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专题10 概率与统计的综合运用（精讲精练）-备战2024年高考数学二轮复习讲练测（新备战2024年高考专用）
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这是一份专题10 概率与统计的综合运用（精讲精练）-备战2024年高考数学二轮复习讲练测（新备战2024年高考专用），文件包含专题10概率与统计的综合运用精讲精练原卷版docx、专题10概率与统计的综合运用精讲精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共96页， 欢迎下载使用。
概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等．
回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．
【核心考点目录】
核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望
核心考点二：超几何分布与二项分布
核心考点三：概率与其它知识的交汇问题
核心考点四：期望与方差的实际应用
核心考点五：正态分布
核心考点六：统计图表
核心考点七：回归分析
核心考点八：独立性检验
核心考点九：与体育比赛规则有关的概率问题
核心考点十：决策型问题
核心考点十一：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
2．（2022·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【解析】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以
．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
3．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
【解析】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则.
A家公司长途客车准点的概率为；
B家公司长途客车准点的概率为.
（2）列联表
=，
根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
4．（2022·全国·统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得，解之得．
则该林区这种树木的总材积量估计为
5．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【解析】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
6．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
【解析】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
【方法技巧与总结】
（一）涉及的概率知识层面
主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，
1、离散型随机变量的期望与方差
一般地，若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的偏离程度，其算术平方根为随机变量的标准差．
（1）离散型随机变量的分布列的性质
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②．
（2）均值与方差的性质
若，其中为常数，则也是随机变量，
且
（3）分布列的求法
= 1 \* GB3 ①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
= 2 \* GB3 ②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率， 再求出分布列．
= 3 \* GB3 ③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
= 4 \* GB3 ④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型
= 1 \* GB3 ①二项分布； = 2 \* GB3 ②超儿何分布．
2、常见的连续型概率分布模型
正态分布．
（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力
1、与数列结合的实际问题
2、与函数导数结合的实际问题
3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题
4、与统计结合的实际问题
5、与其他背景结合的实际问题
【核心考点】
核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望
【规律方法】
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
【典型例题】
例1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛．比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）．已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0．5，0．6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0．5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0．5，假设每场比赛结果相互独立．
（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；
（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和的分布列及期望．
【解析】（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为，，
甲队比赛3场获胜的概率为=；
（2）X所以可能取得值为；
，
，
，
，
．
即
所以．
例2．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立．
（1）求甲教师第一次参加测试就合格的概率P；
（2）设甲教师参加测试的次数为m，乙教师参加测试的次数为n，求的分布列．
【解析】（1）由甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，
又甲教师第一次参加测试就合格的概率为P，
故而甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是、，
由题意知，，解得或（舍），
所以甲教师第一次参加测试就合格的概率为．
（2）由（1）知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是、，
由题意知，的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
例3．（2022春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满300元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中：红色小球1个，白色小球3个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的3个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球2个白球；B：3个白球；C：恰有1个黄球；D：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．
（1）写出顾客分别获一､二､三等奖时所对应的概率；
（2）已知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；
（3）若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为，求的分布列和期望．
【解析】（1）由题意可得：，
，
所以中一等奖的概率为，二等奖的概率为，三等奖的概率为
（2）记事件为顾客摸出的第一个球是白球，事件为顾客获得二等奖，
则．
（3）由（1）知一名顾客中奖的概率为．
由题意可得，，所以
则分布列为
核心考点二：超几何分布与二项分布
【规律方法】
超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．
一般地，在含有件产品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称为超几何分布列．
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．此时有．
【典型例题】
例4．（2022春·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：
（1）如果规定竞赛得分在为“良好”，竞赛得分在为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？
（2）在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；
（3）以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
【解析】（1）因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计，共人，抽样比为，
所以成绩为“良好”的抽取人，成绩为“优秀”的抽取人．
（2）抽取的6人中至少有3人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3个优3个良和4个优2个良，
故至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率．
（3）由题意知，的可能取值，，，．
由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为，竞赛得分不是“优秀”的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布，
；；；．
故的分布列为
数学期望．
例5．（2022·浙江·模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．
（1）如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；
（2）某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中．
（ⅰ）求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望；
（ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为（元），求．
【解析】（1）记事件A：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右．
所以．
（2）（i）记随机变量M：小球掉入号球槽，则M的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7．
由题意可得；；；；
所以M的分布列为：
因为，所以X的可能取值为：0，40，80，120．
其中，，，．
所以一次抽奖的奖金（元）的分布列为：
所以数学期望为．
（ii）某顾客在商场消费2000元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为．
因为，所以．
例6．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应．为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图．
（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户．若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；
（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值．
【解析】（1）随机变量所有可能的取值为0，1，2．则
，，，
所以．
（2）根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为
（）
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为．
若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，则，
若k户的可能性最大，则，
，得，
即，解得，由于，故．
核心考点三：概率与其它知识的交汇问题
【规律方法】
在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类：
1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解．
2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和．
【典型例题】
例7．（2022春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或6时得2分，掷得的点数为2，3，4，5时得1分；独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分；
（1）设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布与期望；
（2）设最终得分为n的概率为，证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
【解析】（1）的可能取值为2，3，4，
，
，
，
∴ 的分布列为
数学期望．
（2）由题意知，
，
，，
，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
∴ 当时，
，
当时，上式也成立，
综上：．
例8．（2022春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）如图，一只蚂蚁从单位正方体的顶点出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点的概率．
（I）分别写出的值；
（II）设顶点出发经过步到达点的概率为，求的值；
（III）求．
【解析】（1）．
（2）由于顶点出发经过步到达点的概率为，
则由出发经过步到达点 的概率也是，并且由出发经过步不可能到这四个点，
所以当为奇数时，所以；
当为偶数时，．
（3）同理，由分别经步到点的概率都是，由出发经过再回到
的路径分为以下四类：
①由经历步到，再经步回到，概率为；
②由经历步到，再经步回到，概率为；
③由经历步到，再经步回到，概率为；
④由经历步到，再经步回到，概率为；
所以，
又，
所以，
即，
所以，
故．
综上所述，．
例9．（2022春·山东·高三校联考阶段练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．
（1）设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；
（2）若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值．
【解析】（1）剂型合格的概率为：；
剂型合格的概率为：．
由题意知X的所有可能取值为0，1，2．
则，
，
，
则X的分布列为
数学期望．
（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为，
检测4人确定“感染高危户”的概率为，
则．
令，因为，所以，
原函数可化为．
因为，
当且仅当，即时，等号成立．
此时，所以．
核心考点四：期望与方差的实际应用
【规律方法】
数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度．现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案．
（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量的期望，当时，不应认为它们一定一样好，还需要用来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．
（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．
（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．
【典型例题】
例10．（2022春·河南·高三期末）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将k份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为次，若每份样本没有病毒的概率为，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．
（1）若取得8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为，求的最大值点；
（2）若对取得的8份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围（精确到0．01）．
【解析】（1）根据题意可知，每份样本检测结果为阴性的概率为，则阳性概率为；
则8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率
即，所以，
因为，所以
当，即时，，所以在上单调递增；
当，即时，，所以在上单调递减；
所以在时取得最大值，
即的最大值点．
（2）若采用方案一，则需要检验的次数为8次，
即检验次数的期望值；
