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专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳（精讲精练）-备战2024年高考数学二轮复习讲练测（新备战2024年高考专用）
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这是一份专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳（精讲精练）-备战2024年高考数学二轮复习讲练测（新备战2024年高考专用），文件包含专题12圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳精讲精练原卷版docx、专题12圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳精讲精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。
1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．
【核心考点目录】
核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
核心考点二：蒙日圆
核心考点三：阿基米德三角形
核心考点四：仿射变换问题
核心考点五：圆锥曲线第二定义
核心考点六：焦半径问题
核心考点七：圆锥曲线第三定义
核心考点八：定比点差法与点差法
核心考点九：切线问题
核心考点十：焦点三角形问题
核心考点十一：焦点弦问题
核心考点十二：圆锥曲线与张角问题
核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
核心考点十四：圆锥曲线与通径问题
核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
核心考点十六：圆锥曲线与四心问题
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
7．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【方法技巧与总结】
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量或进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．
【核心考点】
核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________．
例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当 且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线， 分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足， 面积的最大值为4．点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足 ，则双曲线方程是 ______________ ；过的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点､分别为 ､的内心，则的范围是 ____________ ．
核心考点二：蒙日圆
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆的蒙日圆为，则（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
核心考点三：阿基米德三角形
【典型例题】
例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（ ）
A．1B．2C．D．3
例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图，为阿基米德三角形．抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P．给出如下结论，其中正确的为（ ）
（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；
（2）点P的坐标是；
（3）的边所在的直线方程为；
（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）．
A．（2）（3）（4）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．（1）（3）（4）
核心考点四：仿射变换问题
【典型例题】
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆交于M，N两点，当______，面积最大，并且最大值为______．记，当面积最大时，_____﹐_______．Р是椭圆上一点，，当面积最大时，______．
例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求______________．
核心考点五：圆锥曲线第二定义
【典型例题】
例13．（2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．8C．12D．
例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C．若，则线段BC的中点到准线的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且，则线段AB的长为（ ）
A．5B．6C．D．
核心考点六：焦半径问题
【典型例题】
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线上的动点，，是左、右焦点，O是坐标原点，若的最大值为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
核心考点八：圆锥曲线第三定义
【典型例题】
例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且，则椭圆的离心率为___________，直线的斜率为___________．
例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
核心考点八：定比点差法与点差法
【典型例题】
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．，或
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（ ）
A．B．C．D．
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
核心考点九：切线问题
【典型例题】
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为．过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线
例28．（2023·全国·高三专题练习）设P是双曲线C：在第一象限内的动点，O为坐标原点，双曲线C在P点处的切线的斜率为m，直线OP的斜率为n，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
核心考点十：焦点三角形问题
【典型例题】
例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）
A．个B．个C．个D．个
例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左、右焦点分别、，P为双曲线右支上的点，的内切圆与x轴相切于点C，则圆心I到y轴的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切x轴于点M，则的值为（ ）
A．B．C．D．
核心考点十一：焦点弦问题
【典型例题】
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若，则直线l的方程是（ ）
A．B．
C．D．
例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A．m＋n＝mnB．m＋n＝4C．mn＝4D．无法确定
例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
核心考点十二：圆锥曲线与张角问题
【典型例题】
例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________．
例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，直线PF2与y轴交于点Q，点P在线段上，的内切圆的圆心为，若为正三角形，则=___________，C的离心率的取值范围是___________．
核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
【典型例题】
例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为（ ）
A．B．C．D．
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
核心考点十四：圆锥曲线与通径问题
【典型例题】
例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，以点，为焦点的动椭圆与双曲线的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______．
例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点的直线与交于两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为___________．
例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于（、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为__________．
核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
【典型例题】
例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（ ）
A．B．C．D．以上答案均有可能
例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7B．C．D．
核心考点十六：圆锥曲线与四心问题
【典型例题】
例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B．若G点为的外心，则（ ）
A．2B．3C．4D．以上都不对
例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆：的左右顶点分别为，，圆的方程为，动点在曲线上运动，动点在圆上运动，若的面积为，记的最大值和最小值分别为和，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，则旋转体的体积是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设是双曲线的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为（ ）
A．5B．8C．10D．12
4．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，过点的直线与动点的轨迹交于，两点，记点的轨迹的对称中心为，则当面积取最大值时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线围成的图形的面积是；
②曲线上的任意两点间的距离不超过2；
③若是曲线上任意一点，则的最小值是1．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．
8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，是直线上的两点，且．若对于任意点，存在使成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．给出下列三个结论：
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．②③C．①②D．①③
10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法中错误的是（ ）．
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线对称
C．线段的长为
D．E，F分别是圆O和圆M上的点，则的最大值为
二、多选题
11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则
（ ）
A．若轴，则B．若，则的面积为
C．长度的最小值为D．若，则
12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
13．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，抛物线：（）的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上的动点，则（ ）
A．的最小值为
B．的准线方程为
C．
D．当时，点到直线的距离的最大值为
14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
三、填空题
15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．设直线MA，MB的斜率分别为______
16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率，直线交双曲线于点，，为坐标原点且，则双曲线实轴长的最小值是__________．
