广西贵港市港北区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份广西贵港市港北区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知四个数−3，9，2，d成比例，则d等于( )
A. 3B. 6C. −3D. −6
2.在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=8，sinA=34，则BC的长为( )
A. 6B. 7.5C. 8D. 12.5
3.反比例函数y=1x的图象与一次函数y=x+2的图象交于点A(a,b)，则a−ab−b的值是( )
A. 3B. −3C. −1D. 1
4.一组数据：5，6，7，8，x的平均数为7，则这组数据的方差是( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
5.下列两个图形一定相似的是( )
A. 有一个角为110°的两个等腰三角形B. 两个直角三角形
C. 有一个角为55°的两个等腰三角形D. 两个矩形
6.若m是关于x的一元二次方程x2−x−1=0的根，则3−2m2+2m的值是( )
A. 2B. 1C. 4D. 5
7.△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC=6.下面四个结论：
①DE=3；②△ADE∽△ABC；
③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4；
④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：4.其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.关于x的一元二次方程kx2−4x+2=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k=2B. k≥2且k≠0C. k≤2D. k≤2且k≠0
9.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1： 3.坝高BC为4m，则AB的长度为( )
A. 4 3m
B. 8m
C. 8 3m
D. 16m
10.如图，面积为32 3的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO=30°，反比例函数y=kx的图象恰好经过点A，则k的值为( )
A. 3 3
B. −3 3
C. −12 3
D. −16 3
11.如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD=∠A，若BD=1，AC=7，则tan∠CBD的值为( )
A. 5
B. 2 6
C. 3
D. 26
12.如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为(5,0)，对角线OB、AC相交于点D，AD=OB，双曲线y=kx(x>0)经过AB的中点F，交BC于点E，下列四个结论：
①AC+OB=6 5；
②S菱形OABC=40；
③E点的坐标是(74,4)；
④连OF、CF，则S△COF=10，则正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.函数y=3x−2的自变量x的取值范围是______．
14.如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，点C在AD上，∠ACB=45°，tan∠D=23，则CDCA=______．
15.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE/​/BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△DOB=1：3，则当S△ADE=2时，四边形DBCE的面积是______ ．
16.一组数据有10个数，它们的平方和是50，平均数是2，则这组数据的方差是______ ．
17.如图，等边△ABC的边长为6，P，D分别是BC、AC边上点，且∠APD=60°，BP=2，则CD长为______．
18.如图，在平面直角坐标系中，A(8,0)，点B是直线y=−x上的动点，以OB为边作正方形OBCD，当AB最小时，点D恰好落中反比例y=kx的图象上，则k的值为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
按要求解下列方程：
(1)x2−4=0(直接开平方法)；
(2)2x2+2x−1=0(公式法)．
20.(本小题5分)
2cs60°−(−3)2+|2− 3|−(π−2023)0．
21.(本小题6分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．
(1)在AB上求作一点D，使△ABC∽△CBD(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，求△ACD的周长．
22.(本小题8分)
为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x(单位：h)的一组数据，将所得数据分为四组(A：x<8；B：8≤x<9；C：9≤x<10；D：x≥10)，并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次一共抽样调查了______ 名学生，扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数是______ ．
(2)将条形统计图补充完整．
(3)若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
