山东省临沂市沂水县2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟试卷

这是一份山东省临沂市沂水县2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟试卷，共18页。

A．“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨
D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
2．（3分）抛物线y=−3x2的顶点坐标是（ ）
A．（0，−3）B．（0，3）C．（0，0）D．（1，−3）
3．（3分）在不透明的甲口袋中装有32个红球和8个黑球，在不透明的乙口袋中装有48个红球，20个黑球和32个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两口袋中的球，从口袋中分别任意摸出一个球，下列说法正确的是（ ）
A．从甲口袋中摸到黑球的概率较大
B．从乙口袋中摸到黑球的概率较大
C．从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率相等
D．无法比较从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率
4．（3分）如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A．CDEF=BCBEB．ADDF=BCCEC．BCCE=DFADD．CDEF=ADAF
5．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．方程x2＝x有一根为0
B．方程x2﹣1＝0的两根互为相反数
C．方程（x﹣1）2﹣1＝0的两根互为相反数
D．方程x2﹣x+2＝0的两根互为相反数
6．（3分）如果反比例函数y=k−2x的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜2B．k＜﹣2C．k＞2D．k＞﹣2
7．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的面积之比为4：9，则AO：OD的比值为（ ）
A．2：3B．2：5C．4：9D．4：13
8．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5﹣πB．5−π2C．52−π2D．52−π4
9．（3分）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A．y=−13x2B．y=13x2C．y＝﹣3x2D．y＝3x2
10．（3分）在平面直角坐标系中，将点M （0，3）绕原点顺时针旋转90°后得到的点的坐标为（ ）
A．（0，﹣3）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，3）
11．（3分）如图，函数y=1x(x＞0)和y=4x(x＞0)的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，则△PAB的面积为（ ）
A．1B．4C．98D．34
12．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠P＝50°，则∠ABO的度数是（ ）
A．25°B．35°C．45°D．50°
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～4的整数），函数y=kx（x＞0）的图象为曲线L．若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则T4的坐标是 ，k的取值范围是 ．
14．（3分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为 米．
15．（3分）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交BC于点E，则EC的长为 ．
16．（3分）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A′B′C，设A′C交AB边于D，连接AA′，若△AA'D是等腰三角形，则旋转角α的度数为 ．
三．解答题（共7小题）
17．用指定的方法解方程：
（1）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0（因式分解法）
（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）
18．如图，在矩形ABCD中，点E是线段AD上的一点，且BE＝BC，连接CE，设∠CBE＝α．
（1）尺规作图：将线段BA绕点B逆时针旋转α得到线段BG，连接CG交BE于点H，连接AG；
（2）试判断GH与CH的数量关系，并给予证明．
19．“五一”小长假期间，小明和小华都准备在玉溪市的玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）、磨盘山国家森林公园（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）这四个景点中任选一个去游玩，每个景点被选中的可能性相同．
（1）求小明去通海秀山公园的概率；
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都去玉溪汇龙生态园的概率．
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是AB边上的一个动点，连接CE，点F在边AB的延长线上，且BF＝BE，连接DF交CE于点G，连接BG．
（1）当点E是AB的中点时，求CE的长；
（2）在（1）的条件下，求BG的长；
（3）当BG=357时，请直接写出线段AF的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
（1）求∠EOD的度数；
（2）若r＝2，求阴影部分的面积．
22．如图，点A(32，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数y=nx(x＞0)图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2﹣S1．
23．如图1，用长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为28m，设垂直于墙的一边长为x m，平行于墙的一边长为y m．
（1）直接写出y与x满足的函数关系式及x的取值范围 ；