若采用方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，
则每组检测结果为阴性的概率为，则为阳性的概率为；
所以检验次数的所有可能取值为；
当两组检测结果全为阴性时，检验次数为2次，则；
当两组检测结果一组为阴性，另一组为阳性时，检测次数为6次，则；
当两组检测结果全为阳性时，检验次数为10次，则；
此时，方案二的检验次数的期望值；
若“方案二”比“方案一”更“优”，则，
即，得
即p的取值范围为
例11．（2022春·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的．切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设为离散型随机变量，则，其中为任意大于0的实数．切比雪夫不等式可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计．
（1）证明离散型切比雪夫不等式；
（2）应用以上结论，回答下面问题：已知正整数．在一次抽奖游戏中，有个不透明的箱子依次编号为，编号为的箱子中装有编号为的个大小､质地均相同的小球．主持人邀请位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为的箱子中抽取的小球号码为，并记．对任意的，是否总能保证（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论．
附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量满足，则有．
【答案】（1）证明见解析
（2）不能保证，证明见解析
【分析】通过方差的计算公式，结合变形即可证明．
结合所给公式，再变形式子来解出，再利用第（1）证明的离散型切比雪夫不等式即可得到矛盾．
（1）设的所有可能取值为取的概率为．
则 ，
（2）（2）由参考公式，．
，用到
而，故．
当时，，
因此，不能保证．
例12．（2022·全国·高三专题练习）一台机器设备由和两个要件组成，在设备运转过程中，发生故障的概率分别记作，假设和相互独立．设表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若．
（1）求出；
（2）依据随机变量的分布，求和；
（3）若表示需要维修的数目，表示需要维修的数目，写出和的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求和．
【解析】（1）因为，
所以，
，
．
（2）由（1）得的分布列为：
所以，
．
（3）由题意可得，且均服从两点分布，
所以，
，
所以，
因为相互独立，所以．
核心考点五：正态分布
【规律方法】
解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴标准差分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率．注意在标准正态分布下对称轴为．
【典型例题】
例13．（2022春·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这300名同学物理平均成绩与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）
（2）已知全年级同学的物理成绩服从正态分布，其中取（1）中的，经计算，=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间的概率（结果精确到0．1）；
（3）根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n名同学的物理成绩，若他们的成绩都在的概率不低于1%，求n的最大值（n为整数）．
附：，若，则，．
【解析】（1）．
，
则这300名同学物理平均成绩与第三四分位数的估计值分别为73，79
（2），
（3），即，
故的最大值为20．
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0．1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0．1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0．06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0．5636便是的值．
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0．7，则至少需要添加多少个座位？
【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，
则，
，
（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，
故可以认为随机变量X服从二项分布，
由（1）可得，，
可得，则，
则，
由标准正态分布性质可得，，
故，
故，
在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为；
②查表可得，，则，
即，
又，
故座位数至少要1016个，
，
故阅览室座位至少需要添加22个．
例15．（2022·全国·高三专题练习）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和实用的强大功能深得用户喜爱．为回馈市场并扩大用户量，该APP在2022年以竞价形式做出优惠活动，活动规则如下：①每月1到15日，大家可通过官网提交自己的报价（报价低于原价），但在报价时间截止之前无法得知其他人的报价和当月参与活动的总人数；②当月竞价时间截止后的第二天，系统将根据当期优惠名额，按出价从高到低的顺序给相应人员分配优惠名额，获得优惠名额的人的最低出价即为该APP在当月的下载优惠价，出价不低于优惠价的人将获得数额为原价减去优惠价的优惠券，并可在当月下载该APP时使用．小明拟参加2022年7月份的优惠活动，为了预测最低成交价，他根据网站的公告统计了今年2到6月参与活动的人数，如下表所示：
（1）若可用线性回归模型拟合参与活动的人数y（单位：万人）与时间t（单位：月）之间的关系，请用最小二乘法求y关于t的回归方程，并预测今年7月参与活动的人数；
（2）某自媒体对200位拟参加今年7月份活动的人进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：
①求这200人的报价X（单位：元）的平均值和方差（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；
②假设所有参与活动的人的报价X（单位：元）可视为服从正态分布，且与可分别由①中所求的样本平均数及估计，若2022年7月计划发放优惠名额数量为3173，请你合理预测该APP在当月的下载优惠价，并说明理由．
参考公式及数据：①回归方程，，；②，，；③若随机变量X服从正态分布，则，，．
【解析】（1）由题意可得，
，
又因为，，
所以，
，
所以回归直线方程为：，
当时，可得（万人），
故预计今年7月参与活动的人数为万人；
（2）①依题意可得这200人的报价（单位：元）的平均值，
方差
；
②由①可知，依题意发放的优惠名额为张，预测参加的人数为人，
所以能够得到优惠名额的概率，设下载优惠价为，则
又，，因为，
所以，
则，
所以预测该APP在当月的下载优惠价为元．
核心考点六：统计图表
【规律方法】
1、制作频率分布直方图的步骤．
第一步：求极差，决定组数和组距，组距
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；
第四步：画频率分布直方图．
2、解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．
（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；
（2）直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距
（3）直方图中每组样本的频数为频率总体个数．
3、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．
（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；
（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．
【典型例题】
例16．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1．
（1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
（2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望．
【解析】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为，
所以数学成绩落在区间内的频率为，
因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，
所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，
数学成绩落在区间[70，100）的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为．
（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，
由题意可知，，的所有可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
所以数学期望．
例17．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间内的人数为400．
（1）求出直方图中a，b，c的值；
（2）估计中位数（精确到0．1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间内的学生人数为X，求X的数学期望．
【解析】（1）依题意可得：，
又a，b，c成等差数列，所以且，
解得：
所以．
（2）因为，设中位数为，
则，所以，
解得：，即中位数约为，
平均数为．
（3）由题意可知：得分在区间内概率为，
根据条件可知：的所有可能值为，且，
所以．
例18．（2022·全国·高三专题练习）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足：．
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）．已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖．
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望．
【解析】（1）根据题意，X在内，按5为组距可分成5个小区间，
分别是，，，，，
因为，由，，所以．
每个小区间的频率值分别是
由，解得．
（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率．
由（1）知，学生B的分数属于区间，，，，的概率分别是：，，，，．
我们用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中
记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，
则
．
②学生A最终获得一等奖的概率是，
学生B最终获得一等奖的概率是，
，，
．
所以的分布列为：
．
核心考点七：回归分析
【规律方法】
线性回归分析的原理、方法和步骤：
（1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值．
（2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数．
（3）相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量．
（4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归．
【典型例题】
例19．（2022春·河南·高三信阳高中校联考期末）随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用．在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大．某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：
2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）
（1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；
（2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数．（结果取整数）
参考数据：，．参考公式：相关系数．线性回归方程的斜率，截距．
附：
【解析】（1）由条形统计图，得，
，
所以
，
．
所以．
因为相关系数，所以与具有很强的线性相关关系，且为正相关．
（2），
所以，
所以．
由题意知，2023年对应的年份代码，
当时，，
故预测2023年该公司的研发人数约为613人．
例20．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，（计算结果精确到0．01）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，假设该地每年平均温度达到以上的概率为．该地今后4年中至少有两年需要人工防治的概率．
附：回归方程．
【解析】（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数y关于温度x的回归方程类型．
对两边取自然对数，得，
令，则，
由数据得，
，，
所以，
，
所以z关于x的线性回归方程为，
则y关于x的回归方程为；
（2）若今后4年中有X年需要人工防治，且服从，
所以，今后4年中至少有两年需要人工防治的概率．
例21．（2022·全国·模拟预测）住房和城乡建设部等六部门发布通知提出，到2025年，农村生活垃圾无害化处理水平明显提升．我国生活垃圾主要有填埋、焚烧与堆肥三种处理方式，随着我国垃圾处理结构的不断优化调整，焚烧处理逐渐成为市场主流．根据国家统计局公布的数据，对2013—2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：
（1）由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x之间的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0．01）
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；
（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用所求的线性回归方程预测吗？请简要说明理由．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
参考数据：，，，，，，．
【解析】（1）由题意，，，
相关系数
，因为y与x的相关系数，接近于1，
所以y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x之间的关系；
（2）由题意，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
易知2022年对应的年份代码，
当时，，所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513；
（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能用所求线性回归方程预测，
理由如下（说出一点即可）：
①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；
②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；
③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式．
核心考点八：独立性检验
【规律方法】
解独立性检验应用问题的注意事项．
（1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题．
（2）在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆．
（3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错．
（4）对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他．
【典型例题】
例22．（2022·河南·模拟预测）为了检测产品质量，某企业从甲、乙两条生产线上分别抽取件产品作为样本，检测其质量指标值，质量指标值的范围为．根据该产品的质量标准，规定质量指标值在内的产品为“优等品”，否则为“非优等品”．抽样统计后得到的数据如下：
（1）填写下面的列联表，计算，并判断能否有的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关；
（2）由于样本中来自乙生产线“非优等品”的个数多于来自甲生产线的，为找出原因，该厂质量控制部门在抽出的“非优等品”中，按甲、乙生产线采用分层抽样的方法抽出件产品，然后再从中随机抽出件产品进行全面分析，求其中至少有件是乙生产线生产的产品的概率．
附：，．
【解析】（1）依题意可得列联表如下表所示：
所以，，
所以，没有的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关．
（2）由列联表可知，甲、乙生产的“非优等品”之比为，
按甲、乙生产线采用分层抽样的方法抽出件产品，则甲生产线应抽出件产品，分别记为、、，
乙生产线应抽出件产品，分别记为、、、，
从随机抽出件产品，所有的情况为：、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、、，共种，