23.(本小题8分)
消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC(20米≤AC≤30米)是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE(90°≤∠CAE≤150°)，转动点A距离地面的高度AE为4米．
(1)当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE=120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为______米．
(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由(参考数据： 3≈1.7)(提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度)
24.(本小题8分)
哈市某展览馆计划将长60米，宽40米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个1500平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．
(1)求通道的宽为多少米？
(2)若展览区用彩色地砖铺设，铺设每平方米需要80元，通道用白色地砖铺设，铺设每平方米需要60元，铺设整个展馆需要多少钱？
25.(本小题10分)
如图，点A在双曲线y=6x(x>0)上，点B在y轴的正半轴上，点C在双曲线y=−4x(x<0)上，过点A作AM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴，垂足分别为M，N．
(1)求阴影部分的面积；
(2)若四边形ABCO是平行四边形，求AMCN的值；
(3)在(2)的条件下，若AM=6，直接写出点B的坐标．
26.(本小题11分)
如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E，F分别为BC上两个动点，连接EF，将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为H，G．
(1)如图1，当点G落在DC边上时，连接BG．

①求EFBG的值；
②若点G为DC的中点，求CF的长．
(2)如图2，若E为AD的中点，CFBF=12，求sin∠GBC的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意得−3：9=2：d，
所以−3d=18，
解得d=−6．
故选：D．
根据成比例的定义得到−3：9=2：d，然后利用比例的性质可求出d的值．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2.【答案】A
【解析】解：如图．
∵∠C=90°，AB=8，sinA=34，
∴sinA=BCAB=BC8=34．
∴BC=6．
故选：A．
根据正弦值的定义解决此题．
本题主要考查正弦值的定义，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由于反比例函数y=1x的图象与一次函数y=x+2的图象交于点A(a,b)，
所以ab=1，b=a+2，
所以a−ab−b
=a−b−ab
=−2−1
=−3，
故选：B．
根据反比例函数、正比例函数图象上点的坐标特征，得到ab=1，b=a+2，再代入计算即可．
本题考查一次函数、反比例函数的图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象和性质是正确解答的前提．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知，5+6+7+8+x=5×7，
解得x=9，
则这组数据的方差为15×[(5−7)2+(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(9−7)2]=2，
故选：C．
先根据算术平均数的定义列式求出x的值，再根据方差的定义计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数，方差的定义．
5.【答案】A
【解析】解：A、分别有一个角是110°的两个等腰三角形，其底角等于55°，所以有一个角是110°的两个等腰三角形相似，此选项符合题意；
B、两个直角三角形的对应锐角不一定相等，对应边不一定成比例，所以两个直角三角形不一定相似，此选项不符合题意；
C、一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似，因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，此选项不符合题意；
D、两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，此选项不符合题意．
故选：A．
根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵m是关于x的二元二次方程x2−x−1=0的根，
∴m2−m−1=0，即m2−m=1．
∴3−2m2+2m
=3−2(m2−m)
=3−2×1
=3−2
=1．
故选：B．
把m代入方程得到m2−m的值，变形代数式后整体代入得结果．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．掌握整体代入的思想方法是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如图，
∴DE/​/BC，DE=12BC=3，
∴△ADE∽△ABC，
故①②正确；
∵△ADE∽△ABC，DEBC=12，
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，
