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    专题04 数列的通项、求和及综合应用(精讲精练)-备战2024年高考数学二轮复习讲练测(新备战2024年高考专用)
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    专题04 数列的通项、求和及综合应用(精讲精练)-备战2024年高考数学二轮复习讲练测(新备战2024年高考专用)

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    这是一份专题04 数列的通项、求和及综合应用(精讲精练)-备战2024年高考数学二轮复习讲练测(新备战2024年高考专用),文件包含专题04数列的通项求和及综合应用精讲精练原卷版docx、专题04数列的通项求和及综合应用精讲精练解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共86页, 欢迎下载使用。

    数列是高考重点考查的内容之一,命题形式多种多样,大小均有.其中,小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系,和其它知识综合考查的趋势明显(特别是与函数、导数的结合问题),浙江卷小题难度加大趋势明显;解答题的难度中等或稍难,随着文理同卷的实施,数列与不等式综合热门难题(压轴题),有所降温,难度趋减,将稳定在中等偏难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和,在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上,进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等,与不等式结合,“放缩”思想及方法尤为重要.数列与数学归纳法的结合问题,也应适度关注.
    【核心考点目录】
    核心考点一:等差、等比数列的基本量问题
    核心考点二:证明等差等比数列
    核心考点三:等差等比数列的交汇问题
    核心考点四:数列的通项公式
    核心考点五:数列求和
    核心考点六:数列性质的综合问题
    核心考点六:实际应用中的数列问题
    核心考点七:以数列为载体的情境题
    【真题回归】
    1.(2022·浙江·高考真题)已知数列满足,则( )
    A.B.C.D.
    2.(2022·全国·高考真题(文))记为等差数列的前n项和.若,则公差_______.
    3.(2022·全国·高考真题)已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且.
    (1)证明:;
    (2)求集合中元素个数.
    4.(2022·全国·高考真题(理))记为数列的前n项和.已知.
    (1)证明:是等差数列;
    (2)若成等比数列,求的最小值.
    5.(2022·天津·高考真题)设是等差数列,是等比数列,且.
    (1)求与的通项公式;
    (2)设的前n项和为,求证:;
    (3)求.
    6.(2022·浙江·高考真题)已知等差数列的首项,公差.记的前n项和为.
    (1)若,求;
    (2)若对于每个,存在实数,使成等比数列,求d的取值范围.
    【方法技巧与总结】
    1、利用定义判断数列的类型:注意定义要求的任意性,例如若数列满足(常数)(,)不能判断数列为等差数列,需要补充证明;
    2、数列满足,则是等差数列;
    3、数列满足,为非零常数,且,则为等比数列;
    4、在处理含,的式子时,一般情况下利用公式,消去,进而求出的通项公式;但是有些题目虽然要求的通项公式,但是并不便于运用,这时可以考虑先消去,得到关于的递推公式,求出后再求解.
    5、遇到形如的递推关系式,可利用累加法求的通项公式,遇到形如的递推关系式,可利用累乘法求的通项公式,注意在使用上述方法求通项公式时,要对第一项是否满足进行检验.
    6、遇到下列递推关系式,我们通过构造新数列,将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列,从而求解该数列的通项公式:
    (1)形如(,),可变形为,则是以为首项,以为公比的等比数列,由此可以求出;
    (2)形如(,),此类问题可两边同时除以,得,设,从而变成,从而将问题转化为第(1)个问题;
    (3)形如,可以考虑两边同时除以,转化为的形式,设,则有,从而将问题转化为第(1)个问题.
    7、公式法是数列求和的最基本的方法,也是数列求和的基础.其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和.利用等比数列求和公式,当公比是用字母表示时,应对其是否为进行讨论.
    8、用裂项相消法求和时,要对通项进行变换,如:,,裂项后产生可以连续相互抵消的项.抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,但是前后所剩项数一定相同.
    常见的裂项公式:
    (1);
    (2);
    (3);
    (4);
    (5).
