山东省枣庄市第八中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份山东省枣庄市第八中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、若直线与直线互相垂直,则a的值为( )
A.-1B.1C.-2D.2
2、已知等差数列的前n项和为,若,则( )
A.96B.72C.48D.24
3、已知等比数列的前n项和为,若,,则( )
A.40B.30C.13D.50
4、两定点A,B的距离为3,动点M满足,则M点的轨迹长为( )
A.B.C.D.
5、已知双曲线,则下列选项中正确的是( )
A.
B.若W的顶点坐标为,则
C.W的焦点坐标为
D.若,则W的渐近线方程为
6、在平行六面体中,其中,,,则( )
A.100B.C.56D.10
7、已知椭圆的左、右焦点分别是,若椭圆C的离心率,则称椭圆C为“黄金椭圆”.O为坐标原点,P为椭圆C上一点,A和B分别为椭圆C的上顶点和右顶点,则下列说法错误的是( )
A.a,b,c成等比数列B.
C.D.若轴,则
8、如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME—7）的会徽图案,其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知,,,,···为直角顶点,设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为,令,为数列的前n项和,则( )
A.8B.9C.10D.11
二、多项选择题
9、下列命题中,不正确的命题有( )
A.是,共线的充要条件
B.若,则存在唯一的实数,使得
C.若A,B,C不共线,且,则P,A,B、C四点共面
D.若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底
10、正方体的校长为2,E,F,G分别为BC,,的中点.则( )
A.直线EF与直线AE垂直
B.直线与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为
D.点和点D到平面的距离相等
11、已知椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,椭圆的上顶点为M,且,双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率为,P为曲线与的一个公共点.若,则( )
A.B.C.D.
12、在棱长为2的正方体中,P是棱AB上一动点,则P到平面的距离可能是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13、若圆与内切,则正数r的值是________.
14、一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米,拱高米,在建造时每隔4米用一个柱子支撑,则支柱的长度____________米.
15、将正整数数列1,2,3,4,5,···的各项按照上小下大的、左小右大的原则写成如下的三角形数表.数表中的第9行所有数字的和为______________.
16、设椭圆C的上顶点为,且长轴长为,过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B两点,则直线AB过定点____________.
四、解答题
17、已知数列是递增的等差数列,,若,,成等比.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和为,
18、已知圆C经过,两点,且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知过点的直线与圆C相交,被圆C截得的弦长为2,求直线的方程.
19、数列的前n项和,
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
20、如图,在底面是直角梯形的四棱锥中,,平面ABCD,,E是SC的中点.
（1）证明：平面SAB;
（2）求直线CD与平面BED所成角的正弦值.
21、若椭圆过抛物线的焦点,且与双曲线有相同的焦点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点,求面积的最大值以及此时直线l的方程.
22、已知抛物线上一点到焦点F的距离为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)抛物线C的准线与y轴交于点A,过A的直线l与抛物线C交于M,N两点,直线MF与抛物线C的准线交于点B,点B关于y轴对称的点为,试判断F,N,三点是否共线,并说明理由.
参考答案
1、答案：D
解析：因为直线与直线互相垂直,
所以,解得;
故选：D.
2、答案：B
解析：因为是等差数列,故可得：,
所以.
故选：B.
3、答案：A
解析：由于是等比数列,所以,,,也成等比数列,
其中,所以,,
所以.
故选：A.
4、答案：A
解析：以点A为坐标原点,直线AB为x轴,建立直角坐标系,如图,
则,设点,
由,得,化简并整理得：,
于是得点M的轨迹是以点为圆心,2为半径的圆,其周长为,
所以M点的轨迹长为.
故选：A.
5、答案：D
解析：对于A项：因为方程表示双曲线,
所以,解得或,A错误;
对于B项：因为W的顶点坐标为,所以,解得,B错误;
对于C项：当时,,当时,,C错误;
对于D项：当时,双曲线W的标准方程为,则渐近线方程为,D正确.
故选：D.
6、答案：D
解析：
,
所以
,
所以,
故选：D.
7、答案：D
解析：对于A,,,
,
故a,b,c成等比数列,故A正确;
对于B, 因为,所以即,,
所以,故,故B正确;
对于C,要证,只需证,只需证,即,
只需证,由A得,显然成立,故C正确;
对于D,轴,且,所以,,
所以,解得,所以,故D不正确.
故选：D.
8、答案：B
解析：由,
可得,,···,,
所以,
,
所以前n项和,
所以,
故选：B.