其中，至少有件是乙生产线生产的产品所包含的情况有：、、、、、
、、、、、、、、、、、、，共种，
故所求概率为．
例23．（2022·重庆江北·校考一模）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
（1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求第次传球后球在甲手中的概率．
附：
【解析】（1），
故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，
则，
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，
设，则，
所以，解得：，
所以，其中，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，
故第次传球后球在甲手中的概率为．
例24．（2022春·四川成都·高三校考阶段练习）为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：
设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为：从服用药物的动物中任取2只，未患病数为，工作人员曾计算过
（1）求出列联表中数据，y，M，N的值：
（2）求与的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义：
（3）能够以99%的把握认为药物有效吗？
（参考公式，其中
【解析】（1），
，
，，，；
即，，，；
（2）取值为0、1、2，
，
∴
取值为0、1、2，
，，
∴
∴，即说明药物有效．
（3）∵，
∵4．76<6．635，∴不能够有99%的把握认为药物有效
核心考点九：与体育比赛规则有关的概率问题
【规律方法】
1、在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用．
2、与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ．
3、在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小．
4、有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布．
【典型例题】
例25．（2022春·湖北十堰·高三校联考阶段练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
（2）当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
【解析】（1）X可能取值为2，3．
；
．
故，
即，则当时，取得最大值．
（2）当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；
比分为2∶1或1∶2的概率均为．
，则或．
即获胜方两天均为2∶0获胜，不妨设A部胜，
概率为，同理B部胜，概率为，
故；
即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，
不妨设最终A部获胜，
当前两天的比分为2∶0和2∶1时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为，
当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为，
故最终A部获胜的概率为，
同理B部胜，概率为，
故．
所以．
例26．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；
（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；
②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值．（参考公式）
【解析】（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，
则
．
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，
则，
，
，
，
，．
故的分布列如下图所示：
②，，
，，
∴，．
例27．（2022·陕西西安·长安一中校考模拟预测）某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于次称为“优秀小组”．小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为．
（1）若，，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；
（2）若则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时的值．
【解析】（1）由题可知，所以可能的情况有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中1次；③小明投中2次，小亮投中2次．
故所求概率
（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为
因为，所以
因为，，，所以，，又
所以，令，以，则
当时，，他们小组在轮游戏中获“优秀小组”次数满足
由，则，所以理论上至少要进行轮游戏．此时，，
核心考点十：决策型问题
【规律方法】
求解决策型问题的求解流程为：
第一步：先确定函数关系式；
第二步：列出分布列，求出期望；
第三步：根据期望进行最后的决策．
【典型例题】
例28．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用10人一组做核酸检测（俗称混检），某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出这1例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染．拟采用两种方案检测：
方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止．
方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X．
（1）求X的数学期望；
（2）如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪一种？
【解析】（1）X可取1，2，…，8，9，
则，，2，…，8，
，
所以．
（2）把采用方案乙，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为Y，
则Y可取2，3，4，5．
，
，
，
，
则．
设每次检测的费用均为，
则方案甲的平均费用为，
方案乙的平均费用为，
因为，所以应选择方案乙．
例29．（2022春·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．己知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为，甲与丙比赛，甲赢的概率为，其中．
（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金13万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金4万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计万元，求的数学期望的取值范围．
【解析】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率：
，
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率：
，
所以当时，，
即，所以业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛．
（2）由题意的可能取值为16或8，
由（1）知业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛，
此时业余队获胜的概率，
专业队获胜的概率，
所以非平局的概率，
平局的概率，
所以，
因为，
所以．
例30．（2022春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中．
（1）若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围．
【解析】（1）设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙
大学恰好通过一门笔试科目”为事件，
根据题意可得，
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，
根据题意可知，，所以，，
，
，
．
则随机变量的分布列为：
，
若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有，
所以，又因为，所以，
所以，的取值范围是．
核心考点十一：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
【典型例题】
例31．（2022·全国·高三校联考阶段练习）2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩．为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次．用该样本的频率估计概率，则：
（1）甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
（2）现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级．教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）设“甲担任前锋”；“甲担任中锋”；“甲担任后卫”；“某场比赛中该球队获胜”；
则，，，，，，
由全概率公式可得：．
所以甲参加比赛时，该球队某场比赛获胜的概率是．
（2）设“5场中有场获胜”，“甲所在球队顺利晋级”，
；；，则，
，
同理可得，
，
则的分布列为：
例32．（2022·全国·高三专题练习）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．
（1）分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
（2）已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
（3）现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
【解析】（1）设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0．8-a，
由已知可得，解得a＝0．5．
所以需要从甲厂订购配件M的数量为100．5＝5万个；
从乙厂订购配件M的数量为＝3万个．
（2）由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0．5，0．3，0．2，
所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为
，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0．028．
（3）设A＝“该轿车使用了次品配件”，“配件M来自甲厂”，“配件M来自乙厂”，“配件M来自本厂”．由（2）可知 ．
该次品配件M来自甲厂的概率为： ，
该次品配件M来自乙厂的概率为： ，
该次品配件M来自本厂的概率为： ，
所以甲厂应承担的费用为元，
乙厂应承担的费用为元，
本厂应承担的费用为元．
例33．（2022·全国·高三专题练习）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．
（1）设为这78名密切接触者中被感染的人数，求的数学期望；
（2）核酸检测并不是准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为（即假阴性率为），特异度为（即假阳性率为）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．
【解析】（1）为这78名密切接触者中被感染的人数，
可取0，1，2，，78，，
所以．
（2）设事件为“核酸检测结果为阳性”，事件为“密切接触者被感染”，
由题意，，，所以
，
，
王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，他被感染的概率为．
【新题速递】
1．（2022·浙江·模拟预测）小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为0.7，从第二次射击开始，若前一次中靶，则该次射击中靶的概率为0.9，否则中靶概率为0.7.
(1)求小明射击3次恰有2次中靶的概率；
(2)①分别求小明第2次，第3次中靶的概率.
②求小明第n次中靶的概率.
【解析】（1）小明射击3次恰有2次中靶包括以下三种情况：
第一种：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率为；
第二种：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率为；
第三种：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率为;
所以，小明射击3次恰有2次中靶的概率为
（2）小明第2次中靶的概率由以下两种情况组成：
第一种：第一次中靶、第二次也中靶，其概率为；
第二种：第一次未中靶、第二次中靶，其概率为；
所以，小明第2次中靶的概率为.
因此，小明第2次未中靶的概率为
同理，第3次中靶的概率包括以下两种情况：
第一种：第二次中靶、第三次也中靶，其概率为；
第二种：第二次未中靶、第三次中靶，其概率为；
则小明第3次中靶的概率为
②设小明第n次中靶的概率为，则第次中靶的概率为，
第n次中靶的概率由以下两种情况组成：
第一种：第次中靶，第n次也中靶，其概率为；
第二种：第次未中靶，第n次中靶，其概率为；
第n次中靶的概率
即，即数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以，即
当时，符合该式；
所以，小明第n次中靶的概率为
2．（2022·浙江·模拟预测）某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．
(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；
(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．
【解析】（1）设小明在处投篮为事件，在处投篮分别为
已知小明同学恰好投中2次，分三种情况
中中不中；
中不中中；
不中中中；
其概率为：，解得：.
（2）由题意可得得分的可能取值分别为，，，，
；
；
；
；
.
综上所述可得的分布列为
3．（2022·浙江·模拟预测）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为，且相互独立．甲选手依次对所有n个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．
(1)当时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；
(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．
【解析】（1）当时，甲击中3个目标的概率为，
乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，
其概率为.
（2）设为甲累计获得的星数，则，设为乙累计获得的星数，
则，设击中了m个目标，其中，
则甲获得星数为m的概率为，
所以甲累计获得星数为;
记，
所以，
所以,
乙获得星数为的概率为，
当时，，
所以乙累计获得星数为，
记，则，
所以，
，
当时，，当时，，
当时，，当时，
所以当时，乙更可能获胜；当时，甲更可能获胜.
4．（2022春·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）某学校对男女学生是否喜欢名著阅读进行了调查，调查男女生人数均为，统计得到以下列联表，经过计算可得
附：.
(1)完成表格并求出值；
(2)①为弄清学生不喜欢名著阅读的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢名著阅读的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对名著阅读喜欢的人数为，求的数学期望.
【解析】（1）列联表如下表所示
，所以，又，所以.
（2）①采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢名著阅读的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4人，女生的人数为5人，
则从这9人中抽取3人进行面对面交流，全部抽到男生的概率为为
所以，至少抽到一名女生的概率；
②由题意知，所以.
5．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）某公司生产一种消毒液，为测试消杀效果，测试车间用该消毒液对8个染菌不锈钢载片进行测试：第一轮测试，逐一对着8个载片进行消杀检测，若检测出不超过1个载片没有消杀效果，则该消毒液合格，测试结束；否则，10分钟后对没有产生消杀效果的载片进行第二轮测试，如果第二轮被测试的载片都产生消杀效果，则消毒液合格，否则需要对该消毒成分进行改良．假设每个染菌载片是否产生消杀效果相互独立，每次消杀检测互不影响，且每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为．
(1)求经过第一轮测试该消毒液即合格的概率；
(2)每进行一次载片测试视为一次检测，设检测次数的数学期望为，求证：．
【解析】（1）由题意可得经过第一轮测试该消毒液即合格有两种情况：
8个载片均有效果，或7个载片均有效果.
