人教版八年级数学上册 专题13.3-13.4 等腰三角形与最短路径问题测试卷（原卷版+解析版）

专题13.3-13.4 等腰三角形与最短路径问题测试卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2020·广西蒙山县二中初二月考）下列说法中正确的是（ ）；A．两个等边三角形全等； B．有一组对应边相等的两个等边三角形全等；C．两个等腰三角形全等； D．有一组对应边相等的两个等腰三角形全等；【答案】B【解析】解：A、两个等边三角形全等，错误，因为两个等边三角形的边长不一定相等，故本选项错误；B、有一边相等的两个等边三角形全等，根据SSS均能判定它们全等，故此选项正确；C、两个等腰三角形全等，错误，因为顶角和腰长不一定相等，故本选项错误；D、有一组对应边相等的两个等腰三角形全等，错误，因为最多只有两条边对应相等，无法证明，故本选项错误；故选B．2．（2020·广东省深圳市龙岗区时代学校初二期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）A．30° B．40° C．70° D．80°【答案】A【解析】∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°−∠A）÷2=70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，故选：A．3．（2020·河南巩义初一期末）如图，直线，等边三角形的顶点、分别在直线和上，边与直线所夹的锐角为，则的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：如图所示：根据∴，又∵是等边三角形∴∴∴故选：C．4．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD；（2）AB＝AC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的一条角平分线．其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】 AD⊥BC，D为BC的中点，,（2）正确；，（3）正确； AD是△ABC的一条角平分线，（4）正确；在△ABD和△ACD中△ABD≌△ACD，（1）正确故选D．5．（2020·河北怀安初二期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（　　）A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】B【解析】解：∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，由∠BAD=40°得∠B=∠ADB=70°，∵AD=DC，∴∠C=∠DAC，∴∠C=∠ADB=35°．故选B．6．（2020·湖北广水初三其他）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是( )A．68° B．112° C．124° D．146°【答案】B【解析】∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，∴∠A＝56°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝56°，∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，故选：B．7．（2020·吉林长春初三其他）如图，在ABC中，AC＞BC，∠ACB为钝角．按下列步骤作图：①在边BC、AB上，分别截取BD、BE，使BD＝BE；②以点C为圆心，BD长为半径作圆弧，交边AC于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作圆弧，交②中所作的圆弧于点G；④作射线CG交边AB于点H．下列说法不正确的是（　　）A．∠ACH＝∠B B．∠AHC＝∠ACB C．∠CHB＝∠A+∠B D．∠CHB＝∠HCB【答案】D【解析】解：根据作图过程可知：∠ACH＝∠B，所以A选项正确；∵∠AHC＝∠HCB+∠HBC＝∠HCB+∠ACH＝∠ACB，所以B选项正确；∵∠CHB＝∠A+∠ACH＝∠A+∠B，所以C选项正确；∵BC≠BH，∴∠CHB≠∠HCB．所以D选项错误．故选：D．8．（2020·山东岚山初二期末）如图，△ABC中，∠A=40°，AB=AC，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，且BD=CE，BE=CF，则∠DEF的度数是（　　）A．75° B．70° C．65° D．60°【答案】B【解析】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°-∠A）=70°，在△BDE和△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴∠BDE=∠CEF，∵∠CED=∠B+∠BDE，即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，∴∠DEF=∠B=70°；故选：B．9．（2020·山东岚山初二期末）如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点 C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6，故选：D．10．（2020·江苏昆山初一期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个筝形，其中PC＝PD，CQ＝DQ，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①PCQ≌PDQ；②PQ⊥CD；③CE＝DE；④S四边形PCQD＝PQ•CD，其中正确的结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】解：在△PCQ与△PDQ中，，∴△PCQ≌△PDQ（SSS），故①正确；∴∠CPQ＝∠DPQ，∵CP＝DP，∴PQ⊥CD，CE＝DE，故②③正确；∴S四边形PCQD＝S△PCQ+S△PDQ＝PQ•CE+PQ•DE＝PQ（CE+DE）＝PQ•CD，故④正确；故选：D．