≤0至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．6B．9C．13D．16
【分析】分别表示出分式方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的和即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）﹣3＝﹣a，
去括号得：2x﹣4﹣3＝﹣a，
解得：x=7−a2，
由分式方程的解为非负整数，得到7﹣a＝0或2或6或8或…，
解得：a＝7或5或1或﹣1或…，
不等式组整理得：y＞−1y≤a，即﹣1＜y≤a，
由不等式组至少有2个整数解，得到a≥1，
综上，a＝1，5，7，其和为13．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式9-1】（沙坪坝区校级期末）若实数a使关于x的不等式组16a−x＜72x+1＞3x+32有且只有2个整数解，且使关于x的分式方程33−x−axx−3=3有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．1
【分析】表示出不等式组的解集，以及分式方程的解，由题意确定出整数a的和即可．
【解答】解：不等式组整理得：x＞16a−72x＜−1，
解得：16a−72＜x＜﹣1，
由不等式组有且只有2个整数解，得到整数解为﹣3，﹣2，
∴﹣4≤16a−72＜−3，
解得：﹣3≤a＜3，即整数a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
分式方程去分母得：﹣3﹣ax＝3x﹣9，
解得：x=6a+3，
由分式方程有整数解，得到a＝﹣2，0，其和为﹣2+0＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式9-2】（九龙坡区校级期末）如果关于x的不等式组x−m3＜0x＞3x−2的解集是x＜1，且关于x的分式方程x+4x−1+m1−x=3有正整数解，则所有符合条件的m的值之和为（ ）
A．9B．8C．4D．3
【分析】表示出不等式组的解集，以及分式方程的解，根据题意确定出m的值之和即可．
【解答】解：不等式组整理得：x＜mx＜1，
由不等式组的解集为x＜1，得到m≥1，
分式方程去分母得：x+4﹣m＝3x﹣3，
解得：x=7−m2，
由分式方程有正整数解，得到7﹣m为2的正整数倍，即m＝1，3，其和为1+3＝4．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式9-3】（九龙坡区校级期末）若关于x的一元一次不等式组x−13(3a−5)≤234x+33＞x+3无解，且关于y的分式方程2y−ay−1−2y−31−y=2有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．7B．8C．14D．15
【分析】不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件a的值，进而求出之和．
【解答】解：解不等式组x−13(3a−5)≤234x+33＞x+3，得x≤a−1x＞6，
∵不等式组x−13(3a−5)≤234x+33＞x+3无解，
∴a﹣1≤6，
∴a≤7．
解分式方程2y−ay−1−2y−31−y=2，得y=a+12，
∵y=a+12为非负整数，a≤7，
∴a＝﹣1或1或3或5或7，
∵a＝1时，y＝1，原分式方程无解，故将a＝1舍去，
∴符合条件的所有整数a的和是﹣1+3+5+7＝14，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
【考点10 分式方程的增根】
【方法点拨】增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
【例10】（定远县期末）若关于x的分式方程2m−1x−1−7xx−1=5有增根，则m的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：2m−1x−1−7xx−1=5，
方程两边都乘（x﹣1）得2m﹣1﹣7x＝5（x﹣1），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，2m﹣1﹣7＝0，
解得m＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式10-1】（梁子湖区期末）若关于x的方程3x+axx+1=2−3x+1有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值，从而求出2a﹣3的值．
【解答】解：方程两边都乘x（x+1），
得3（x+1）+ax2＝2x（x+1）﹣3x
∵原方程有增根为﹣1，
∴当x＝﹣1时，a＝3，
故2a﹣3＝3．
故选：B．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式10-2】（江华县期末）关于x的方程5x−5+axx2−25=3x+5有增根，则a＝（ ）
A．﹣10或6B．﹣2或﹣10C．﹣2或6D．﹣2或﹣10或6
【分析】根据分式方程的増根的意义即可求解．
【解答】解：原方程去分母得：
5（x+5）+ax＝3（x﹣5）
因为分式方程的増根为x＝±5，
所以50+5a＝0或﹣5a＝﹣30
得a＝﹣10或a＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的増根，解决本题的关键是理解増根的意义．
【变式10-3】（百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mxx2−9=3x+3．
（1）若该分式方程有增根，则增根为 ．
（2）在（1）的条件下，求出m的值，
【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）由增根的定义可知，x1＝3，x2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：（1）2x−3+mxx2−9=3x+3，
方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得2（x+3）+mx＝3（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）当x＝3时，m＝﹣4，
当x＝﹣3时，m＝6．
故m的值为﹣4或6．
【点评】考查了分式方程的增根，（1）增根的求法：令最简公分母为0；（2）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
【考点11 分式方程的应用（行程问题）】
【例11】（岳西县期末）2020年6月8日，岳西县黄沙岭隧道建成通车，来榜至岳西里程由原来的23千米缩短为现在的16千米．从来榜开车到岳西，若隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高13，则隧道开通后比隧道开通前少用22分钟，在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需多少分钟？
【分析】设在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需x分钟，则隧道开通前，从来榜开车到岳西需要（x+22）分钟，根据速度＝路程÷时间结合隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高13，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需x分钟，则隧道开通前，从来榜开车到岳西需要（x+22）分钟，
依题意，得：16x=（1+13）×23x+22，
解得：x＝24，