    9、用错位相减法求和时的注意点:
    (1)要善于通过通项公式特征识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;
    (2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式;
    (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
    10、分组转化法求和的常见类型:
    (1)若,且,为等差或等比数列,可采用分组求和法求的前项和;
    (2)通项公式为,其中数列,是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和;
    (3)要善于识别一些变形和推广的分组求和问题.
    11、在等差数列中,若(,,,,),则.
    在等比数列中,若(,,,,),则.
    12、前项和与积的性质
    (1)设等差数列的公差为,前项和为.
    = 1 \* GB3 ①,,,…也成等差数列,公差为.
    = 2 \* GB3 ②也是等差数列,且,公差为.
    = 3 \* GB3 ③若项数为偶数,则,.
    若项数为奇数,则,.
    (2)设等比数列的公比为,前项和为
    = 1 \* GB3 ①当时,,,,…也成等比数列,公比为
    = 2 \* GB3 ②相邻项积,,,…也成等比数列,公比为.
    = 3 \* GB3 ③若项数为偶数,则,;项数为奇数时,没有较好性质.
    13、衍生数列
    (1)设数列和均是等差数列,且等差数列的公差为,,为常数.
    = 1 \* GB3 ①的等距子数列也是等差数列,公差为.
    = 2 \* GB3 ②数列,也是等差数列,而是等比数列.
    (2)设数列和均是等比数列,且等比数列的公比为,为常数.
    = 1 \* GB3 ①的等距子数列也是等比数列,公比为.
    = 2 \* GB3 ②数列,,,,,
    也是等比数列,而是等差数列.
    14、判断数列单调性的方法
    (1)比较法(作差或作商);(2)函数化(要注意扩展定义域).
    15、求数列最值的方法(以最大值项为例,最小值项同理)
    方法:利用数列的单调性;
    方法2:设最大值项为,解方程组,再与首项比较大小.
    【核心考点】
    核心考点一:等差、等比数列的基本量问题
    【规律方法】
    利用等差数列中的基本量(首项,公差,项数),等比数列的基本量(首项,公比,项数)翻译条件,将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解.
    【典型例题】
    例1.(2022·全国·模拟预测)已知等差数列的前项和为,且,,则( )
    A.4B.3C.2D.1
    例2.(2022·江西·临川一中高三阶段练习(文))已知数列满足,,则=( )
    A.80B.100C.120D.143
    例3.(2022·新疆·高三期中(理))已知一个项数为偶数的等比数列,所有项之和为所有奇数项之和的3倍,前4项之积为64,则( )
    A.1B.C.2D.1或
    例4.(2022·全国·高三阶段练习(文))已知公差不为零的等差数列中,,且,,成等比数列,则数列的前9项的和为( )
    A.1B.2C.81D.80
    例5.(2022·重庆八中高三阶段练习)已知数列满足,则( )
    A.B.C.D.
    例6.(2022·湖北·高三阶段练习)在公差不为零的等差数列中,,且,,成等比数列,设数列的前项和为,则( )
    A.B.C.D.
    例7.(2022·江苏无锡·高三期中)已知两个等差数列2,6,10,…,198及2,8,14,…,200,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为( )
    A.1460B.1472
    C.1666D.1678
    核心考点二:证明等差等比数列
    【规律方法】
    判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下.
    (1)定义法:对于的任意正整数:
    ①若为一常数,则为等差数列;
    ②若为常数,则为等比数列.
    (2)通项公式法:
    ①若,则为等差数列;
    (2)若,则为等比数列.
    (3)中项公式法:
    ①若,则为等差数列;
    ②若,则为等比数列.
    (4)前项和法:若的前项和满足:
    ①,则为等差数列.
    ②,则为等比数列.
    【典型例题】
    例8.(2022·吉林长春·模拟预测)已知数列满足:,.
    (1)证明:数列是等差数列;
    (2)设,求数列的前n项和.
    例9.(2022·河南·高三期中(理))已知数列的前项和为,,.