所以经过第一轮测试该消毒液即合格的概率为：
.
（2）证明：第一轮测试，逐一对这8个载片进行消杀检测，
共检测8次，则，
因为每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为，
所以第一轮未产生效果的有个载片.
因此第二轮检测的次数为，
所以，即为最多次数.
所以.
6．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）设随机变量，若，且，则，其中，．某工厂对一批零件进行抽样检测，根据经验可知每个零件是次品的概率均为．
(1)若从这批零件中抽取2个进行检测，求其中次品数的分布列及数学期望；
(2)现对这批零件抽取100个进行检测，若其中次品数多于3个，则这批零件为不合格产品．估算这批零件为不合格产品的概率（精确到．
【解析】（1）根据题意可知，
则，
，
，
所以的分布列为：
的数学期望为．
（2）设为次品的数量，则，且，
所以，
根据题意可知，其中，
当时，这批零件为不合格产品，
则这批零件为不合格产品的概率为，
即，
综上，这批产品为不合格产品的概率约为．
7．（2022·广东广州·统考一模）世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.
(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.
【解析】（1）因为三个社区的居民人数之比为，
设三个社区的居民人数为，
所以社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
该居民每周运动总时间超过5小时的概率.
（2）因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，
所以，由（1）知，，
所以，
因为随机变量服从正态分布，且关于对称，
所以，
所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：
.
8．（2022·四川成都·成都七中校考一模）新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战.当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表.
(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【解析】（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，则70人没有获奖，
所以从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率为
.
（2）因为该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，所以，
所以，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为，所以随机变量，
所以（，1，2，3，4），
所以，，
，，
，
所以的分布列为
所以.
9．（2022·全国·模拟预测）在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t时刻甲、乙种群的数量分别为，（起始时刻为）．由数学家Ltka和Vlterra提出的模型是函数，满足方程，，其中a，b，c，d均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：①；②，其中m，n均为大于1的正数．根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设，．
①函数的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝．
注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
【解析】（1）由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快．而增长速度大致对应种群数量对时间的导数．
如选用模型①，，是关于时间的减函数，不符合折线图；
如选用模型②，，是关于时间的增函数，符合折线图．
所以应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势
（2）由题设知，．
（i），．
消去条件中的得，所以．
所以为常函数．
（ii）由（i），，．
由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分别为，．
①若，．
则当时，，此时可以近似认为甲种群灭绝；
②若，．
则当时，，此时可以近似认为乙种群灭绝；
③若，，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况．
综上所述，对所有的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝
10．（2022·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
【解析】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
；
（2）∵，
∴.
（3）由题可知，
遥控车移到第格有两种可能：
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，
∴，
∴时，，又∵，
∴当时，数列首项为，公比为的等比数列，
∴，
以上各式相加，得，
∴时，，
∴到达“胜利大本营”的概率，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0，
∴的期望，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元
11．（2022·全国·模拟预测）若某项赛事有16个队伍参加，分成4个小组，记为1，2，3，4组，每个小组有1个一档球队，记为A，1个二档球队，记为B，2个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜三档队伍的概率为，二档队伍胜三档队伍的概率为，一档队伍胜二档队伍的概率为，同档队伍之间比赛胜对方的概率为．比赛采取单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，第一轮一、二档球队都是对阵三档球队．
(1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率；
(2)已知A1进决赛的概率约为，B1进决赛的概率约为，求一档球队夺冠的概率．
【解析】（1）由对阵关系图可得，在一个小组中，一档球队A从小组胜出先要赢三档球队C，概率为，再赢B和D比赛的胜者，
若B胜，A胜出的概率为，
若D胜，A胜出的概率为，
所以一档球队从小组胜出的概率为．
二档球队B从小组胜出先要赢三档球队D，概率为，再赢A和C比赛的胜者，
若A胜，B胜出的概率为，
若C胜，B胜出的概率为，
所以二档球队从小组胜出的概率为．
三档球队C从小组胜出先要赢一档球队A，概率为，再赢B和D比赛的胜者，
若B胜，C胜出的概率为，
若D胜，C胜出的概率为，
所以三档球队C从小组胜出的概率为；
三档球队D从小组胜出先要赢二档球队B，概率为，再赢A和C比赛的胜者，
若A胜，D胜出的概率为，
若C胜，D胜出的概率为，
所以三档球队D从小组胜出的概率为．
所以三档球队从小组胜出的概率为．
（2）由题可得A1进决赛的概率为，所以A2进决赛的概率也为，（关键：由对阵关系图可知每个小组内的比赛安排都是一样的，所以同档球队进入决赛的概率也相同）
所以对阵关系图左边是一档球队进决赛的概率为，
同理对阵关系图左边是二档球队进决赛的概率为，
所以对阵关系图左边是三档球队进决赛的概率为，
对阵关系图右边的情况一样．
现仅考虑A1夺冠的情况，A1要先进决赛，概率为，再赢右边进决赛的球队，
若右边是一档球队进决赛，A1胜出的概率为，
若右边是二档球队进决赛，A1胜出的概率为，
若右边是三档球队进决赛，A1胜出的概率为，
所以A1夺冠的概率为．
易知A2，A3，A4夺冠的概率和A1一样，所以一档球队夺冠的概率为．
12．（2022·全国·模拟预测）教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程．消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走俏．这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具．一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示．
(1)从这7次统计数据中随机抽取2次，求这2次的销量之和超过21千件的概率．
(2)根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由．（结果保留两位小数）
附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，．
【解析】（1）从7次统计数据中任意选取2次有种选法，
其中满足条件的有，，，，，，共6种，
所以所求概率．
（2）由表格数据，得，
，
所以
，
，
，
所以相关系数．
因为相关系数，接近1，所以y与x具有线性相关关系，且正相关性很强．
因为，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为．
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
X
0
1
2
3
P
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
0
200
400
600
800
P
0．125
0．075
0．2625
0．425
0．1125
2
3
4
5
6
P
0
1
2
3
4
5
竞赛得分
频率
0．1
0．1
0．3
0．3
0．2
M
1
2
3
4
5
6
7
P
X
0
40
80
120
P
0
1
2
2
3
4
X
0
1
2
P
0
1
2
0．72
0．26
0．02
0．00
0．01
0．02
0．03
0．04
0．05
0．06
0．07
0．08
0．09
0．0
0．5000
0．5040
0．5080
0．5120
0．5160
0．5199
0．5239
0．5279
0．5319
0．5359
0．1
0．5398
0．5438
0．5478
0．5517
0．5557
0．5596
0．5636
0．5675
0．5714
0．5753
0．2
0．5793
0．5832
0．5871
0．5910
0．5948
0．5987
0．6026
0．6064
0．6103
0．6141
0．3
0．6179
0．6217
0．6255
0．6293
0．6331
0．6368
0．6404
0．6443
0．6480
0．6517
0．4
0．6554
0．6591
0．6628
0．6664
0．6700
0．6736
0．6772
0．6808，
0．6844
0．6879
0．5
0．6915
0．6950
0．6985
0．7019
0．7054
0．7088
0．7123
0．7157'
0．7190
0．7224
时间t（月）
2
3
4
5
6
参与活动的人数y（万人）
0．5
0．6
1
1．4
1．7
报价X（单位：元）
频数
20
60
60
30
20
10
0
1
2
3
0
1
2
P
相关性
弱
一般
强
平均温度
21
23
25
27
29
31
33
平均产卵数/个
7
11
21
24
66
115
325
1．9
2．4
3．0
3．2
4．2
4．7
5．8
参考数据
5215
17713
717
81．3
3．6
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y
166
188
220
249
286
331
389
463
质量指标值
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
优等品
非优等品
合计
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
合计
k
优等品
非优等品
合计
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
合计
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
0．010
0．005
0．001
6．635
7．879
10．828
患病
未患病
总计
没服用药
20
30
50
服用药
x
y
50
总计
M
N
100
P（K2≥k）
0．10
0．05
0．010
0．001
k
2．706
3．841
6．635
10．828
0
1
2
P
0
1
2
P
0
1
2
3
4
6
0
1
2
3
3
4
5
5
3
2
1
0
男生
女生
合计
喜欢
不喜欢
合计
男生
女生
合计
喜欢
不喜欢
合计
0
1
2
竞赛成绩
人数
6
12
18
34
16
8
6
0
1
2
3
4
P
时间
5月22~5月31日
6月1~6月10日
6月11~6月20日
6月21~6月30日
7月1~7月10日
7月11~7月20日
7月21~7月30日
时间代码x
1
2
3
4
5
6
7
销量y/千件
9.4
9.6
9.9
10.1
10.6
11.1
11.4
概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等．
回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．
【核心考点目录】
核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望
核心考点二：超几何分布与二项分布
核心考点三：概率与其它知识的交汇问题
核心考点四：期望与方差的实际应用
核心考点五：正态分布
核心考点六：统计图表
核心考点七：回归分析
核心考点八：独立性检验
核心考点九：与体育比赛规则有关的概率问题
核心考点十：决策型问题
核心考点十一：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
2．（2022·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【解析】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以
．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
3．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
【解析】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则.