经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意．
答：在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需24分钟．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式11-1】（文山州期末）广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月30日24时正式通车运营，全长49km的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．它将有力助推全县全面打赢脱贫攻坚战，从广南到那洒还有条全长58km的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快30km/h，由高速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时．
【分析】设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要2x小时，根据速度＝路程÷时间结合某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快30km/h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要2x小时，
依题意，得：49x−582x=30，
解得：x=23，
经检验，x=23是原方程的解，且符合题意．
答：该客车由高速公路从广南到那洒需要23小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式11-2】（岑溪市期末）随着科技的迅猛发展，高铁已成为我国建造业、制造业的一张名片，享誉全球，近年来，我国高铁科研团队继续深入研究、革新技术，实现了高速列车的速度再提高60%，这样，使高速列车从A地到B地的运行时间缩短了3小时，已知A、B两地之间的距离是1600km，问高速列车在这次提速前和提速后的速度分别是多少？
【分析】提速前后路程没变，关键描述语为：“高速列车从A地到B地的运行时间缩短了3小时”；等量关系为：提速前的列车所用时间＝提速后的列车所用时间+4．
【解答】解：设设提速前的列车速度为xkm/h，则它提速后的速度为（1+60%）xkm/h，根据题意得：
1600x−1600(1+60%)x=3．
解之得：x＝200．
经检验：x＝200是原方程的解，且符合题意．
∴（1+60%）x＝（1+60%）×200＝320．
答：高速列车在这次提速前的速度是200km/h，提速后的速度是320km/h．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式11-3】（荔湾区期末）列方程解应用题：
初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；
（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间＝大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
【解答】解：（1）设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，
根据题意得：60x=601.5x+14+14，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
1.5x＝1.5×40＝60．
答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；
（2）设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：
14+60−y60=60−y40，
解得：y＝30，
答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．
【考点12 分式方程的应用（工程问题）】
【例12】（皇姑区期末）某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前3个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月？
【分析】设原计划完成这一工程的时间为x个月，根据实际施工的工效＝（1+20%）×原计划的工效建立方程求出其解即可．
【解答】解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，
由题意，得：（1+20%）⋅1x=1x−3，
解得：x＝18．
经检验，x＝18是原方程的解．
答：原计划完成这一工程的时间是18个月．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，工作总量＝工作效率×工作时间的运用，解答时根据工作效率的数量关系建立方程是解答的关键
【变式12-1】（广丰区期末）某建筑公司中标了从县城到某乡镇的一段公路的路基工程，此公司有两个工程队，做进度计划时计算得出，如由甲工程队单独施工可按时完工，由乙工程队单独施工要延迟20天完工．最后公司安排甲乙两个工程队一起先共同施工15天，剩下的工程由乙工程队单独施工，刚好按时完工，求此工程的工期．
【分析】设此工程的工期为x天，根据甲的工作量+乙的工作量＝总的工作量1，列方程求解即可．
【解答】解：设此工程的工期为x天，依题意得方程
15（1x+1x+20）+x−15x+20=1，
解得：x＝60，
答：此工程的工期为60天．
【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．等量关系是甲的工作量+乙的工作量＝总的工作量1．
【变式12-2】（香坊区期末）为改善交通拥堵状况，我市进行了大规模的道路桥梁建设．已知某路段乙工程队单独完成所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的1.5倍，如果按甲工程队单独工作20天，再由乙工程队单独工作30天的方案施工，这样就完成了此路段的23．
（1）求甲，乙工程队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲工程队每天的施工费用是2万元，乙工程队每天的施工费用为1.2万元，要使该项目的工程费不超过114万元，则需要改变施工方案，但甲乙两个工程队不能同时施工，乙工程队最少施工多少天才能完成此项工程？
【分析】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，根据“如果按甲工程队单独工作20天，再由乙工程队单独工作30天的方案施工，这样就完成了此路段的23”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工（60−23m）天，根据总工程费＝甲工程队每天所需费用×甲工程队工作的时间+乙工程队每天所需费用×乙工程队工作的时间结合该项目的工程费不超过114万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，
依题意，得：20x+301.5x=23，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝90．
答：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天．
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工1−m90160=（60−23m）天，
依题意，得：2（60−23m）+1.2m≤114，
解得：m≥45．