11．（2020·山东岚山初二期末）如图，△ABC的面积是1cm2，AD垂直于∠ABC的平分线BD于点D，连接DC，则与△BDC面积相等的图形是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】延长AD交BC于E，∵BD是∠ABC平分线，且BD⊥AE，根据等腰三角形“三线合一”的性质得：AD=DE，∴，，∴，A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，不符合题意；D、，符合题意；故选：D．12．（2020·陕西碑林西北工业大学附属中学初一期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（　　）A．40° B．70° C．40°或140° D．70°或20°【答案】D【解析】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，故选：D．13．（2020·山西太原初二期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【解析】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，∴AG＝CG，AE＝BE，∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，故选：B.14．（2020·山东滕州初二期中）如图所示，在中，是的平分线，于点，．给出下列结论：①是等腰三角形；②是等腰三角形；③；④．其中正确的是（ ）A．②③④ B．①②③④ C．②③ D．③【答案】A【解析】解：∵，∴∠BAC=45°=∠B，∴AC=BC，∵AD是的平分线，∴∠CAD=∠EAD，∵∠C=∠AED=90°，AD=AD，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AE=AC，DC=DE，∵BC＞CD，∴AE＞DE，∴△ADE不是等腰三角形，故结论①错误；∵，∠B=45°，∴∠BDE=45°=∠B，∴△BDE是等腰直角三角形，所以BE=DE=CD，故结论②、③正确；∵，∴BE=DE=CD=m，∴AC=AE=AB－BE=a－m，故结论④正确；综上，结论正确的是②③④．故选：A．二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2021·河南汝阳初二期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连结CD，若 CD= AC，∠A=50°，则∠B=________．【答案】【解析】，，，，由作图过程可知，直线MN是BC的垂直平分线，，，，解得，故答案为：．16．（2020·厦门市音乐学校初一期末）在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC，AC BC，C 90 ，若点C（2，3），A（2，6），则点B的坐标是______．【答案】（-1，3）或（5，3）【解析】如图所示，∵C（2，3），A（2，6），∴AC=6-3=3，∵AC=BC，∠C=90°，∴BC=AC=3，∴B（-1，3）或（5，3）．故答案为：（-1，3）或（5，3）．17．（2020·辽宁铁岭中考真题）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是____________．【答案】66°【解析】解：∵五边形是正五边形，∴AB=AE，∠EAB=108°，∵△ABF是等边三角形，∴AB=AF，∠FAB=60°，∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，∴∠EFA=．故答案为：66°．18．（2020·山东济阳初二期末）如图，△ABC中，∠B=70°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为_____________．【答案】80°或140°或10°【解析】解：在中，，.如图：①当时在中可得出，，；②当时在中可得出，，；③当时在中可得出，，且为外角，；故答案为：或或.三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·河北泊头初二期末）命题：如果三角形一边上的中线与这条边所对内角的平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形．请自己画图，写出已知、求证，并对命题进行证明．已知：如图，求证：证明：【答案】见解析【解析】已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD平分∠BAC；求证：AB=AC．证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图所示：则∠BED=∠CFD=90°，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中， ，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC．20．（2020·江西九江初一期末）如图，在中，于点于点相交于点．试说明：（1）．（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC＋∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，在△AHE与△BCE中，∵ ∴△AEH≌△BEC，（2）由△AEH≌△BEC得AH＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD．21．（2020·河南罗山初二期末）中，，，的垂直平分线交于，为垂足，连结．（1）求的度数；（2）若，求长．【答案】（1）∠ECD＝36°；（2）BC＝5．【解析】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵∠BEC＝∠A＋∠ACE＝72°，∴∠B＝∠BEC，∴BC＝CE＝5．