A家公司长途客车准点的概率为；
B家公司长途客车准点的概率为.
（2）列联表
=，
根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
4．（2022·全国·统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得，解之得．
则该林区这种树木的总材积量估计为
5．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【解析】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
6．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
【解析】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
【方法技巧与总结】
（一）涉及的概率知识层面
主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，
1、离散型随机变量的期望与方差
一般地，若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的偏离程度，其算术平方根为随机变量的标准差．
（1）离散型随机变量的分布列的性质
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②．
（2）均值与方差的性质
若，其中为常数，则也是随机变量，
且
（3）分布列的求法
= 1 \* GB3 ①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
= 2 \* GB3 ②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率， 再求出分布列．
= 3 \* GB3 ③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
= 4 \* GB3 ④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型
= 1 \* GB3 ①二项分布； = 2 \* GB3 ②超儿何分布．
2、常见的连续型概率分布模型
正态分布．
（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力
1、与数列结合的实际问题
2、与函数导数结合的实际问题
3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题
4、与统计结合的实际问题
5、与其他背景结合的实际问题
【核心考点】
核心考点一：求概率及随机变量的分布列与期望
【规律方法】
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
【典型例题】
例1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛．比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）．已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0．5，0．6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0．5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0．5，假设每场比赛结果相互独立．
（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；
（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和的分布列及期望．
【解析】（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为，，
甲队比赛3场获胜的概率为=；
（2）X所以可能取得值为；
，
，
，
，
．
即
所以．
例2．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立．
（1）求甲教师第一次参加测试就合格的概率P；
（2）设甲教师参加测试的次数为m，乙教师参加测试的次数为n，求的分布列．
【解析】（1）由甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，
又甲教师第一次参加测试就合格的概率为P，
故而甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是、，
由题意知，，解得或（舍），
所以甲教师第一次参加测试就合格的概率为．
（2）由（1）知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是、，
由题意知，的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
例3．（2022春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满300元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中：红色小球1个，白色小球3个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的3个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球2个白球；B：3个白球；C：恰有1个黄球；D：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．
（1）写出顾客分别获一､二､三等奖时所对应的概率；
（2）已知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；
（3）若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为，求的分布列和期望．
【解析】（1）由题意可得：，
，
所以中一等奖的概率为，二等奖的概率为，三等奖的概率为
（2）记事件为顾客摸出的第一个球是白球，事件为顾客获得二等奖，
则．
（3）由（1）知一名顾客中奖的概率为．
由题意可得，，所以
则分布列为
核心考点二：超几何分布与二项分布
【规律方法】
超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．
一般地，在含有件产品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称为超几何分布列．
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．此时有．
【典型例题】
例4．（2022春·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：
（1）如果规定竞赛得分在为“良好”，竞赛得分在为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？
（2）在（1）条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率；
（3）以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
【解析】（1）因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计，共人，抽样比为，
所以成绩为“良好”的抽取人，成绩为“优秀”的抽取人．
（2）抽取的6人中至少有3人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3个优3个良和4个优2个良，
故至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率．
（3）由题意知，的可能取值，，，．
由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为，竞赛得分不是“优秀”的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布，
；；；．
故的分布列为
数学期望．
例5．（2022·浙江·模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．
（1）如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；
（2）某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中．
（ⅰ）求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望；
（ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为（元），求．
【解析】（1）记事件A：小球落入6号球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右．
所以．
（2）（i）记随机变量M：小球掉入号球槽，则M的可能取值为：1，2，3，4，5，6，7．
由题意可得；；；；
所以M的分布列为：
因为，所以X的可能取值为：0，40，80，120．
其中，，，．
所以一次抽奖的奖金（元）的分布列为：
所以数学期望为．
（ii）某顾客在商场消费2000元，可以抽奖2次，所以他所得的奖金为．
因为，所以．
例6．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应．为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图．
（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户．若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；
（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值．
【解析】（1）随机变量所有可能的取值为0，1，2．则
，，，
所以．
（2）根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为
（）
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为．
若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，则，
若k户的可能性最大，则，
，得，
即，解得，由于，故．
核心考点三：概率与其它知识的交汇问题
【规律方法】
在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类：
1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解．
2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和．
【典型例题】
例7．（2022春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或6时得2分，掷得的点数为2，3，4，5时得1分；独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分；
（1）设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布与期望；
（2）设最终得分为n的概率为，证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
【解析】（1）的可能取值为2，3，4，
，
，
，
∴ 的分布列为
数学期望．
（2）由题意知，
，
，，
，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
∴ 当时，
，
当时，上式也成立，
综上：．
例8．（2022春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）如图，一只蚂蚁从单位正方体的顶点出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点的概率．
（I）分别写出的值；
（II）设顶点出发经过步到达点的概率为，求的值；
（III）求．
【解析】（1）．
（2）由于顶点出发经过步到达点的概率为，
则由出发经过步到达点 的概率也是，并且由出发经过步不可能到这四个点，
所以当为奇数时，所以；
当为偶数时，．
（3）同理，由分别经步到点的概率都是，由出发经过再回到
的路径分为以下四类：
①由经历步到，再经步回到，概率为；
②由经历步到，再经步回到，概率为；
③由经历步到，再经步回到，概率为；
④由经历步到，再经步回到，概率为；
所以，
又，
所以，
即，
所以，
故．
综上所述，．
例9．（2022春·山东·高三校联考阶段练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．
（1）设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；
（2）若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值．
【解析】（1）剂型合格的概率为：；
剂型合格的概率为：．
由题意知X的所有可能取值为0，1，2．
则，
，
，
则X的分布列为
数学期望．
（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为，
检测4人确定“感染高危户”的概率为，
则．
令，因为，所以，
原函数可化为．
因为，
当且仅当，即时，等号成立．
此时，所以．
核心考点四：期望与方差的实际应用
【规律方法】
数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度．现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案．
（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量的期望，当时，不应认为它们一定一样好，还需要用来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．
（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．
（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．
【典型例题】
例10．（2022春·河南·高三期末）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将k份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为次，若每份样本没有病毒的概率为，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．
（1）若取得8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为，求的最大值点；
（2）若对取得的8份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围（精确到0．01）．
【解析】（1）根据题意可知，每份样本检测结果为阴性的概率为，则阳性概率为；
则8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率
即，所以，
因为，所以
当，即时，，所以在上单调递增；
当，即时，，所以在上单调递减；
所以在时取得最大值，
即的最大值点．
（2）若采用方案一，则需要检验的次数为8次，
即检验次数的期望值；
若采用方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，
则每组检测结果为阴性的概率为，则为阳性的概率为；
所以检验次数的所有可能取值为；
当两组检测结果全为阴性时，检验次数为2次，则；
当两组检测结果一组为阴性，另一组为阳性时，检测次数为6次，则；
当两组检测结果全为阳性时，检验次数为10次，则；
此时，方案二的检验次数的期望值；
若“方案二”比“方案一”更“优”，则，
即，得
即p的取值范围为
例11．（2022春·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的．切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设为离散型随机变量，则，其中为任意大于0的实数．切比雪夫不等式可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计．
（1）证明离散型切比雪夫不等式；
（2）应用以上结论，回答下面问题：已知正整数．在一次抽奖游戏中，有个不透明的箱子依次编号为，编号为的箱子中装有编号为的个大小､质地均相同的小球．主持人邀请位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为的箱子中抽取的小球号码为，并记．对任意的，是否总能保证（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论．
附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量满足，则有．
【答案】（1）证明见解析
（2）不能保证，证明见解析
【分析】通过方差的计算公式，结合变形即可证明．