答：乙工程队最少施工45天才能完成此项工程．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式12-3】（龙岗区期末）深圳市某中学为了更好地改善教学和生活环境，该学校计划在2020年暑假对两栋主教学楼重新进行装修．
（1）由于时间紧迫，需要雇佣建筑工程队完成这次装修任务．现在有甲，乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成，如果乙工程队单独施工则要超过期限6天才能完成，若两队合做4天，剩下的由乙队单独施工，则刚好也能如期完工，那么，甲工程队单独完成此工程需要多少天？
（2）装修后，需要对教学楼进行清洁打扫，学校准备选购A、B两种清洁剂共100瓶，其中A种清洁剂6元/瓶，B种清洁剂9元/瓶．要使购买总费用不多于780元，则A种清洁剂最少应购买多少瓶？
【分析】（1）可设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，根据工作总量的等量关系，列出方程即可求解；
（2）可设A种清洁剂应购买a瓶，则B种清洁剂应购买（100﹣a）瓶，根据购买总费用不多于780元，列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要（x+6）天，
依题意有4x+xx+6=1，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解．
故甲工程队单独完成此工程需要12天；
（2）设A种清洁剂应购买a瓶，则B种清洁剂应购买（100﹣a）瓶，
依题意有6a+9（100﹣a）≤780，
解得a≥40．
故A种清洁剂最少应购买40瓶．
【点评】考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
【考点13 分式方程的应用（销售问题）】
【例13】（揭西县期末）受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．
（1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；
（2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
【分析】（1）设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x元/瓶，根据所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元，列出方程即可解决问题．
（2）根据题意分别求出两次的利润即可解决问题．
【解答】解：（1）设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x元/瓶，依题意得：2×8000x=17600x+1．
解得，x＝10．
经检验，x＝10是原方程的根．
所以该商场购进的第一批消毒液的单价为10元/瓶；
（2）共获利：（800010+1760010+1−200）×13+200×13×0.9﹣（8000+17600）＝5340（元）．
在这两笔生意中商场共获得5340元．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系，注意解分式方程必须检验．
【变式13-1】（龙岗区校级期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
【分析】（1）设A品牌口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，根据用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进B品牌口罩m个，则购进A品牌口罩（6000﹣m）个，根据总利润＝每个的利润×销售数量（购进数量）结合这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A品牌口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，
依题意，得：7200x=2×5000x+0.7，
解得：x＝1.8，
经检验，x＝1.8是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.7＝2.5，
答：A品牌口罩每个进价为1.8元，B品牌口罩每个进价为2.5元．
（2）设购进B品牌口罩m个，则购进A品牌口罩（6000﹣m）个，
依题意，得：（2﹣1.8）（6000﹣m）+（3﹣2.5）m≥1800，
解得：m≥2000．
答：最少购进B品牌口罩2000个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式13-2】（上蔡县期末）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为80元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变，要使两种商品全部售完后共获利不少于3520元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元，根据数量＝总价÷单价结合购进的甲、乙两种商品件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价可求出购进甲、乙两种商品的数量，设甲种商品按原销售单价销售了m件，根据利润＝销售总价﹣进货成本，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元．
依题意，得：2000x=2400x+8，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+8＝48．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元．
（2）甲、乙两种商品的购进数量为2000÷40＝50（件）．
设甲种商品按原销售单价销售了m件，
依题意，得：80m+80×0.7（50﹣m）+88×50﹣40×50﹣48×50≥3520，
解得：m≥30．
答：甲种商品按原销售单价至少销售30件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式13-3】（拱墅区期末）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元．
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍．这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【分析】（1）根据购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得A款T恤衫的单价和B款T恤衫的单价，然后即可计算出同时购进A数和B款T恤衫各60件的总价钱，然后和10000比较大小，即可解答本题；
（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到a的值，然后即可计算出商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润．
【解答】解：（1）设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，
40a+60b=840045a+50b=8050，
解得，a=90b=80，
∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，
∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A数和B款T恤衫各60件；
（2）由题意可得，
980090+a×1.2=1224090+a+0.5a，
解得，a＝8，
经检验，a＝8是原分式方程的解，