故③正确；
∴△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，
故④错误．
故选：C．
根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE/​/BC，DE=BC=2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，解答本题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，以及相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
8.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−4x+2=0有实数根，
∴(−4)2−4×2k≥0，且k≠0，
解得k≤2且k≠0，
故选：D．
根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1： 3，
∴BCAC=1 3，
∵BC=4m，
∴AC=4 3m，
由勾股定理得：AB= BC2+AC2= 42+(4 3)2=8(m)，
故选：B．
根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：作AD⊥OB于D，
∵Rt△OAB中，∠ABO=30°，
∴OA=12OB，
∵∠ADO=∠OAB=90°，∠AOD=∠BOA，
∴△AOD∽△BOA，
∴S△AODS△BOA=(OAOB)2=14，
∴S△AOD=14S△BOA=14×32 3=8 3，
∵S△AOD=12|k|，
∴|k|=16 3，
∵反比例函数y=kx图象在二、四象限，
∴k=−16 3．
故选：D．
作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA=12OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数y=kx的几何意义即可求得k的值．
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是解答此题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：如图，延长BD交AC于点E．
∵DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，
∴∠CDE=∠CDB=90°，∠DCE=∠DCB．
在△DCE和△DCB中，
∠CDE=∠CDBCD=CD∠DCE=∠DCB，
∴△DCE≌△DCB(SAS)．
∴BD=ED=1．
∵∠ABD=∠A，
∴AE=BE=2．
∵AC=7，
∴CE=AC−AE=5．
∴CD= CE2−DE2= 52−12=2 6．
∴tan∠CBD=CDBD=2 61=2 6．
故选：B．
延长BD交AC于点E，先证明△DCE≌△DCB，从而求出BE的长，再利用等腰三角形的判定求出AE，利用线段的和差关系求出CE，利用勾股定理求出CD，最后求出∠CBD的正切．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：如图，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，
∵A(5,0)，
∴OA=5．
设OD=x，
∴AD=2OD=2x．
又AC⊥BD，
∴OD2+AD2=OA2．
∴x2+4x2=25．
∴x= 5．
∴AC=2AD=4 5，OB=2OD=2 5．
∴AC+OB=6 5，故①正确．
∴S菱形OABC=12AC⋅OB=12×4 5×2 5=20，故②正确．
又S菱形OABC=BM⋅OA=5BM=20，
∴BM=4．
在Rt△ABM中，AB=5，BM=4，由勾股定理可得AM=3，
∴OM=OA−AM=5−3=2．
∵F为AB中点，
∴FG是△ABM的中位线，
∴FG=12BM=2，MG=12AM=32．
∴OF=72．
∴F(72,2)．
∵双曲线过点F，
∴k=xy=72×2=7．
∴双曲线解析式为y=7x(x>0)．
由上可知，BM=4，故设E(x,4)．
将其代入双曲线y=7x(x>0)，得4=7x，
∴x=74．
∴E(74,4)，故③正确．
∵S菱形OABC=20，
∴S△COF=12S菱形OABC=10，故④正确．
综上所述，正确的结论有D个，
故选：D．
依据题意，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，设OD=x，从而AD=2OD=2x，进而分别求出AC=2AD=4 5，OB=2OD=2 5，故可判断①②；由菱形的性质可求得BM的长度，可判断在Rt△ABM中，可求得AM，结合三角形中位线定理可以得到点F的坐标，则可求得双曲线解析式；设E(x,4)，将其代入反比例函数解析式求得点E的横坐标，由此可判断③；由菱形的性质可知，△COF的面积等于菱形OABC的面积的一半，再求出菱形的面积即可判断④．
本题主要考查了反比例函数图象上点的特征，熟练掌握运用菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
13.【答案】x≠2
【解析】解：根据题意x−2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
此题对函数y=3x−2中x的取值范围的求解可转化为使分式有意义，分式的分母不能为0的问题．
本题主要是考查函数自变量x的取值问题，比较简单．
14.【答案】12
【解析】解：在Rt△ABD中，∵tan∠D=ABAD=23，
∴设AB=2x，AD=3x，
∵∠ACB=45°，
∴AC=AB=2x，
则CD=AD−AC=3x−2x=x，
∴CDCA=x2x=12，
故答案为：12．
由tan∠D=ABAD=23可设AB=2x、AD=3x，根据∠ACB=45°知AC=AB=2x，得出CD=x，继而可得答案．