（2）求菜园面积S的最大值；
（3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为a m的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为 ．
2023-2024学年山东省临沂市沂水县九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【解答】解：A、“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；
B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；
C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；
D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；
故选：D．
2．【解答】解：∵抛物线y=−3x2，
∴抛物线y=−3x2的顶点坐标是：（0，0），
故选：C．
3．【解答】解：∵甲口袋中装有32个红球和8个黑球，
球的总个数为：32+8＝40个；
黑球的个数为：8个，
∵乙口袋中装有48个红球，20个黑球和32个白球，
球的总个数为：48+20+32＝100个，
黑球的个数为：20个，
∴从甲口袋摸到黑球的概率=840=15；
从乙口袋摸到黑球的概率=20100=15
∴从甲、乙两口袋中摸到黑球的概率相等，
故选：C．
4．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ADDF=BCCE，ADAF=BCBE，
∴选项A、C、D不正确，选项B正确；
故选：B．
5．【解答】解：A、方程x2＝x有一根为0，所以A选项的说法正确；
B、方程x2﹣1＝0的两根互为相反数，所以B选项的说法正确；
C、方程（x﹣1）2﹣1＝0的两根为x1＝0，x2＝2，所以C选项的说法不正确．
D、Δ＝（﹣1）2﹣4×2＜0，方程x2﹣x+2＝0无实数根，所以D选项的说法正确；
故选：C．
6．【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2，
故选：A．
7．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，△ABC与△DEF的面积之比为4：9，
∴ABDE=23，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴AOOD=ABDE=2：3，
故选：A．
8．【解答】解：连接AC，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO＝∠PDO＝90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA＝OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P＝90°，AP＝AO，AC∥PE，
∴∠E＝∠ACB＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC＝2AO＝2，DE=2CD＝2，
∴AP＝PD＝AO＝1，
∴PE＝3，
∴图中阴影部分的面积=12（AC+PE）•AP−12AO2•π=12（2+3）×1−12×12•π=12（5﹣π）=52−π2，
故选：C．
9．【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（﹣3，﹣3）点，
故﹣3＝9a，
a=−13，
故y=−13x2，
故选：A．
10．【解答】解：点M（0，3）绕原点O顺时针旋转90°，得到的点的坐标为（3，0），
故选：B．
11．【解答】解：如图，延长PA、PB分别交x轴，y轴于点C、D，连接OA、OB，
设点A的横坐标为x，则点A的纵坐标为1x，点P的纵坐标为4x，
∴PA＝PC﹣AC=4x−1x=3x，
∵点B在反比例函数y=1x的图象上，点B的纵坐标为4x，
∴点B的横坐标为14x，
即BD=14x，
∴PB＝PD﹣BD＝x−14x=34x，
∴S△PAB=12PA•PB
=12×3x×34x
=98，
故选：C．
12．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，OB⊥PB，∠PBO＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠PAB=∠PBA=12×(180°−50°)=65°，
∴∠ABO＝90°﹣∠PBA＝90°﹣65°＝25°，
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．【解答】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），
∴当函数y=kx（x＞0）过点T1（8，1），T4（2，4）时，k＝8，
当函数y=kx（x＞0）过点T2（6，2），T3（4，3）时，k＝12，
∴若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：8＜k＜12．
故答案为：（2，4）；8＜k＜12．
14．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线解析式为y＝ax2+c，
把（2，0）和（2，0）代入得，
c=24a+c=0，
解得：a=−12，c＝2，
∴抛物线解析式为y=−12x2+2，
把y＝1代入得：x＝±2，
则水面的宽度是22米．
故答案为：22．
15．【解答】解：如图所示：连接AE、AC、AD，
∵∠ABC＝90°，
∴AC是直径，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
根据网格图形可知：AC=AD=13，CD=26，
∴AC2+AD2＝CD2＝26，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝90°，∠ACE＝45°，
∴∠EAC＝45°，
∴EC所对的圆心角是90°，
∴EC的长为以AC为直径的圆周长的14，
即lEC=14×π×13=13π4．
故答案为：13π4．
16．【解答】解：∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC＝CA'，
∴∠AA'C＝∠CAA'=12（180°﹣α），
∴∠DAA'＝∠CAA'﹣∠BAC=12（180°﹣α）﹣30°，
根据三角形的外角性质，∠ADA'＝∠BAC+∠ACA'＝30°+α，
△ADA'是等腰三角形，分三种情况讨论，