17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆与圆相交于A，B两点，则________．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：（）的准线方程为，焦点为F，准线与x轴的交点为A､B为抛物线C上一点，且满足，则点F到的距离为______．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是______．
20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．
1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．
【核心考点目录】
核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
核心考点二：蒙日圆
核心考点三：阿基米德三角形
核心考点四：仿射变换问题
核心考点五：圆锥曲线第二定义
核心考点六：焦半径问题
核心考点七：圆锥曲线第三定义
核心考点八：定比点差法与点差法
核心考点九：切线问题
核心考点十：焦点三角形问题
核心考点十一：焦点弦问题
核心考点十二：圆锥曲线与张角问题
核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
核心考点十四：圆锥曲线与通径问题
核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
核心考点十六：圆锥曲线与四心问题
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
7．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
【方法技巧与总结】
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量或进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．
【核心考点】
核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________．
例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当 且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线， 分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足， 面积的最大值为4．点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足 ，则双曲线方程是 ______________ ；过的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点､分别为 ､的内心，则的范围是 ____________ ．
核心考点二：蒙日圆
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆的蒙日圆为，则（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
核心考点三：阿基米德三角形
【典型例题】
例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（ ）
A．1B．2C．D．3
例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图，为阿基米德三角形．抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P．给出如下结论，其中正确的为（ ）
（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；
（2）点P的坐标是；
（3）的边所在的直线方程为；
（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）．
A．（2）（3）（4）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．（1）（3）（4）
核心考点四：仿射变换问题
【典型例题】
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆交于M，N两点，当______，面积最大，并且最大值为______．记，当面积最大时，_____﹐_______．Р是椭圆上一点，，当面积最大时，______．
例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求______________．
核心考点五：圆锥曲线第二定义
【典型例题】
例13．（2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．8C．12D．
例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C．若，则线段BC的中点到准线的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且，则线段AB的长为（ ）
A．5B．6C．D．
核心考点六：焦半径问题
【典型例题】
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线上的动点，，是左、右焦点，O是坐标原点，若的最大值为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
核心考点八：圆锥曲线第三定义
【典型例题】
例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且，则椭圆的离心率为___________，直线的斜率为___________．
例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
核心考点八：定比点差法与点差法
【典型例题】
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．，或
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是（ ）
A．B．C．D．
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
核心考点九：切线问题
【典型例题】
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为．过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线
例28．（2023·全国·高三专题练习）设P是双曲线C：在第一象限内的动点，O为坐标原点，双曲线C在P点处的切线的斜率为m，直线OP的斜率为n，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
核心考点十：焦点三角形问题
【典型例题】
例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）
A．个B．个C．个D．个
例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左、右焦点分别、，P为双曲线右支上的点，的内切圆与x轴相切于点C，则圆心I到y轴的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切x轴于点M，则的值为（ ）
A．B．C．D．
核心考点十一：焦点弦问题
【典型例题】
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若，则直线l的方程是（ ）
A．B．
C．D．
例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A．m＋n＝mnB．m＋n＝4C．mn＝4D．无法确定
例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
核心考点十二：圆锥曲线与张角问题
【典型例题】
例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________．
例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，直线PF2与y轴交于点Q，点P在线段上，的内切圆的圆心为，若为正三角形，则=___________，C的离心率的取值范围是___________．
核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题
【典型例题】
例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为（ ）
A．B．C．D．
例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
核心考点十四：圆锥曲线与通径问题
【典型例题】
例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，以点，为焦点的动椭圆与双曲线的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______．
例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点的直线与交于两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为___________．
例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于（、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为__________．
核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题
【典型例题】
例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（ ）
A．B．C．D．以上答案均有可能
例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7B．C．D．
核心考点十六：圆锥曲线与四心问题
【典型例题】
例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B．若G点为的外心，则（ ）
A．2B．3C．4D．以上都不对
例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆：的左右顶点分别为，，圆的方程为，动点在曲线上运动，动点在圆上运动，若的面积为，记的最大值和最小值分别为和，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，则旋转体的体积是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设是双曲线的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为（ ）
A．5B．8C．10D．12
4．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，过点的直线与动点的轨迹交于，两点，记点的轨迹的对称中心为，则当面积取最大值时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线围成的图形的面积是；
②曲线上的任意两点间的距离不超过2；
③若是曲线上任意一点，则的最小值是1．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．
8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，是直线上的两点，且．若对于任意点，存在使成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．给出下列三个结论：
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．②③C．①②D．①③
10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法中错误的是（ ）．
A．圆O与圆M有两条公切线
B．圆O与圆M关于直线对称
C．线段的长为
D．E，F分别是圆O和圆M上的点，则的最大值为
二、多选题
11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则
（ ）
A．若轴，则B．若，则的面积为
C．长度的最小值为D．若，则
12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
13．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，抛物线：（）的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上的动点，则（ ）
A．的最小值为
B．的准线方程为
C．
D．当时，点到直线的距离的最大值为
14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
三、填空题
15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．设直线MA，MB的斜率分别为______
16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率，直线交双曲线于点，，为坐标原点且，则双曲线实轴长的最小值是__________．
17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆与圆相交于A，B两点，则________．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：（）的准线方程为，焦点为F，准线与x轴的交点为A､B为抛物线C上一点，且满足，则点F到的距离为______．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是______．
20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．
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