22．（2020·云南盘龙初二期末）如图，在平面直角坐标系中：（1）请画出关于y轴对称的，并写、点的坐标；（2）直接写出的面积为_________________；（3）在x轴上找一点P，使的值最小，请标出点P的在坐标轴上的位置．【答案】（1）见解析，B1(−2，−4)，C1(−4，−1)；（2）5；（3）见解析【解析】解：（1）如图所示：B1(−2，−4)，C1(−4，−1) ；（2）如图：面积为：；（3）如图所示：点P即为所求点．23．（2020·浙江江干初三一模）已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD=α，求：①∠BCA的大小；②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC=FC．【答案】（1）①90°﹣；②α；（2）证明见解析【解析】（1）①∵AD=AC，∠CAD=α，∴∠BCA=（180°﹣α）=90°﹣，②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：∴∠DAG+∠ADG=90°，∴∠CAG=∠DAG=∠CAD=α，∵CF⊥AD于点E，∴∠DCE+∠ADG=90°，∴∠DCE=∠DAG=∠CAD=α，即∠BCF=α；（2）∵∠B=45°，AG⊥BC，∴∠BAG=45°，∵∠BAC=45°+∠CAG，∠AFC=45°+∠DCE，∠DCE=∠DAG，∠CAG=∠DAG，∴∠BAC=∠AFC，∴AC=FC．24．（2020·北京海淀北理工附中初三一模）如图1，在中，，，过点的直线垂直于线段所在的直线．设点，关于直线的对称点分别为点，（1）在图1中画出关于直线对称的三角形．（2）若，求的度数．（用表示）（3）若点关于直线的对称点为，连接，．请写出、之间的数量关系和位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）；（3），，所成锐角为60°，见解析【解析】（1）如图：（2）解：∵，关于直线对称，∴，，∴，∴，又∵在中，，，∴，即；（3），，所成锐角为60°∵，关于直线对称，∴，，∴，∵∴在中，，又∵，∴． ∵点M、关于对称，∴，，∴，∴∠4=，∵，∴，∴，∵，，∴为等边三角形，∴，又∵由（2）得，，∴，∴为等边三角形，∴，，即PA与PM所成角为60°.25．（2020·四川成都初一期末）已知：ABC为等边三角形．（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．①求证：ABD≌BCE；②求∠AFE的度数；（2）如图2，点D为ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．【答案】（1）①见解析，②60°；（2）7；（3）当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°【解析】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS）．②解：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．（2）解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，∴△CDJ是等边三角形，∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，∴∠BCJ＝∠ACD，∵CB＝CA，∴△BCJ≌△ACD（SAS），∴BJ＝AD，∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC＝2+5＝7．（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，∴∠TCB＝∠DCA，∴△TCB≌△DCA（SAS），∴BT＝AD，∵CT＝CD＝2，BD＝3，∴3﹣2≤BT≤3+2，∴1≤BT≤5，∴1≤AD≤5．∴AD的最小值为1，最大值为5．当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°．26．（2022·河南偃师初二期末）如图，ABC 中，AB = AC=2，∠B = 40°，点 D 在线段 BC上运动（点D不与B，C重合），连结AD，作∠ADE=40°，DE 交线段AC于E．(1)当∠BAD=20° 时，∠EDC= °；(2) 请你回答：“当DC等于 时，ABD DCE”，并把“DC等于 ”作为已知条件，证明ABDDCE；(3)在D点的运动过程中，ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于 时， ADE是等腰三角形．(直接写出结果，不写过程）【答案】（1）20；（2）2；2；证明见解析；（3）30°或60°【解析】解：（1）∵∠BAD=20°，∠B=40°，∴∠ADC=60°，∵∠ADE=40°，∴∠EDC=20°．（2）DC=AB=2时，∵AB = AC=2，∴∠B=∠C，∵∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-40°-∠ADB=140°-∠ADB，∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-40°-∠ADB=140°-∠ADB，∴∠BAD=∠CDE．在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①若AD=AE时，则∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴△ADE不可能是等腰三角形；②若DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=(180°-40°)=70°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=100°-70°=30°；③若EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°-40°=60°，∴当∠BAD=30°或60°时，△ADE是等腰三角形．