结合所给公式，再变形式子来解出，再利用第（1）证明的离散型切比雪夫不等式即可得到矛盾．
（1）设的所有可能取值为取的概率为．
则 ，
（2）（2）由参考公式，．
，用到
而，故．
当时，，
因此，不能保证．
例12．（2022·全国·高三专题练习）一台机器设备由和两个要件组成，在设备运转过程中，发生故障的概率分别记作，假设和相互独立．设表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若．
（1）求出；
（2）依据随机变量的分布，求和；
（3）若表示需要维修的数目，表示需要维修的数目，写出和的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求和．
【解析】（1）因为，
所以，
，
．
（2）由（1）得的分布列为：
所以，
．
（3）由题意可得，且均服从两点分布，
所以，
，
所以，
因为相互独立，所以．
核心考点五：正态分布
【规律方法】
解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴标准差分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率．注意在标准正态分布下对称轴为．
【典型例题】
例13．（2022春·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这300名同学物理平均成绩与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）
（2）已知全年级同学的物理成绩服从正态分布，其中取（1）中的，经计算，=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间的概率（结果精确到0．1）；
（3）根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n名同学的物理成绩，若他们的成绩都在的概率不低于1%，求n的最大值（n为整数）．
附：，若，则，．
【解析】（1）．
，
则这300名同学物理平均成绩与第三四分位数的估计值分别为73，79
（2），
（3），即，
故的最大值为20．
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0．1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0．1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0．06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0．5636便是的值．
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0．7，则至少需要添加多少个座位？
【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，
则，
，
（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，
故可以认为随机变量X服从二项分布，
由（1）可得，，
可得，则，
则，
由标准正态分布性质可得，，
故，
故，
在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为；
②查表可得，，则，
即，
又，
故座位数至少要1016个，
，
故阅览室座位至少需要添加22个．
例15．（2022·全国·高三专题练习）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和实用的强大功能深得用户喜爱．为回馈市场并扩大用户量，该APP在2022年以竞价形式做出优惠活动，活动规则如下：①每月1到15日，大家可通过官网提交自己的报价（报价低于原价），但在报价时间截止之前无法得知其他人的报价和当月参与活动的总人数；②当月竞价时间截止后的第二天，系统将根据当期优惠名额，按出价从高到低的顺序给相应人员分配优惠名额，获得优惠名额的人的最低出价即为该APP在当月的下载优惠价，出价不低于优惠价的人将获得数额为原价减去优惠价的优惠券，并可在当月下载该APP时使用．小明拟参加2022年7月份的优惠活动，为了预测最低成交价，他根据网站的公告统计了今年2到6月参与活动的人数，如下表所示：
（1）若可用线性回归模型拟合参与活动的人数y（单位：万人）与时间t（单位：月）之间的关系，请用最小二乘法求y关于t的回归方程，并预测今年7月参与活动的人数；
（2）某自媒体对200位拟参加今年7月份活动的人进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：
①求这200人的报价X（单位：元）的平均值和方差（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；
②假设所有参与活动的人的报价X（单位：元）可视为服从正态分布，且与可分别由①中所求的样本平均数及估计，若2022年7月计划发放优惠名额数量为3173，请你合理预测该APP在当月的下载优惠价，并说明理由．
参考公式及数据：①回归方程，，；②，，；③若随机变量X服从正态分布，则，，．
【解析】（1）由题意可得，
，
又因为，，
所以，
，
所以回归直线方程为：，
当时，可得（万人），
故预计今年7月参与活动的人数为万人；
（2）①依题意可得这200人的报价（单位：元）的平均值，
方差
；
②由①可知，依题意发放的优惠名额为张，预测参加的人数为人，
所以能够得到优惠名额的概率，设下载优惠价为，则
又，，因为，
所以，
则，
所以预测该APP在当月的下载优惠价为元．
核心考点六：统计图表
【规律方法】
1、制作频率分布直方图的步骤．
第一步：求极差，决定组数和组距，组距
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；
第四步：画频率分布直方图．
2、解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．
（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；
（2）直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距
（3）直方图中每组样本的频数为频率总体个数．
3、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．
（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；
（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．
【典型例题】
例16．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1．
（1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
（2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望．
【解析】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为，
所以数学成绩落在区间内的频率为，
因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，
所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，
数学成绩落在区间[70，100）的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为．
（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，
由题意可知，，的所有可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
所以数学期望．
例17．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间内的人数为400．
（1）求出直方图中a，b，c的值；
（2）估计中位数（精确到0．1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间内的学生人数为X，求X的数学期望．
【解析】（1）依题意可得：，
又a，b，c成等差数列，所以且，
解得：
所以．
（2）因为，设中位数为，
则，所以，
解得：，即中位数约为，
平均数为．
（3）由题意可知：得分在区间内概率为，
根据条件可知：的所有可能值为，且，
所以．
例18．（2022·全国·高三专题练习）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足：．
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）．已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖．
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望．
【解析】（1）根据题意，X在内，按5为组距可分成5个小区间，
分别是，，，，，
因为，由，，所以．
每个小区间的频率值分别是
由，解得．
（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率．
由（1）知，学生B的分数属于区间，，，，的概率分别是：，，，，．
我们用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中
记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，
则
．
②学生A最终获得一等奖的概率是，
学生B最终获得一等奖的概率是，
，，
．
所以的分布列为：
．
核心考点七：回归分析
【规律方法】
线性回归分析的原理、方法和步骤：
（1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值．
（2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数．
（3）相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量．
（4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归．
【典型例题】
例19．（2022春·河南·高三信阳高中校联考期末）随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用．在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大．某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：
2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）
（1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；
（2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数．（结果取整数）
参考数据：，．参考公式：相关系数．线性回归方程的斜率，截距．
附：
【解析】（1）由条形统计图，得，
，
所以
，
．
所以．
因为相关系数，所以与具有很强的线性相关关系，且为正相关．
（2），
所以，
所以．
由题意知，2023年对应的年份代码，
当时，，
故预测2023年该公司的研发人数约为613人．
例20．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，（计算结果精确到0．01）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，假设该地每年平均温度达到以上的概率为．该地今后4年中至少有两年需要人工防治的概率．
附：回归方程．
【解析】（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数y关于温度x的回归方程类型．
对两边取自然对数，得，
令，则，
由数据得，
，，
所以，
，
所以z关于x的线性回归方程为，
则y关于x的回归方程为；
（2）若今后4年中有X年需要人工防治，且服从，
所以，今后4年中至少有两年需要人工防治的概率．
例21．（2022·全国·模拟预测）住房和城乡建设部等六部门发布通知提出，到2025年，农村生活垃圾无害化处理水平明显提升．我国生活垃圾主要有填埋、焚烧与堆肥三种处理方式，随着我国垃圾处理结构的不断优化调整，焚烧处理逐渐成为市场主流．根据国家统计局公布的数据，对2013—2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：
（1）由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x之间的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0．01）
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；
（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用所求的线性回归方程预测吗？请简要说明理由．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
参考数据：，，，，，，．
【解析】（1）由题意，，，
相关系数
，因为y与x的相关系数，接近于1，
所以y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x之间的关系；
（2）由题意，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
易知2022年对应的年份代码，
当时，，所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513；
（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能用所求线性回归方程预测，
理由如下（说出一点即可）：
①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；
②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；
③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式．
核心考点八：独立性检验
【规律方法】
解独立性检验应用问题的注意事项．
（1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题．
（2）在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆．
（3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错．
（4）对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他．
【典型例题】
例22．（2022·河南·模拟预测）为了检测产品质量，某企业从甲、乙两条生产线上分别抽取件产品作为样本，检测其质量指标值，质量指标值的范围为．根据该产品的质量标准，规定质量指标值在内的产品为“优等品”，否则为“非优等品”．抽样统计后得到的数据如下：
（1）填写下面的列联表，计算，并判断能否有的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关；
（2）由于样本中来自乙生产线“非优等品”的个数多于来自甲生产线的，为找出原因，该厂质量控制部门在抽出的“非优等品”中，按甲、乙生产线采用分层抽样的方法抽出件产品，然后再从中随机抽出件产品进行全面分析，求其中至少有件是乙生产线生产的产品的概率．
附：，．
【解析】（1）依题意可得列联表如下表所示：
所以，，
所以，没有的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关．
（2）由列联表可知，甲、乙生产的“非优等品”之比为，
按甲、乙生产线采用分层抽样的方法抽出件产品，则甲生产线应抽出件产品，分别记为、、，
乙生产线应抽出件产品，分别记为、、、，
从随机抽出件产品，所有的情况为：、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、、，共种，
其中，至少有件是乙生产线生产的产品所包含的情况有：、、、、、
、、、、、、、、、、、、，共种，
故所求概率为．
例23．（2022·重庆江北·校考一模）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
（1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
（3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求第次传球后球在甲手中的概率．
附：
【解析】（1），
故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，
则，
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，
设，则，
所以，解得：，
所以，其中，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，
故第次传球后球在甲手中的概率为．