9、答案：AB
解析：对于A,当时,,共线成立,但当,同向共线时,,
所以是,共线的充分不必要条件,故A不正确;
对于B,当时,,不存在唯一的实数,使得,故B不正确;
对于C,由于,而,根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面,故C正确;
对于D,若为空间的一个基底,则,,不共面,
利用反证法证明,,不共面,假设,,共面,
则,所以,
所以,,共面,与已知矛盾.所以,,不共面,
则构成空间的另一个基底,故D正确.
故选：AB.
10、答案：BCD
解析：以D为原点,,,分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
所以,,,,,
对于A:因为,所以直线EF与直线AE不垂直.故A错误;
对于B：设平面AEF的法向量,则取,得.
且平面AEF,直线与平面AEF平行.故B正确;
对于C：
连接,,E,F分别是BC,的中点,
面AEF截正方体所得的截面为梯形,
面AEF截正方体所得的截面面积为：.故C正确;
对于D：由前面可知平面AEF的法向量.
点到平面AEF的距离,
点D到平面AEF的距离,
点和点D到平面AEF的距离相等.故D正确.
故选:BCD.
11、答案：BD
解析：因为,且,所以为等腰直角三角形.
设椭圆的半焦距为c,则,所以,则.
在中,,设,,双曲线的实半轴长为,
则（在中,由余弦定理可得）,
故,故,
又,所以,即,
故,,,,
选BD.
故选：BD.
12、答案：BC
解析：如图,以为坐标原点,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
故,,
设平面的法向量,
由,取,
则为平面的法向量,,
所以P到平面的距离.因为,
所以,
而,即BC选项的数值才符合.
故选：BC.
13、答案：6
解析：圆的圆心为,半径为1,
圆的圆心为,半径为r,
因为两圆外切,则,解得或（舍去）.
故答案为：6.
14、答案：3.84
解析：建立如图所示的直角坐标系,使抛物线的焦点在y轴上.可设抛物线的标准方程为：,.
因为桥的跨度米,拱高米,所以,
代入标准方程得：,解得：,所以抛物线的标准方程为
把点的横坐标-2代入,得,解得：,
支柱的长度为(米).即支柱的长度为3.84(米).
故答案为：3.84.
15、答案：369
解析：根据三角形数表可知：前8行一共有个数,
因此第9行的第一个数为37,一共有9个数,
所以第9行所有数字的和为：,
故答案为：369.
16、答案：
解析：根据题意椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的方程为
上顶点为, ,
又长轴长为, ,
则椭圆C的方程为,
易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为,,
由可得,
,
,
又,
,解得或.
当时,直线AB经过点D,不满足题意,
则直线AB的方程为,故直线AB过定点.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）由是递增的等差数列,,
又,,,,
又,,成等比数列,
,解得或（舍去）,
,则.
（2）由（1）可得,
所以.
18、答案：(1)
(2)或
解析：（1）线段AB的中点为,直线AB的斜率为,
所以线段AB的垂直平分线为,即,
由解得,
所以圆心为,半径为,
所以圆C的方程为;
（2）当直线的斜率不存在时,由,得,或,
即直线与圆C相交所得弦长为,符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,
由于圆C到的距离为,所以,解得,
所以.即,
综上所述,直线的方程为或
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,
所以当时,,所以,
当时,,
所以,
整理可得,
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以.
（2）由（1）有,所以,
方法一：,
,
错位相减可得：,
所以.
方法二：,
令,则,
所以,
所以.
20、答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）如图所示：
取BS中点,设为F,连接AF,EF,
因为,
所以,
所以四边形ADEF为平行四边形,
所以,
又平面SAB,平面SAB,
所以平面SAB;
（2）以A为坐标原点,AD为x轴,AB为y轴,AS为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
从而,,,
设平面BDE的一个法向量为,
则,即,令,则,
所以平面BDE的一个法向量为,
设直线CD与平面BED所成角为,
所以.
所以直线CD与平面BED所成角的正弦值是.
21、答案：(1)
(2)面积的最大值为,此时直线l的方程为
解析：（1）抛物线的焦点为,所以,
因为双曲线的焦点坐标为,
所以则,
所以椭圆E的方程为.
（2）设,
联立可得,
因为直线与椭圆E交于A、B两点,
所以解得,
由韦达定理可得,
由弦长公式可得,
点O到直线l的距离为,
所以
当且仅当即时取得等号,
所以面积的最大值为,此时直线l的方程为.
22、答案：(1)
(2)F,N,三点共线,理由见解析
解析：（1）由得,
所以抛物线C的方程为.
（2）抛物线C的准线方程为,所以.
易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为,,
联立方程组,得,
则,.由,得或.
直线MF的方程为,令,
得,即,
所以.
因为,
,
所以,故F,N,三点共线.