本题主要考查锐角三角形函数的定义，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义及等腰三角形的性质．
15.【答案】16
【解析】解：∵S△DOE：S△DOB=1：3，
∴OEOB=13，
∵DE/​/BC，
∴△ODE∽△OCB，
∴DEBC=EOOB=13，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=(13)2=19，
∵S△ADE=2，
∴S△ABC=18，
∴四边形DBCE的面积=S△ABC−S△ADE=18−2=16，
故答案为：16．
由题意可得出OEOB=13，由相似三角形的性质可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：根据求方差公式：S2=1n(x12+x22+…+xn2−nx−2)=110×(50−10×4)=1，
故答案为：1．
根据已知条件10个数据的平方和是50，平均数是2，可知应该应用求方差公式，S2=1n(x12+x22+…+xn2−nx−2)代入求出即可．
此题主要考查了方差的求法，解决问题的关键是对方差公式的正确应用．
17.【答案】43
【解析】解：∵∠B=∠APD=∠C=60°，
∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠B+∠BAP=∠APD+∠CPD，
即∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴ABCP=BPCD，
∵AB=BC=6，BP=2，
∴CP=BC−BP=6−2=4，
∴64=2CD，
∴CD=43．
答：CD的长为43．
故答案为：43．
证明△ABP∽△PCD后，利用相似三角形的性质与判定即可求出答案．
本题考查相似三角形和等边三角形的性质，解题的关键是能够熟练运用相似三角形的判定与性质．
18.【答案】16
【解析】解：当AB最小时，AB⊥OB，
∵点B是直线y=−x上的动点，
∴∠AOB=45°，
∵A(8,0)，
∴OA=8，
过点B作BE⊥OA于点E，
则OE=BE=4，
∴B(4,−4)，
∵四边形OBCD是正方形，
∴点D与点B关于y轴对称，
∴D(−4,−4)，
∵点D恰好落在反比例y=kx的图象上，
∴−4=k−4，
解得k=16，
故答案为：16．
先利用点B在直线y=−x的图象上，以及OA=8，AB最小，求出点B的坐标，再根据正方形的性质求出点D的坐标，最后利用待定系数法求出k的值．
本题考查一次函数的图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，掌握相关函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2−4=0，
x2=4，
x1=−2，x2=−2；
(2)2x2+2x−1=0，
∵Δ=22−4×2×(−1)
=4+8
=12>0，
∴x=−2± 124=−2±2 34=−1± 32，
∴x1=−1+ 32，x2=−1− 32．
【解析】(1)利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20.【答案】解：原式=2×12−9+2− 3−1
=1−9+2− 3−1
=−7− 3．
【解析】利用特殊角的三角函数值，有理数的乘方法则，绝对值的意义和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，有理数的乘方法则，绝对值的意义和零指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，点D即为所求；

∵CD⊥AB
∴∠BDC=90°，
∴∠ACB=∠BDC，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD；
(2)∵∠ACB=90°，AC=3，CB=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∴△ABC的周长=3+4+5=12，
∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴△ABC的周长△ACD的周长=ABAC=53．
∴△ACD的周长=365．
【解析】(1)过点C作CD⊥AB于点D，点D即为所求；
(2)利用相似三角形的判定和性质求解即可．
本题考查尺规作图--作垂线，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
22.【答案】50 14.4°
【解析】解：(1)本次调查的学生人数为16÷32%=50(名)，
D组所对应的扇形圆心角的度数为360°×250=14.4°；
故答案为：50；14.4°；
(2)A组人数为50−(16+28+2)=4(名)，
补全图形如下：
(3)1200×28+250=720(名)．
答：估计该校最近两周有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
(1)由B组人数及其所占百分比求出总人数，用360°乘以D组人数所占比例即可；
(2)根据总人数求出A组人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以睡眠时长大于或等于9h人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解答本题的关键．
23.【答案】16
【解析】解：(1)如图，过点A作AG⊥CF，垂足为F．
由题意知：四边形AEFG是矩形．
∴FG=AE=4米，∠EAG=∠AGC=∠AGF=90°．
∵∠CAE=120°，
∴∠CAG=∠CAE−∠EAG=30°．
在Rt△AGC中，
∵sin∠CAG=CGAC，AC的长度为24米，
