2023-2024学年吉林省四平市双辽市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省四平市双辽市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.正十二边形的外角和为( )
A. 30°B. 150°C. 360°D. 1800°
2.下列运算正确的是( )
A. (x3)2=x5B. (2x)2=2x4C. x3⋅x2=x5D. x8÷x2=x4
3.如果a=−12，b=(3−π)0，c=(−110)−1，那么a，b，c的大小关系为( )
A. a=b>cB. b>a>cC. c>b=aD. c>a>b
4.下列各式中，不能运用平方差公式计算的是( )
A. (m−n)(−m−n)B. (−1+mn)(1+mn)
C. (−x+y)(x−y)D. (2a−b)(2a+b)
5.若x−m与x−3的乘积中不含x的一次项，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 3D. −3
6.若把分式x+yxy中的x和y都扩大5倍，那么分式的值( )
A. 扩大5倍B. 不变C. 缩小5倍D. 缩小25倍
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.圆是轴对称图形，有______条对称轴．
8.世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有0.000000006米的晶体管，该数用科学记数法表示为______米．
9.如图，AB=AC，AD//BC.∠BAC=100°，则∠CAD的度数是______ ．
10.计算：47×(−0.25)7= ______ ．
11.若b为常数，要使4x2+bx+1成为完全平方式，那么b的值是______ ．
12.若分式x2−1(x−2)(x+1)的值为0，则x的值是______ ．
13.已知x+2x=6，那么x2+4x2= ______ ．
14.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
15.解方程：2xx+3+1=72x+6．
四、解答题：本题共11小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：(2x−1y3)2÷(x−3y6).
17.(本小题5分)
计算：(x+2)2−(x+1)(x+3)．
18.(本小题5分)
分解因式：m3(x−2)−m(x−2)．
19.(本小题5分)
计算：aa−b+bb−a−5．
20.(本小题7分)
如图，以△ABC的两边AC，BC为边分别向外作△ADC和△BEC，使得∠BCD=∠ACE，CD=CE，∠D=∠E．
(1)求证：△ADC≌△BEC．
(2)若∠CAD=60°，∠ABE=110°，求∠ACB的度数．
21.(本小题7分)
已知5x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)+x(x−2)的值．
22.(本小题7分)
先化简，再求值：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x，其中x=−4．
23.(本小题8分)
如图，在大长方形ABCD中放入10个相同的小长方形(图中空白部分).若大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327.设小长方形的长为x，宽为y.求一个小长方形的周长和面积分别是多少？
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F分别为垂足．
(1)若∠A=100°，则∠B的度数为______ ，∠FDC的角度为______ ；
(2)求证：△DEF是等腰三角形；
(3)当△DEF是等边三角形时，求∠A的度数．
25.(本小题10分)
如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点E为BC上一点，BD⊥AE于点M，交AC于点D，AH⊥CB于点H，交BD于点G，连接DE，MH．
(1)若BE=BA，求证：DE⊥BC；
(2)若点E在CH上运动，请你判断CE与AG的数量关系，并说明理由．
26.(本小题10分)
某商场用5000元购进一批滑板车，很受儿童喜爱，滑板车很快售完，接着又用9000元购进第二批这种滑板车，所购数量是第一批数量的1.2倍，但每双进价多了50元．
(1)求第一批滑板车每台的进价是多少元；
(2)如果这两批滑板车每台售价都是200元，那么全部售出后，该商店可获得的利润是多少元？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°.故选：C．
本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°．
本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是指出定理即可求出正十二边行的外角和度数．
2.【答案】C
【解析】解：A.(x3)2=x6，故此选项不合题意；
B.(2x)2=4x2，故此选项不合题意；
C.x3⋅x2=x5，故此选项符合题意；
D.x8÷x2=x6，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：a=−12=−1，
b=(3−π)0=1，
c=(−110)−1=−10，
∵1>−1>−10，
∴b>a>c，
故选：B．
根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂运算法则分别计算即可．
本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵(m−n)(−m−n)=−(m−n)(m+n)=−(m2−n2)，
∴选项A不符合题意；
∵(−1+mn)(1+mn)=(mn)2−12，
∴选项B不符合题意；
∵(−x+y)(x−y)=−(x−y)2，
∴选项C符合题意；
∵(2a−b)(2a+b)=(2a)2−b2，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