①∠AA'C＝∠DAA'时，12（180°﹣α）=12（180°﹣α）﹣30°，无解，
②∠AA'C＝∠ADA'时，12（180°﹣α）＝30°+α，
解得α＝40°，
③∠DAA'＝∠ADA'时，12（180°﹣α）﹣30°＝30°+α，
解得α＝20°，
综上所述，旋转角α度数为20°或40°．
故答案为：20°或40°．
三．解答题（共7小题）
17．【解答】解：（1）∵（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0，
∴（y﹣3+1）（y﹣3+2）＝0，即（y﹣2）（y﹣1）＝0，
则y﹣2＝0或y﹣1＝0，
解得y＝2或y＝1；
（2）方程整理为一般式得x2+2x﹣8＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣8，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，
则x=−2±62，即x1＝﹣4，x2＝2．
18．【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）GH＝CH，
证明：过点C作CN⊥BE于N，如图，
∵将线段BA绕点B逆时针旋转α得到线段BG，
∴BG＝BA，∠ABG＝∠CBE，
∴∠ABG+∠ABE＝∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠GBH＝90°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴CE平分∠BED，
∵CE平分∠BED，CD⊥DE，CN⊥BE，
∴CD＝CN，
∴BG＝AB＝CD＝CN，
在△BHG和△NHC中，
∠BHG=∠NHC∠GBH=∠CNH=90°BG=CN，
∴△BHG≌△NHC（AAS），
∴GH＝CH．
19．【解答】解：（1）P（小明去通海秀山公园）=14；
（2）用表格表示所有可能的情况如下：
其中：玉溪汇龙生态园（记为A）、通海秀山公园（记为B）、
磨盘山国家森林公园（记为C）、易门龙泉国家森林公园（记为D）
∴P（都去玉溪汇龙生态园）=116
20．【解答】解：（1）连接AC，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝2．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC＝2．
∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB＝1，CE⊥AB．
∴CE=AC2−AE2=3；
（2）∵BE＝BF，BE＝1，
∴EF＝EB+BF＝2．
∴EF＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDG．
在△EFG和△CDG中，
∠FGE=∠DGC∠F=∠CDGEF=CD．
∴△EFG≌△CDG（AAS）．
∴EG＝CG=12EC=32．
∴BG=BE2+GE2=12+(32)2=72．
（3）延长BG交CD于点H，连接AC，AH，如图，
∵CD∥AF，
∴△CHG∽△EBG，
∴CHBE=CGGE=HGBG．
同理：DHBF=HGBG．
∴CHBE=DHBF．
∵BE＝BF，
∴DH＝CH．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴AH⊥CD，DH＝CH＝1．
∴AH=AD2−DH2=3．
∵AB∥CD．
∴HA⊥AB，
∴BH=AH2+AB2=7．
∴HG＝BH﹣BG=7−375=275．
∴HGBG=23．
∴DHBF=23．
∴BF=32．
∴AF＝AB+BF＝2+32=72．
21．【解答】解：（1）∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∵∠B＝60°，∠A＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠EOD＝360°﹣∠C﹣∠OEC﹣∠ODC＝150°；
（2）连接OB，OC，则∠OBD＝∠OBF=12∠ABC=30°，
∴BF＝BD=ODtan30°=233=23，
∵∠A＝∠AFO＝∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF为矩形，
由切线长定理知，AE＝AF，
∴四边形AEOF为正方形，
∴AE＝AF＝OE＝OF＝2，
∴AB＝AF+BF＝23+2，
∵∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝43+4．
∴CD＝CE＝BC﹣BD＝23+4，
∴S阴影＝S△OCE+S△OCD﹣S扇形ODE=12×(23+4)×2×2−150π×22360=43+8−53π．
22．【解答】解：（1）由点A（32，4）在反比例函数y=nx（x＞0）图象上，
∴n=32×4＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x（x＞0），
将点B（3，m）代入y=6x（x＞0）并解得m＝2，
∴B（3，2），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，
∴32k+b=43k+b=2，解得k=−43b=6，
∴直线AB的表达式为y=−43x+6；
（2）由点A坐标得AC＝4，
则点B到AC的距离为3−32=32，
∴S1=12×4×32=3，
设AB与y轴的交点为E，则点E（0，6），如图：
∴DE＝6﹣1＝5，
由点A（32，4），B（3，2）知，点A，B到DE的距离分别为32，3，
∴S2＝S△BDE﹣S△AED=12×5×3−12×5×32=154，
∴S2﹣S1=154−3=34．
23．【解答】解：（1）由题意得：y＝60﹣2x，
∵墙长为28m，篱笆长为60m，
∴0＜y≤28，
∴0＜60﹣2x≤28，
∴﹣60＜﹣2x≤﹣32，
∴16≤x＜30，
∴y＝60﹣2x（16≤x＜30）；
（2）∵y＝60﹣2x，
∴S＝xy
＝x（60﹣2x）
＝﹣2x2+60x
＝﹣2（x﹣15）2+450，
∵a＝﹣2＜0
∴开口向下，
∵对称轴为x＝15，
∴当16≤x＜30时，S随x增大而减小．
∴当x＝16时，S有最大值，最大值为448m2；
（3）由题意得：S路＝2ay+ax﹣2a2，
∴S种＝S﹣S路
＝﹣2x2+60x﹣[2a（60﹣2x）+ax﹣2a2]
＝﹣2x2+60x﹣120a+4ax﹣ax+2a2
＝﹣2x2+（3a+60）x+2a2﹣120a，
∵种菜部分的面积随x的增大而减小，且16≤x＜30，
∴−3a+602×(−2)≤16，
∴3a+60≤64，
∴3a≤4，
∴a≤43，
又∵a＞0，
∴0＜a≤43．