河南省安阳市龙安高级中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学

这是一份河南省安阳市龙安高级中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 命题人：李慧超 审题人：苏静
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A.B.C.D.
3.函数的大致图象为（ ）
A.B.
C.D.
4.函数的零点所在的区间是（ ）
A.B.C.D.
5.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A.B.C.D.
6.设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）.
A.2B.4C.7D.8
7.已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，设，，，则（ ）
A.B.
C.D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知幕函数的图象经过点，则（ ）
A.的定义域为B.的值域为
C.是偶函数D.的单调增区间为
10.下列结论正确的是（ ）
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”的一个必要不充分条件是“”
C.“，”的否定是“，”
D.方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是
11.已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A.的定义域为B.的值域为
C.若，则D.的解集为
12.已知，，且，则（ ）
A.的最小值是B.的最小值是
C.的最小值是4D.的最小值是5
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（满分20分，每小题5分）
13.若函数的定义域是，则函数的定义域是________.
14.已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为________.
15.已知，则________.
16.已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是________.
三、解答题（满分70分，解答题必须写出必要的文字说明或解答过程）
17.（1）；
（2）.
18.（1）若，，求和的值；
（2）若，求的值.
19.已知集合，
（1）分别求，；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
20.已知函数.
（1）求的定义域，判断的奇偶性并予以证明；
（2）求不等式的解集.
21.某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备.生产这种设备的年固定成本为400万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足75台时，（万元）；当年产量不少于75台时，（万元）.若每台设备的售价为90万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？
22.已知函数为奇函数.
（1）求实数的值
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.A 8.B 9.ABD 10.BCD 11.BC 12.BC
13. 14. 15. 16.
17.（1）；（2）0
【分析】（1）根据指数幂的性质运算即可得到；
（2）根据对数的性质运算即可得到.
【详解】（1）原式；
18.（1），；（2）
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系以及角的范围，求解即可得出答案；
（2）根据“1”的代换化为齐次式，分子分母同时除以，化为只含有的式子，代入即可得出答案.
【详解】由已知，，
可得，
所以.
（2）∵，
∴
.
19.（1），
（2）
【分析】（1）解不等式求得集合，，由此求得，.
（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）因为集合，即，.
所以，
（2）因为，所以，
①当时，，，此时；
②当时，由得，
即
综上，的取值范围为.
20.（1）
（2）奇函数，证明见解析
（3）
【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；
（3）根据对数函数的单调性进行求解.
【详解】（1）要使函数有意义，则，
解得，故所求函数的定义域为；
（2）证明：由（1）知的定义域为，
设，则，
且，故为奇函数；
（3）因为，所以，即
可得，解得，又，
所以，
所以不等式的解集是.
21.（1）；（2）当年产量为台时，利润最大，为1500（万元）
【分析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本，再减去年固定成本即可求解；
（2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大的即可求解.
【详解】解：当年产量不足75台时，利润；
当年产量不少于75台时，利润，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
.
（2）由（1）得当时，，开口向下，对称轴为，故当时，
（万元）；
当时，由于，当且仅当时等号成立，
所以（万元）.
综上，当年产量为台时，利润最大，为1500（万元）
22.（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）
【分析】（1）利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可求得实数的值；
（2）判断出函数在上为增函数，然后函数单调性定义证明函数在上为增函数即可；
（3）由已知可得，可得出不等式对任意的恒成立，分、两种情况，结合已知条件可的关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数为奇函数，且，
则，由，则，
所以，对任意的恒成立，所以，，可得.
（2）证明：由（1）可知，函数在上为增函数，证明如下：
任取且，则，
所以，
所以，，故函数在上为增函数.
（3）解：由可得，
所以，，即对任意的恒成立.
当时，则有，合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是