    (1)证明:数列为等差数列;
    (2)求数列的前项和.
    例10.(2022·全国·高三专题练习)在数列中,,.
    (1)求,;
    (2)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
    例11.(2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测(理))现有甲、乙、丙三个人相互传接球,第一次从甲开始传球,甲随机地把球传给乙、丙中的一人,接球后视为完成第一次传接球;接球者进行第二次传球,随机地传给另外两人中的一人,接球后视为完成第二次传接球;依次类推,假设传接球无失误.
    (1)设乙接到球的次数为,通过三次传球,求的分布列与期望;
    (2)设第次传球后,甲接到球的概率为,
    (i)试证明数列为等比数列;
    (ii)解释随着传球次数的增多,甲接到球的概率趋近于一个常数.
    例12.(2022·湖南·宁乡一中高三期中)已知数列满足:,.
    (1)求,;
    (2)设,,证明数列是等比数列,并求其通项公式;
    (3)求数列前10项中所有奇数项的和.
    例13.(2022·河南·高三期中(理))已知数列的各项均不为0,其前项的乘积.
    (1)若为常数列,求这个常数;
    (2)若,设,求数列的通项公式.
    例14.(2022·全国·高三专题练习)已知数列满足,.求数列的通项公式;
    例15.(2022·全国·高三专题练习)问题:已知,数列的前n项和为,是否存在数列,满足,__________﹖若存在.求通项公式﹔若不存在,说明理由.
    在①﹔②;③这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    核心考点三:等差等比数列的交汇问题
    【规律方法】
    在解决等差、等比数列综合问题时,要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系,在求解过程中要树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,并适时地采用“巧用性质,整体考虑”的方法.可以达到减少运算量的目的.
    【典型例题】
    例16.(2022·河南·一模(理))已知等比数列的前项和为,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)在和之间插入个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,在数列中是否存在项(其中是公差不为的等差数列)成等比数列?若存在,求出这项;若不存在,请说明理由.
    例17.(2022·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)判断数列中是否存在成等差数列的三项,并证明你的结论.
    例18.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)已知在正项等比数列中成等差数列,则__________.
    例19.(2022·湖北·高三期中)已知是等差数列,是等比数列,是数列的前n项和,,,则=______.
    例20.(2022·河南省淮阳中学模拟预测(理))已知等差数列的前项利为,若,,1成等比数列,且,则的公差的取值范围为______.
    例21.(2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习)已知等差数列的公差不为零,等比数列的公比是小于1的正有理数.若,,且是正整数,则的值可以是______.
    例22.(2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中(理))对于集合A,,定义集合. 己知等差数列和正项等比数列满足,,,.设数列和中的所有项分别构成集合A,,将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列,则数列的前30项和_________.
    例23.(2022·全国·模拟预测(文))设数列,满足,,则它们的公共项由小到大排列后组成新数列.在和中插入个数构成一个新数列:,1,,3,5,,7,9,11,,…,插入的所有数构成首项为1,公差为2的等差数列,则数列的前20项和______.
    核心考点四:数列的通项公式
    【规律方法】
    常见求解数列通项公式的方法有如下六种:
    (1)观察法:根据所给的一列数、式、图形等,通过观察法猜想其通项公式.
    (2)累加法:形如的解析式.
    (3)累乘法:形如
    (4)公式法
    (5)取倒数法:形如的关系式
    (6)构造辅助数列法:通过变换递推关系,将非等差(比)数列构造为等差(比)数列来求通项公式.
    【典型例题】
    例24.(2022·上海市南洋模范中学高三期中)在数列中.,是其前n项和,当时,恒有、、成等比数列,则___________
    例25.(2022·黑龙江·肇州县第二中学高三阶段练习)已知数列的前项和为,,,则数列_____________.
    例26.(2022·福建·高三阶段练习)设等差数列的前项和为,若,则______.
    例27.(2022·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,则数列的通项公式为______.
    例28.(2022·全国·高三专题练习)已知在数列中,,,则__________.