则4月份购进的T恤衫的数量为980090+8=100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），
（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），
答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元．
【点评】本题考查分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验．
【考点14 分式方程的应用（方案问题）】
【例14】（织金县期末）小明准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少6元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．
（1）求这种笔和本子的单价各是多少？
（2）小明准备用自己的180元压岁钱购买这种笔和本子，计划180元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣6）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量＝50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程30x−6=50x，再解方程可得答案；
（2）设恰好用完180元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n＝180，再求出整数解即可．
【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣6）元，由题意得：
30x−6=50x，
解得：x＝15，
经检验：x＝15是原分式方程的解，
则x﹣6＝9．
答：这种笔单价为15元，则本子单价为9元；
（2）设恰好用完180元，可购买这种笔m支和购买本子n本，
由题意得：15m+9n＝180，
整理得：m＝12−35n，
∵m、n都是正整数，
∴①n＝5时，m＝9，②n＝10时，m＝4，③n＝15，m＝3；
∴有三种方案：
①购买这种笔9支，购买本子5本；
②购买这种笔4支，购买本子10本；
③购买这种笔3支，购买本子15本．
【点评】此题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
【变式14-1】（勃利县期末）某公司有960件新产品需经加工后才能投放市场，现有甲、乙两家工厂都想加工加工这批产品．已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天120元．
（1）甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？
（2）公司制定的方案如下，可以由每个厂家单独完成，也可以有两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到工厂进行技术指导，并担负每天5元的午餐补助，请帮公司需出一种既省时又省钱的加工方案．
【分析】（1）设乙工厂每天能加工x件新产品，则甲工厂每天能加工23x件新产品，根据时间＝工作总量÷工作效率结合甲工厂独立完成比乙工厂独立完成多需20天即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）分别求出甲、乙两工厂独立完成以及合作完成所需的总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工厂每天能加工x件新产品，则甲工厂每天能加工23x件新产品，
根据题意得：96023x−960x=20，
解得：x＝24，
经检验，x＝24是原方程的解，
∴23x=23×24＝16．
答：乙工厂每天能加工24件新产品，甲工厂每天能加工16件新产品．
（2）甲工厂独立完成需要的费用为96016×（80+5）＝5100（元）；
乙工厂独立完成需要的费用为96024×（120+5）＝5000（元）；
甲、乙合作完成需要的费用为96016+24×（80+120+5）＝4920（元）．
∵5100＞5000＞4920，
∴甲、乙两个厂家合作完成省时省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据时间＝工作总量÷工作效率列出关于x的分式方程；（2）分别求出甲、乙两工厂独立完成以及合作完成所需的总费用．
【变式14-2】（北镇市期末）为迎接中国传统节日“端午节”的到来，某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，两种品牌粽子的进价和售价如下表：
已知用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种品牌的粽子共200盒的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于2170元且不超过2200元，问该超市有几种进货方案？
【分析】（1）根据“用300元购进甲品牌粽子的数量与用240元购进乙品牌粽子的数量相同”列出分式方程并解答；
（2）设购进甲品牌粽子x盒，则购进乙品牌粽子（200﹣x）盒，根据题意，列出不等式组并解答．
【解答】解：（1）根据题意，得300m=240m−2，
解这个方程，得m＝10．
经检验，m＝10是所列方程的根．
所以m的值为10．
（2）设购进甲品牌粽子x盒，则购进乙品牌粽子（200﹣x）盒，
根据题意，得2170≤（24﹣10）x+（16﹣8）（200﹣x）≤2200，
解这个不等式组，得95≤x≤100．
∵x为正整数，∴x可取95、96、97、98、99、100．
∴该超市共有6种进货方案．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
【变式14-3】（沙坪坝区校级期末）某建筑公司为了完成一项工程，设计了两种施工方案．
方案一：甲工程队单独做需40天完成；
方案二：乙工程队先做30天后，甲、乙两工程队一起再合做20天恰好完成任务．
请问：
（1）乙工程队单独做需要多少天才能完成任务？
（2）现将该工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了x天，乙工程队做另一部分工程用了y天，若x，y都是正整数，且甲工程队做的时间不到15天，乙工程队做的时间不到70天，那么两工程队实际各做了多少天？
【分析】（1）设乙工程队单独做需要x天完成任务，由甲完成的工作+乙完成的工作量＝总工作量1，建立方程求出其解即可；
（2）由甲完成的工作量+乙完成的工作量＝1 得x与y的关系式；由x、y的取值范围得不等式，求整数解即可．
【解答】解：（1）设乙工程队单独做需要x天完成任务，
由题意，得：30+20x+20×140=1，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要100天才能完成任务；
（2）根据题意得：x40+y100=1，
整理得：y＝100−52x．
∵y＜70，
∴100−52x＜70．
解得：x＞12．
又∵x＜15且为整数，
∴x＝13或14．
当x＝13时，y不是整数，所以x＝13不符合题意，舍去．
当x＝14时，y＝100−52×14＝100﹣35＝65．
答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天．
【点评】此题考查了分式方程的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式的解法，本题综合性强，熟练掌握分式方程的应用和一元一次不等式的解法是解题的关键．粽子价格
甲品牌
乙品牌
进价（元/盒）
m
m﹣2
售价（元/盒）
24
16
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