人教版八年级数学上册 第12章 重点突破训练：尺规作图及应用（原卷版+解析版）

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第12章 重点突破训练：尺规作图及应用典例体系考点1：基本尺规作图典例：（2020·北京初三二模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．已知：如图，直线和直线外一点．求作：直线，使直线直线．作法：如图，①在直线上任取一点，作射线；②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接；③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点；④作直线；所以直线就是所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知平分，．又，．(_______________________________)(填依据1)．，．，∴直线直线．(______________________)(填依据2)．方法或规律点拨本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是根据题意作图，然后再进行推理论证.巩固练习1．（2020·陕西省初一月考）已知点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN∥OA，作图痕迹如图所示.下列对弧FG的描述，正确的是( )A．以点C为圆心，OD的长为半径的弧B．以点C为圆心，OM的长为半径的弧C．以点E为圆心，DM的长为半径的弧D．以点E为圆心，CE的长为半径的弧2．（2020·山东省初一期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是（ ）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA3．（2020·辽宁省初三二模）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（ ）A．① B．② C．③ D．④4．（2020·河北省初三一模） 下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（　　）A．作一个角等于已知角B．作一个角的平分线C．作一条线段的垂直平分线D．过直线外一点P作已知直线的垂线5．（2020·河北省初三一模）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）① ② ③A．①② B．①③ C．②③ D．①②③6．（2020·内蒙古自治区中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形角平分线交点的是(　　　)A． B．C． D．7．（2020·河北省初三二模）图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；（2）弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；（3）弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为（　　）A．4 B．3 C．2 D．18．（2022·河北省金华中学初二期中）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角9．（2020·北京垂杨柳中学初一期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.已知：∠O，求作：一个角，使它等于∠O.作法：如图：①在∠O的两边上分别任取一点A，B；②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；③连结AC,BC ，所以∠C即为所求作的角.请根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下列证明． 证明：连结AB，∵OA=AC，OB= ， ，∴≌（ ）（填推理依据）．∴∠C=∠O．典例：（2020·广东省初三其他）如图，已知锐角，．（1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）（2）点在边上且，请连接，求证：．方法或规律点拨此题考查了基本作图--角平分线的画法，以及三角形全等的判定及性质．解题关键是掌握基本作图．巩固练习1．（2020·广西壮族自治区中考真题）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）A． B． C． D．2．（2020·广东省中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）A．2 B．3 C．4 D．53．（2020·湖北省中考真题）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）A． B． C． D．4．（2020·深圳市宝安中学（集团）初二期中）如图,在△ABC 中,∠C=90°,以点B 为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB、BC于点M、N分别以点M、N为圆心,以大于MN的长度为半径画弧两弧相交于点P过点P作线段BD,交AC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（ ）A．①②③ B．① ② ④ C．①③④ D．②③④5．（2020·江苏省初三二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．6．（2020·河北省中考真题）如图， ∥CD，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点、，再分别以、为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线，交于点，则射线为_____________；若，则的度数为__________．7．（2020·云南省初三学业考试）如图，以点为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交两边于点．分别以点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点．已知点到边的距离为，则点到边的距离为_________．考点3：利用尺规作图作三角形典例：（2022·北京市第五十四中学初二期中）数学课上，老师提出问题，任意画两条长度不等的线段a、b，利用尺规作图作Rt△ABC，使线段a、b分别为三角形的一条直角边和斜边，小勇所作之图如下：请你回答下列问题：（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是_____；（只填序号）①以B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D．②画直线BF．③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F．④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，联结AC．⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB=a（2）∠ABC=90°的理由是_____．方法或规律点拨本题考查了尺规作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质等，掌握基本作图的方法是解题的关键．巩固练习1．（2022·广东省初一期末）尺规作图：如图，作一个直角三角形ABC，使其两条直角边分别等于已知线段m，n．（保留作图痕迹，不写作法）2．（2020·山东省初三二模）如图，已知：点P和直线BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是，点M落在BC上．3．（2020·山东省初三期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段c，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，BC＝c，AB＝2c．4．（2022·宝鸡高新第一中学初一期末）已知∠α，线段a，b，求作：△ABC，使∠B=∠α，AB=2a，BC=b．(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)5．（2020·山东省青岛三十九中初一期中）（用直尺和圆规作图）已知：线段，求作：，使.6．（2022·三明市第十二中学初一月考）如图，已知△ABC，用直尺与圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC．（不要写作法，保留作图痕迹．）7．（2020·山东省青岛第二十六中学初一期中）已知：线段，，求作：，使，．8．（2020·青岛超银中学初三月考）已知：线段，，求作，，使，，．考点4：利用尺规作图作其它图形典例：（2020·泰兴市河头庄中学初三二模）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点（1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；（2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE．方法或规律点拨本题考查了尺规作图－作平行线、三角形的面积等知识，掌握平行线间的距离相等是解答本题的关键．巩固练习1．（2020·古田县第十中学初一期中）如图， 一块大的三角板ABC， D是AB 上一点， 现要求过点D割出一块小的三角板ADE， 使DE∥BC， 请用尺规作出DE 和∠A的平分线．(不写作法， 留下作图痕迹，要有结论) 2．（2020·北京初三二模）在数学课上，老师提出如下问题：已知：∠α，直线l和l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．小刚的做法如下：①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M，N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交直线l于点P；②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ；③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于E，F；④分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点G，作射线BG；⑤射线AQ与射线BG交于点C．Rt△ABC即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：连接PQ在△OMN和△AQP中，∵ON=AP，PQ=NM，OM=AQ∴△OMN ≌△AQP（__________）（填写推理依据）∴∠PAQ=∠O=α∵CE=CF，BE=BF∴CB⊥EF（____________________________）（填写推理依据）3．（2020·山西省初一期中）如图，利用尺规在的边上方作，并说明：．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）4．（2020·广西壮族自治区初三学业考试）如图，已知，直线及上两点，．尺规作图：作，使点在直线的上方，，．（保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明）5．（2020·陕西省初一期中）如图，已知，．求作：，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 6．（2020·陕西省中考真题）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）7．（2020·福建省初一月考）已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点求作：点E，使直线DE∥AB，点E在直线BC的北面，且点E到D点的距离是200米．（在题目的原图中完成作图，图中的比例尺是1：10000）（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）8．（2022·陕西省陕西师大附中初一期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点E为四边形ABCD边上一点，用尺规确定直线AE，使S△ADE＝S△ABE（不写画法，保留作图痕迹）．