    例29.(2022·全国·高三专题练习)已知在数列中,,,则______.
    例30.(2022·全国·高三专题练习)设是首项为1的正项数列且,且,求数列的通项公式_________
    例31.(2022·全国·高三专题练习)已知数列的前项和为,且,(),则___________
    例32.(2022·全国·高三专题练习)数列满足:,,则的通项公式为_____________.
    例33.(2022·全国·高三专题练习)甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数,原掷骰子的人再继续掷;若掷出的点数之和不是3的倍数,就由对方接着掷.第一次由甲开始掷,则第n次由甲掷的概率______(用含n的式子表示).
    核心考点五:数列求和
    【规律方法】
    求数列前项和的常见方法有以下四种.
    (1)公式法:利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和.
    (2)裂项相消法:将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式,进行消项.其方法核心有两点:一是裂项,将一个式子分裂成两个式子差的形式;二是要能相消.常见的裂项相消变换有以下形式.
    ①分式裂项:;
    ②根式裂项:;
    ③对数式裂项;
    ④指数式裂项
    (3)错位相减法
    (4)分组转化法
    【典型例题】
    例34.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,数列的前n项和为,点均在函数的图象上,函数.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求的值;
    (3)令,求数列的前2020项和.
    例35.(2022·陕西渭南·一模(理))已知各项均为正数的数列的前项和为,且,.各项均为正数的等比数列满足,.
    (1)求数列和的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    例36.(2022·陕西渭南·一模(文))已知等差数列的前项和为,不等式的解集为.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    例37.(2022·全国·模拟预测)在数列中,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)令,求数列的前项和.
    例38.(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中)已知数列的各项均为正数的等比数列,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求数列的前n项和.
    例39.(2022·四川省蓬溪县蓬南中学高三阶段练习)给定数列,若满足,对于任意的,都有,则称为“指数型数列”.若数列满足:;
    (1)判断是否为“指数型数列”,若是给出证明,若不是说明理由;
    (2)若,求数列的前项和.
    例40.(2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测(文))数列满足,(为正常数),且,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    例41.(2022·全国·高三专题练习)为等差数列的前项和,且,记,其中表示不超过的最大整数,如.
    (1)求;
    (2)求数列的前2022项和.
    例42.(2022·云南·昆明一中高三阶段练习)已知数列满足.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    核心考点六:数列性质的综合问题
    【典型例题】
    例43.(2022·全国·模拟预测)已知数列满足,且,则的最小值是( )
    A.-15B.-14C.-11D.-6
    例44.(2022·福建三明·高三期中)设等比数列的公比为,其前项和为,前项积为,并满足条件,,则下列结论正确的是( )
    A.B.是数列中的最大值
    C.D.数列无最大值
    例45.(2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测(文))数列的前项和,则数列中的最大项为( )
    A.B.C.D.
    例46.(2022·全国·安阳市第二中学模拟预测(文))已知数列的前n项和为,且,若恒成立,则实数的最大值为( )
    A.B.1C.D.
    例47.(2022·山西运城·高三期中)已知数列满足,若,数列的前项和为,且对于任意的都有,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例48.(2022·山东聊城·高三期中)若函数使得数列,为递增数列,则称函数为“数列保增函数”.已知函数为“数列保增函数”,则a的取值范围为( ).
    A.B.
    C.D.
    例49.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知等比数列的前5项积为32,,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    例50.(2022·北京八中高三阶段练习)已知数列是递增数列,且,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例51.(2022·江西·高三阶段练习(理))已知数列,的前项和分别为,,,,当时,,若对于任意,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    核心考点六:实际应用中的数列问题
    【规律方法】
    解数列应用题的一般步骤
    (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.
    (2)根据题意数列问题模型.
    (3)应用数列知识求解.