例24．（2022春·四川成都·高三校考阶段练习）为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：
设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为：从服用药物的动物中任取2只，未患病数为，工作人员曾计算过
（1）求出列联表中数据，y，M，N的值：
（2）求与的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义：
（3）能够以99%的把握认为药物有效吗？
（参考公式，其中
【解析】（1），
，
，，，；
即，，，；
（2）取值为0、1、2，
，
∴
取值为0、1、2，
，，
∴
∴，即说明药物有效．
（3）∵，
∵4．76<6．635，∴不能够有99%的把握认为药物有效
核心考点九：与体育比赛规则有关的概率问题
【规律方法】
1、在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用．
2、与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ．
3、在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小．
4、有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布．
【典型例题】
例25．（2022春·湖北十堰·高三校联考阶段练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
（2）当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
【解析】（1）X可能取值为2，3．
；
．
故，
即，则当时，取得最大值．
（2）当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；
比分为2∶1或1∶2的概率均为．
，则或．
即获胜方两天均为2∶0获胜，不妨设A部胜，
概率为，同理B部胜，概率为，
故；
即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，
不妨设最终A部获胜，
当前两天的比分为2∶0和2∶1时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为，
当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为，
故最终A部获胜的概率为，
同理B部胜，概率为，
故．
所以．
例26．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分．已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响．各轮结果亦互不影响．
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；
（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；
②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值．（参考公式）
【解析】（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，
则
．
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，
则，
，
，
，
，．
故的分布列如下图所示：
②，，
，，
∴，．
例27．（2022·陕西西安·长安一中校考模拟预测）某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于次称为“优秀小组”．小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为．
（1）若，，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；
（2）若则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时的值．
【解析】（1）由题可知，所以可能的情况有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中1次；③小明投中2次，小亮投中2次．
故所求概率
（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为
因为，所以
因为，，，所以，，又
所以，令，以，则
当时，，他们小组在轮游戏中获“优秀小组”次数满足
由，则，所以理论上至少要进行轮游戏．此时，，
核心考点十：决策型问题
【规律方法】
求解决策型问题的求解流程为：
第一步：先确定函数关系式；
第二步：列出分布列，求出期望；
第三步：根据期望进行最后的决策．
【典型例题】
例28．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用10人一组做核酸检测（俗称混检），某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出这1例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染．拟采用两种方案检测：
方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止．
方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X．
（1）求X的数学期望；
（2）如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪一种？
【解析】（1）X可取1，2，…，8，9，
则，，2，…，8，
，
所以．
（2）把采用方案乙，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为Y，
则Y可取2，3，4，5．
，
，
，
，
则．
设每次检测的费用均为，
则方案甲的平均费用为，
方案乙的平均费用为，
因为，所以应选择方案乙．
例29．（2022春·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．己知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为，甲与丙比赛，甲赢的概率为，其中．
（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金13万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金4万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计万元，求的数学期望的取值范围．
【解析】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率：
，
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率：
，
所以当时，，
即，所以业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛．
（2）由题意的可能取值为16或8，
由（1）知业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛，
此时业余队获胜的概率，
专业队获胜的概率，
所以非平局的概率，
平局的概率，
所以，
因为，
所以．
例30．（2022春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中．
（1）若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围．
【解析】（1）设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙
大学恰好通过一门笔试科目”为事件，
根据题意可得，
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，
根据题意可知，，所以，，
，
，
．
则随机变量的分布列为：
，
若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有，
所以，又因为，所以，
所以，的取值范围是．
核心考点十一：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
【典型例题】
例31．（2022·全国·高三校联考阶段练习）2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩．为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次．用该样本的频率估计概率，则：
（1）甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
（2）现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级．教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）设“甲担任前锋”；“甲担任中锋”；“甲担任后卫”；“某场比赛中该球队获胜”；
则，，，，，，
由全概率公式可得：．
所以甲参加比赛时，该球队某场比赛获胜的概率是．
（2）设“5场中有场获胜”，“甲所在球队顺利晋级”，
；；，则，
，
同理可得，
，
则的分布列为：
例32．（2022·全国·高三专题练习）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．
（1）分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
（2）已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
（3）现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
【解析】（1）设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0．8-a，
由已知可得，解得a＝0．5．
所以需要从甲厂订购配件M的数量为100．5＝5万个；
从乙厂订购配件M的数量为＝3万个．
（2）由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0．5，0．3，0．2，
所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为
，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0．028．
（3）设A＝“该轿车使用了次品配件”，“配件M来自甲厂”，“配件M来自乙厂”，“配件M来自本厂”．由（2）可知 ．
该次品配件M来自甲厂的概率为： ，
该次品配件M来自乙厂的概率为： ，
该次品配件M来自本厂的概率为： ，
所以甲厂应承担的费用为元，
乙厂应承担的费用为元，
本厂应承担的费用为元．
例33．（2022·全国·高三专题练习）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．
（1）设为这78名密切接触者中被感染的人数，求的数学期望；
（2）核酸检测并不是准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为（即假阴性率为），特异度为（即假阳性率为）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．
【解析】（1）为这78名密切接触者中被感染的人数，
可取0，1，2，，78，，
所以．
（2）设事件为“核酸检测结果为阳性”，事件为“密切接触者被感染”，
由题意，，，所以
，
，
王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，他被感染的概率为．
【新题速递】
1．（2022·浙江·模拟预测）小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为0.7，从第二次射击开始，若前一次中靶，则该次射击中靶的概率为0.9，否则中靶概率为0.7.
(1)求小明射击3次恰有2次中靶的概率；
(2)①分别求小明第2次，第3次中靶的概率.
②求小明第n次中靶的概率.
【解析】（1）小明射击3次恰有2次中靶包括以下三种情况：
第一种：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率为；
第二种：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率为；
第三种：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率为;
所以，小明射击3次恰有2次中靶的概率为
（2）小明第2次中靶的概率由以下两种情况组成：
第一种：第一次中靶、第二次也中靶，其概率为；
第二种：第一次未中靶、第二次中靶，其概率为；
所以，小明第2次中靶的概率为.
因此，小明第2次未中靶的概率为
同理，第3次中靶的概率包括以下两种情况：
第一种：第二次中靶、第三次也中靶，其概率为；
第二种：第二次未中靶、第三次中靶，其概率为；
则小明第3次中靶的概率为
②设小明第n次中靶的概率为，则第次中靶的概率为，
第n次中靶的概率由以下两种情况组成：
第一种：第次中靶，第n次也中靶，其概率为；
第二种：第次未中靶，第n次中靶，其概率为；
第n次中靶的概率
即，即数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以，即
当时，符合该式；
所以，小明第n次中靶的概率为
2．（2022·浙江·模拟预测）某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．
(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；
(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．
【解析】（1）设小明在处投篮为事件，在处投篮分别为
已知小明同学恰好投中2次，分三种情况
中中不中；
中不中中；
不中中中；
其概率为：，解得：.
（2）由题意可得得分的可能取值分别为，，，，
；
；
；
；
.
综上所述可得的分布列为
3．（2022·浙江·模拟预测）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为，且相互独立．甲选手依次对所有n个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．
(1)当时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；
(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．
【解析】（1）当时，甲击中3个目标的概率为，
乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，
其概率为.
（2）设为甲累计获得的星数，则，设为乙累计获得的星数，
则，设击中了m个目标，其中，
则甲获得星数为m的概率为，
所以甲累计获得星数为;
记，
所以，
所以,
乙获得星数为的概率为，
当时，，
所以乙累计获得星数为，
记，则，
所以，
，
当时，，当时，，
当时，，当时，
所以当时，乙更可能获胜；当时，甲更可能获胜.
4．（2022春·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）某学校对男女学生是否喜欢名著阅读进行了调查，调查男女生人数均为，统计得到以下列联表，经过计算可得
附：.
(1)完成表格并求出值；
(2)①为弄清学生不喜欢名著阅读的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢名著阅读的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对名著阅读喜欢的人数为，求的数学期望.
【解析】（1）列联表如下表所示
，所以，又，所以.
（2）①采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢名著阅读的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4人，女生的人数为5人，
则从这9人中抽取3人进行面对面交流，全部抽到男生的概率为为
所以，至少抽到一名女生的概率；
②由题意知，所以.
5．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）某公司生产一种消毒液，为测试消杀效果，测试车间用该消毒液对8个染菌不锈钢载片进行测试：第一轮测试，逐一对着8个载片进行消杀检测，若检测出不超过1个载片没有消杀效果，则该消毒液合格，测试结束；否则，10分钟后对没有产生消杀效果的载片进行第二轮测试，如果第二轮被测试的载片都产生消杀效果，则消毒液合格，否则需要对该消毒成分进行改良．假设每个染菌载片是否产生消杀效果相互独立，每次消杀检测互不影响，且每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为．
(1)求经过第一轮测试该消毒液即合格的概率；
(2)每进行一次载片测试视为一次检测，设检测次数的数学期望为，求证：．
【解析】（1）由题意可得经过第一轮测试该消毒液即合格有两种情况：
8个载片均有效果，或7个载片均有效果.