利用平方差公式和完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的特点并会灵活应用是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：(x−m)(x−3)=x2−3x−mx+3m=x2+(−3−m)x+3m，
∵乘积中不含x的一次项，
∴−3−m=0，
解得：m=−3，
故选：D．
直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，再根据条件可得−3−m=0，再解得出答案．
此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：原式=5x+5y25xy=15×x+yxy，
故选：C．
根据分子的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
7.【答案】无数
【解析】解：圆是轴对称图形，有无数条对称轴．
圆是轴对称图形，所有经过圆心的直线都是它的对称轴，故有无数条对称轴．
圆是最特殊的轴对称图形，有无数条对称轴，要熟记．
8.【答案】6×10−9
【解析】解：0.000000006=6×10−9．
故答案为：6×10−9
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9.【答案】40°
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵AD/​/BC，
∴∠CAD=∠C=40°，
故答案为：40°．
根据等腰三角形性质，三角形内角和定理求出∠C，根据平行线的性质得出∠CAD=∠C，即可求出答案．
本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，注意：两直线平行，内错角相等．
10.【答案】−1
【解析】解：47×(−0.25)7
=[4×(−0.25)]7
=(−1)7
=−1．
故答案为：−1．
根据积的乘方法则计算即可．
本题考查了积的乘方法则：积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即(ab)n=anbn(n是正整数).注意法则的逆用．
11.【答案】±4
【解析】解：4x2+bx+1=(2x)2+bx+12，
∴bx=±2×2x×1，
解得：b=±4．
故答案是：±4．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，注意不要漏解．
12.【答案】1
【解析】解：由题意得：x2−1=0且(x−2)(x+1)≠0，
解得：x=1．
故答案为：1．
根据分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0即可求解．
本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
13.【答案】32
【解析】解：∵x+2x=6，
∴(x+2x)2=36，即x2+4+4x2=36，
∴x2+4x2=32，
故答案为：32．
根据完全平方公式计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小(根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短)，由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，AE=BE，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD是BC的垂直平分线(三线合一)，
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵等边△ABC中，AE=BE，
∴CE⊥AB，
∴BF+EF=CE时最小，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
∠ADB=∠CEB∠ABD=∠CBEAB=CB，
∴△ADB≌△CEB(AAS)，
∴CE=AD=6，
即BF+EF的最小值为6，故答案为：6．
连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF的最小值为6．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
15.【答案】解：去分母得：4x+2x+6=7，
移项合并得：6x=1，
解得：x=16，
经检验，x=16是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：(2x−1y3)2÷(x−3y6)
=4x−2y6÷(x−3y6)
=4x．
【解析】先算乘方，再算除法，即可解答．
本题考查了整式的除法，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：原式=x2+4x+4−(x2+4x+3)
=x2+4x+4−x2−4x−3
=1．
【解析】利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
本题主要考查了整式的混合运算问题，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=m(x−2)(m2−1)
=m(x−2)(m+1)(m−1)．
【解析】先提取公因式m(x−2)，再利用平方差公式继续分解．
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
19.【答案】解：原式=aa−b−ba−b−5
=a−ba−b−5
=1−5
=−4．
【解析】先利用分式的性质把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算，然后约分后进行有理数的减法运算．
本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
20.【答案】(1)证明：∵∠BCD=∠ACE，
∴∠BCD−∠ACB=∠ACE−∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
∠ACD=∠BCECD=CE∠D=∠E，
∴△ADC≌△BEC(ASA)；