    (4)将数列问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
    【典型例题】
    例52.(2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习)某单位用分期付款方式为职工购买40套住房,总房价1150万元.约定:2021年7月1日先付款150万元,以后每月1日都交付50万元,并加付此前欠款利息,月利率,当付清全部房款时,各次付款的总和为( )
    A.1205万元B.1255万元C.1305万元D.1360万元
    例53.(2022·全国·高三专题练习)在“全面脱贫”行动中,贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元,用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货,因产品质优价廉,上市后供不应求,据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%,每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货,如此继续.设第n月月底小王手中有现款为,则下列结论正确的是( )(参考数据:,)


    ③2020年小王的年利润约为40000元
    ④两年后,小王手中现款约达41万
    A.②③④B.②④C.①②④D.②③
    例54.(2022·全国·高三专题练习)为了更好地解决就业问题,国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召,有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元,用于进货.因质优价廉,供不应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底扣除生活费1000元,余款作为资金全部用于下月再进货,如此继续,预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为( )(取,)
    A.32500元B.40000元C.42500元D.50000元
    例55.(2022·云南昭通·高三阶段练习(文))某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列,已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元,并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )
    A.2806万元B.2906万元C.3106万元D.3206万元
    例56.(2022·全国·高三专题练习)在流行病学中,基本传染数是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于,而且死亡率较高的传染病,一般要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数,平均感染周期为7天(初始感染者传染个人为第一轮传染,经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……)那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为(参考数据:,)( )
    A.35B.42C.49D.56
    核心考点七:以数列为载体的情境题
    【规律方法】
    1、应用数列知识解决此类问题,关键是列出相关信息,合理建立数学模型——等差、等比数列模型.
    2、需要读懂题目所表达的具体含义,观察给定数列的特征,进而判断出该数列的通项与求和公式.
    3、求解时要明确目标,认清是求和、求通项、还是解递推关系问题,然后通过数学推理与计算得出结果,并回归实际问题中,进行检验,最终得出结论.
    【典型例题】
    例57.(2022·上海市行知中学高三期中)定义:对于各项均为整数的数列,如果(=1,2,3,…)为完全平方数,则称数列具有“性质”;不论数列是否具有“性质”,如果存在数列与不是同一数列,且满足下面两个条件:
    (1)是的一个排列;
    (2)数列具有“性质”,则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列:
    ①数列的前项和;
    ②数列:1,2,3,4,5;
    ③数列:1,2,3,4,5,6.
    具有“性质”的为________;具有“变换性质”的为_________.
    例58.(2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习)在数列的每相邻两项之间插入这两项的和,组成一个新的数列,这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1,2进行拓展,第一次拓展得到;第二次拓展得到数列;第次拓展得到数列.设,其中___________,___________.
    例59.(2022·河北唐山·三模)角谷猜想又称冰雹猜想,是指任取一个正整数,如果它是奇数,就将它乘以3再加1;如果它是偶数,则将它除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈.如取正整数,根据上述运算法则得出,共需要经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”),已知数列满足:(m为正整数),①若,则使得至少需要_______步雹程;②若;则m所有可能取值的和为_______.
    例60.(2022·全国·华中师大一附中模拟预测)已知数列为1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此规律类推.若其前n项和,则称k为的一个理想数.将的理想数从小到大依次排成一列,则第二个理想数是______;当的项数时,其所有理想数的和为______.
    例61.(2022·吉林吉林·模拟预测(文))如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“数列”.已知数列满足:,,则数列的通项公式___________;若,,且数列是“数列”,则t的取值范围是___________.
    例62.(2022·全国·模拟预测)将一条线段三等分后,以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Kch曲线“”,将1级Kch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Kch曲线,同理可得3级Kch曲线(如图1),…,Kch曲线是几何中最简单的分形.若一个图形由N个与它的上一级图形相似,相似比为r的部分组成,称为该图形分形维数,则Kch曲线的分形维数是________.(精确到0.01,)在第24届北京冬奥会开幕式上,一朵朵六角雪花(如图2)飘拂在国家体育场上空,畅想着“一起向未来”的美好愿景.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Kch曲线组成,再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Kch曲线得到2级十八角雪花曲线(如图3),…,依次得到n级Kn()角雪花曲线.若正三角形边长为1,则n级Kn角雪花曲线的周长________.