所以经过第一轮测试该消毒液即合格的概率为：
.
（2）证明：第一轮测试，逐一对这8个载片进行消杀检测，
共检测8次，则，
因为每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为，
所以第一轮未产生效果的有个载片.
因此第二轮检测的次数为，
所以，即为最多次数.
所以.
6．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）设随机变量，若，且，则，其中，．某工厂对一批零件进行抽样检测，根据经验可知每个零件是次品的概率均为．
(1)若从这批零件中抽取2个进行检测，求其中次品数的分布列及数学期望；
(2)现对这批零件抽取100个进行检测，若其中次品数多于3个，则这批零件为不合格产品．估算这批零件为不合格产品的概率（精确到．
【解析】（1）根据题意可知，
则，
，
，
所以的分布列为：
的数学期望为．
（2）设为次品的数量，则，且，
所以，
根据题意可知，其中，
当时，这批零件为不合格产品，
则这批零件为不合格产品的概率为，
即，
综上，这批产品为不合格产品的概率约为．
7．（2022·广东广州·统考一模）世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.
(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.
【解析】（1）因为三个社区的居民人数之比为，
设三个社区的居民人数为，
所以社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
该居民每周运动总时间超过5小时的概率.
（2）因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，
所以，由（1）知，，
所以，
因为随机变量服从正态分布，且关于对称，
所以，
所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：
.
8．（2022·四川成都·成都七中校考一模）新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战.当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表.
(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【解析】（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，则70人没有获奖，
所以从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率为
.
（2）因为该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，所以，
所以，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为，所以随机变量，
所以（，1，2，3，4），
所以，，
，，
，
所以的分布列为
所以.
9．（2022·全国·模拟预测）在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t时刻甲、乙种群的数量分别为，（起始时刻为）．由数学家Ltka和Vlterra提出的模型是函数，满足方程，，其中a，b，c，d均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：①；②，其中m，n均为大于1的正数．根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设，．
①函数的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝．
注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
【解析】（1）由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快．而增长速度大致对应种群数量对时间的导数．
如选用模型①，，是关于时间的减函数，不符合折线图；
如选用模型②，，是关于时间的增函数，符合折线图．
所以应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势
（2）由题设知，．
（i），．
消去条件中的得，所以．
所以为常函数．
（ii）由（i），，．
由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分别为，．
①若，．
则当时，，此时可以近似认为甲种群灭绝；
②若，．
则当时，，此时可以近似认为乙种群灭绝；
③若，，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况．
综上所述，对所有的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝
10．（2022·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
【解析】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
；
（2）∵，
∴.
（3）由题可知，
遥控车移到第格有两种可能：
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，
∴，
∴时，，又∵，
∴当时，数列首项为，公比为的等比数列，
∴，
以上各式相加，得，
∴时，，
∴到达“胜利大本营”的概率，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0，
∴的期望，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元
11．（2022·全国·模拟预测）若某项赛事有16个队伍参加，分成4个小组，记为1，2，3，4组，每个小组有1个一档球队，记为A，1个二档球队，记为B，2个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜三档队伍的概率为，二档队伍胜三档队伍的概率为，一档队伍胜二档队伍的概率为，同档队伍之间比赛胜对方的概率为．比赛采取单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，第一轮一、二档球队都是对阵三档球队．
(1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率；
(2)已知A1进决赛的概率约为，B1进决赛的概率约为，求一档球队夺冠的概率．
【解析】（1）由对阵关系图可得，在一个小组中，一档球队A从小组胜出先要赢三档球队C，概率为，再赢B和D比赛的胜者，
若B胜，A胜出的概率为，
若D胜，A胜出的概率为，
所以一档球队从小组胜出的概率为．
二档球队B从小组胜出先要赢三档球队D，概率为，再赢A和C比赛的胜者，
若A胜，B胜出的概率为，
若C胜，B胜出的概率为，
所以二档球队从小组胜出的概率为．
三档球队C从小组胜出先要赢一档球队A，概率为，再赢B和D比赛的胜者，
若B胜，C胜出的概率为，
若D胜，C胜出的概率为，
所以三档球队C从小组胜出的概率为；
三档球队D从小组胜出先要赢二档球队B，概率为，再赢A和C比赛的胜者，
若A胜，D胜出的概率为，
若C胜，D胜出的概率为，
所以三档球队D从小组胜出的概率为．
所以三档球队从小组胜出的概率为．
（2）由题可得A1进决赛的概率为，所以A2进决赛的概率也为，（关键：由对阵关系图可知每个小组内的比赛安排都是一样的，所以同档球队进入决赛的概率也相同）
所以对阵关系图左边是一档球队进决赛的概率为，
同理对阵关系图左边是二档球队进决赛的概率为，
所以对阵关系图左边是三档球队进决赛的概率为，
对阵关系图右边的情况一样．
现仅考虑A1夺冠的情况，A1要先进决赛，概率为，再赢右边进决赛的球队，
若右边是一档球队进决赛，A1胜出的概率为，
若右边是二档球队进决赛，A1胜出的概率为，
若右边是三档球队进决赛，A1胜出的概率为，
所以A1夺冠的概率为．
易知A2，A3，A4夺冠的概率和A1一样，所以一档球队夺冠的概率为．
12．（2022·全国·模拟预测）教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程．消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走俏．这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具．一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示．
(1)从这7次统计数据中随机抽取2次，求这2次的销量之和超过21千件的概率．
(2)根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由．（结果保留两位小数）
附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，．
【解析】（1）从7次统计数据中任意选取2次有种选法，
其中满足条件的有，，，，，，共6种，
所以所求概率．
（2）由表格数据，得，
，
所以
，
，
，
所以相关系数．
因为相关系数，接近1，所以y与x具有线性相关关系，且正相关性很强．
因为，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为．
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
X
0
1
2
3
P
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
0
200
400
600
800
P
0．125
0．075
0．2625
0．425
0．1125
2
3
4
5
6
P
0
1
2
3
4
5
竞赛得分
频率
0．1
0．1
0．3
0．3
0．2
M
1
2
3
4
5
6
7
P
X
0
40
80
120
P
0
1
2
2
3
4
X
0
1
2
P
0
1
2
0．72
0．26
0．02
0．00
0．01
0．02
0．03
0．04
0．05
0．06
0．07
0．08
0．09
0．0
0．5000
0．5040
0．5080
0．5120
0．5160
0．5199
0．5239
0．5279
0．5319
0．5359
0．1
0．5398
0．5438
0．5478
0．5517
0．5557
0．5596
0．5636
0．5675
0．5714
0．5753
0．2
0．5793
0．5832
0．5871
0．5910
0．5948
0．5987
0．6026
0．6064
0．6103
0．6141
0．3
0．6179
0．6217
0．6255
0．6293
0．6331
0．6368
0．6404
0．6443
0．6480
0．6517
0．4
0．6554
0．6591
0．6628
0．6664
0．6700
0．6736
0．6772
0．6808，
0．6844
0．6879
0．5
0．6915
0．6950
0．6985
0．7019
0．7054
0．7088
0．7123
0．7157'
0．7190
0．7224
时间t（月）
2
3
4
5
6
参与活动的人数y（万人）
0．5
0．6
1
1．4
1．7
报价X（单位：元）
频数
20
60
60
30
20
10
0
1
2
3
0
1
2
P
相关性
弱
一般
强
平均温度
21
23
25
27
29
31
33
平均产卵数/个
7
11
21
24
66
115
325
1．9
2．4
3．0
3．2
4．2
4．7
5．8
参考数据
5215
17713
717
81．3
3．6
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y
166
188
220
249
286
331
389
463
质量指标值
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
优等品
非优等品
合计
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
合计
k
优等品
非优等品
合计
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
合计
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
0．010
0．005
0．001
6．635
7．879
10．828
患病
未患病
总计
没服用药
20
30
50
服用药
x
y
50
总计
M
N
100
P（K2≥k）
0．10
0．05
0．010
0．001
k
2．706
3．841
6．635
10．828
0
1
2
P
0
1
2
P
0
1
2
3
4
6
0
1
2
3
3
4
5
5
3
2
1
0
男生
女生
合计
喜欢
不喜欢
合计
男生
女生
合计
喜欢
不喜欢
合计
0
1
2
竞赛成绩
人数
6
12
18
34
16
8
6
0
1
2
3
4
P
时间
5月22~5月31日
6月1~6月10日
6月11~6月20日
6月21~6月30日
7月1~7月10日
7月11~7月20日
7月21~7月30日
时间代码x
1
2
3
4
5
6
7
销量y/千件
9.4
9.6
9.9
10.1
10.6
11.1
11.4
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