(2)解：由(1)得：△ADC≌△BEC，
∴∠CAD=∠CBE=60°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ABE=110°，
∴∠CAB=∠CBA=∠ABE−∠CBE=110°−60°=50°，
∴∠ACB=180°−∠CAB−∠CBA=180°−50°−50°=80°．
【解析】(1)先证∠ACD=∠BCE，再由ASA证明△ADC≌△BEC即可；
(2)由全等三角形的性质得∠CAD=∠CBE=60°，AC=BC，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
本题考查了全等三角形的判定由V型在、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(3x+2)(3x−2)+x(x−2)
=9x2−4+x2−2x
=10x2−2x−4，
∵5x2−x−1=0，
∴5x2−x=1，
∴原式=2(5x2−x)−4=−2．
【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简进而把已知代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22.【答案】解：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x
=x2−(x−1)2x−1÷(2x−1)21−x
=2x−1x−1⋅−(x−1)(2x−1)2
=−12x−1，
当x=−4时，原式=−12×(−4)−1=19．
【解析】先根据分式的加减进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
23.【答案】解：由题意可得：2(x+3y+3x+y)=104(x+3y)(3x+y)−10xy=327，
∴x+y=13x2+y2=109，
∴2(x+y)=26，xy=30，
∴一个小长方形的周长为26，面积为30．
【解析】由大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327.列出方程组，可求解．
本题考查了二元二次方程组，找到正确的数量关系是解题的关键．
24.【答案】40° 50°
【解析】(1)解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵DF⊥AC，
∴∠FDC=90°−∠C=50°；
故答案为：40°，50°；
(2)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠C=∠B，BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△DEB和△DFC中，
∠DEB=∠DFC=90°∠B=∠CBD=CD，
∴△DEB≌△DFC(AAS)，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰三角形．
(3)解：∵△DEF为等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠BAC=360°−60°−90°−90°=120°．
(1)利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可；
(2)首先根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B，BD=CD，然后证明出△DEB≌△DFC(AAS)，得到DE=DF，即可证明出△DEF为等腰三角形；
(3)首先根据等边三角形的性质得到∠EDF=60°，然后根据全等三角形的性质得到∠EDB=60°，利用垂直得到∠DEB=∠DFC=90°，然后由四边形的内角和定理解答即可．
此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
25.【答案】(1)证明：∵BE=BA，BD⊥AE于点M，
∴AM=EM，
∴BD垂直平分AE，
∴DE=DA，
在△EBD和△ABD中，
BE=BADE=DABD=BD，
∴△EBD≌△ABD(SSS)，
∴∠BED=∠BAC=90°，
∴DE⊥BC．
(2)解：CE=AG，
理由：∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴∠C=∠ABC=45°，
∵AH⊥BC于点H，
∴∠BAH=∠CAH=12∠BAC=45°，
∴∠C=∠BAG，
∵∠AMD=∠BAD=90°，
∴∠CAE=∠ABG=90°−∠ADB，
在△CAE和△ABG中，
∠C=BAGAC=BA∠CAE=∠ABG，
∴△CAE≌△ABG(ASA)，
∴CE=AG．
【解析】(1)由BE=BA，BD⊥AE于点M，根据等腰三角形的“三线合一”得AM=EM，则DE=DA，而BD=BD，即可根据“SSS”证明△EBD≌△ABD，得∠BED=∠BAC=90°，所以DE⊥BC；
(2)由等腰直角三角形的性质得∠C=∠ABC=45°，因为AH⊥BC于点H，所以∠BAH=∠CAH=12∠BAC=45°，则∠C=∠BAG，而∠CAE=∠ABG=90°−∠ADB，AC=BA，即可根据“ASA”证明△CAE≌△ABG，得CE=AG．
此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△EBD≌△ABD及△CAE≌△ABG是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设第一批滑板车每台的进价是x元，
由题意得：5000x×1.2=9000x+50，
解得：x=100，
经检验，x=100是分式方程的解，且符合题意．，
答：第一批滑板车每台的进价是100元；
(2)200×5000100×(1+1.2)−(5000+9000)=8000(元)，
答：该商店可获得的利润是8000元．
【解析】(1)设第一批滑板车每台的进价是x元，由题意：某商场用5000元购进一批滑板车，滑板车很快售完，接着又用9000元购进第二批这种滑板车，所购数量是第一批数量的1.2倍，但每双进价多了50元，列出分式方程，解方程即可；
(2)由销售额−成本=利润，列式计算即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．