    【新题速递】
    一、单选题
    1.(2022·全国·模拟预测)已知数列的前n项和为,,,,数列的前n项和为,则( )
    A.0B.50C.100D.2525
    2.(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中)一百零八塔,位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的实心塔群,共分十二阶梯式平台,自上而下一共12层,每层的塔数均不少于上一层的塔数,总计108座.已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列,剩下两层的塔数之和为8,则第11层的塔数为( )
    A.17B.18C.19D.20
    3.(2022·江苏·常熟市中学高三阶段练习)等差数列各项均为正数,首项与公差相等,,则的值为( )
    A.9069B.9079C.9089D.9099
    4.(2022·浙江·绍兴市越州中学高三阶段练习)记表示不超过实数的最大整数,如,,,设,则( ).
    A.B.C.D.
    5.(2022·上海市洋泾中学高三阶段练习)设等比数列,首项,实系数一元二次方程的两根为.若存在唯一的,使得,则公比的取值可能为( ).
    A.B.C.D.
    6.(2022·全国·高三阶段练习)已知等差数列,的前n项和分别为,,且,则( )
    A.B.C.D.
    7.(2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测(文))数列满足,则满足的的最小值为( )
    A.16B.15C.14D.13
    8.(2022·福建省福州第十一中学高三期中)已知定义在上的函数满足,当时,,设在上的最大值为(),且的前项和为,则( )
    A.B.C.D.
    二、多选题
    9.(2022·江苏盐城·模拟预测)设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,,下列结论正确的是( )
    A.
    B.
    C.是数列中的最大值
    D.若,则n最大为4038.
    10.(2022·江苏南京·模拟预测)已知数列满足,,则( )
    A.B.
    C.D.
    11.(2022·山西临汾·高三阶段练习)已知数列的前项和为,则( )
    A.若,则是等差数列
    B.若,则是等比数列
    C.若是等差数列,则
    D.若是等比数列,且,,则
    12.(2022·山东·微山县第二中学高三期中)设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,且满足条件,,,则下列选项正确的是( )
    A.为递减数列B.
    C.是数列中的最大项D.
    三、填空题
    13.(2022·全国·模拟预测)已知正实数b是实数a和实数c的等差中项,且,若,,成等比数列,则______.
    14.(2022·全国·模拟预测)若定义在上的函数满足,且恰有()个根(,2,…,),,则数列的前项和___________.
    15.(2022·全国·模拟预测)已知等比数列的通项公式为,,记的前n项和为,前n项积为,则使不等式成立的n的最大值为___________.
    16.(2022·河北·高三期中)定义n个正数的“均倒数”为,若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为,则的值为______
    四、解答题
    17.(2022·全国·模拟预测)已知等比数列的首项,公比为q,是公差为的等差数列,,,是与的等比中项.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设的前n项和为,数列满足,求数列的前n项和.
    18.(2022·全国·模拟预测)已知数列的各项均不为零,,前n项和满足.
    (1)求证:数列是等差数列;
    (2)记,求数列的前n项和.
    19.(2022·全国·模拟预测)已知数列满足,且,.
    (1)求证:数列是等差数列;
    (2)若数列满足,求的前n项和.
    20.(2022·全国·模拟预测)在①,②,③数列为等比数列这三个条件中选出两个,补充在下面的横线上,并解答这个问题.
    问题:已知等比数列的前项和为,___________.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若的前项和为,且,求的值.
    注:如果选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
    21.(2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习)已知数列的前项和为.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)令,求数列的前项和.
    22.(2022·上海市洋泾中学高三阶段练习)已知各项均为正数的数列的前项和为,向量,向量,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若对任意正整数都有成立,求.
    23.(2022·江苏盐城·模拟预测)已知数列满足,(),且().
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若(),求数列的前n项和.
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