∴CG=AC×sin30°
=24×12
=12(米)．
∴CF=CG+GF
=4+12
=16(米)．
答：云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为16米；
故答案为：16；
(2)如图，过点C作CH⊥AE，交EA的延长线于点H．
当AC=30米，∠CAE=150°时，
∠HAC=30°．
在Rt△AHC中，
∵cs∠HAC=AHAC，
∴AH=cs∠HAC×AC
=cs30°×30
= 32×30
=15 3
≈1.7×15
=25.5(米)．
∴HE=AE+AH
=4+25.5
=29.5(米)．
由题意知，四边形HEFC是矩形，
∴CF=HE=29.5米，
∵29.5>26，
∴该消防车能够实施有效救援．
(1)过点A作AG⊥CF，垂足为F.先在Rt△AGC中求出CG，再利用直角三角形的边角间关系求出CF；
(2)先计算当AC长30米、∠CAE=150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系及线段的和差关系是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为(60−2x)米，宽为(40−2x)米，
根据题意得：(60−2x)(40−2x)=1500，
整理得：x2−50x+225=0，
解得：x1=5，x2=45(不符合题意，舍去)．
答：通道的宽为5米．
(2)80×1500+60×(60×40−1500)
=80×1500+60×(2400−1500)
=80×1500+60×900
=120000+54000
=174000(元)．
答：铺设整个展馆需要174000元钱．
【解析】(1)设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为(60−2x)米，宽为(40−2x)米，根据中间的矩形展览区的面积为1500平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)利用总价=单价×面积，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵S△CNO=12×|−4|=2，S△AMO=12×|6|=3，
∴阴影部分的面积=2+3=5；
(2)如图，连接AC交BO于点H，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AH=CH，
∴xA=−xC，
∵CN=|4xC|=|−4xA|=4xA，AM=6xA，
∴AMCN=32；
(3)∵AM=6，AMCN=32，
∴点A(1,6)，CN=4，
∴点C坐标为(−1,4)，
∴点H(0,5)，
∴OH=5，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BH=OH=5，
∴BO=10，
∴点B(0,10)．
【解析】(1)由反比例函数的性质可求△AMO和△CNO的面积，即可求解；
(2)由平行四边形的性质可求点A，点C的横坐标互为相反数，可求AM，CN的长，即可求解；
(3)先求出点A，点C坐标，由中点坐标公式可求点H坐标，由平行四边形的性质可求解．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)①过点A作AM/​/EF，交BC于点M，交BG于点N，如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AD/​/EF，
∵AM//EF，
∴四边形AEFM为平行四边形，
∴AM=EF．
∵将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为H，G，
∴EF垂直平分BG，
∴AM⊥BG，
∴∠BAM+∠ABG=90°．
∵∠ABG+∠CBG=90°，
∴∠BAM=∠CBG．
∵∠ABM=∠BCG=90°，
∴△BAM∽△CBG，
∴AMBG=ABBC=812=23，
∴EFBG=23；
②设CF=x，则BF=12−x．
∵点B，G关于EF对称，
∴EF垂直平分BG，
∴BF=GF=12−x．
∵点G为DC的中点，
∴CG=12CD，
∵AB=CD=8，
∴CG=4．
在Rt△GFC中，
∵CF2+CG2=FG2，
∴x2+42=(12−x)2，
解得：x=163．
∴CF的长为163；
(2)过点F作FK⊥AD于点K，如图，

∵E为AD的中点，
∴DE=12AD=6．
∵CFBF=12，
∴FC=13BC=4．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∵FK⊥AD，
∴四边形KFCD为矩形，
∴∠KFC=90°，DK=FC=4，FK=CD=8．
∴EK=DE−DK=2．
∴EF= EK2+FK2=2 17．
∴sin∠EFK=EKEF=22 17= 1717．
∵∠KFC=90°，
∴∠BFK=90°，
∴∠EFK+∠BFE=90°，
∵EF⊥BG，
∴∠BFE+∠GBC=90°，
∴∠GBC=∠EFK，
∴sin∠GBC=sin∠EFK= 1717．
【解析】(1)①过点A作AM/​/EF，交BC于点M，交BG于点N，利用平行四边形的判定与性质，矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
②设CF=x，则BF=12−x，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可；
(2)过点F作FK⊥AD于点K，利用矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理求得sin∠EFK= 1717，再利用直角三角形的性质和轴对称的性质求得∠GBC=∠EFK，则结论可求．
本题主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．