2022-2023学年河南省漯河市郾城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省漯河市郾城区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若关于x的一元二次方程x2−ax+6=0的一个根是2，则a的值为( )
A. 2B. 3C. 12D. 5
2.下列事件中，属于不可能事件的是( )
A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯B. 射击运动员射击一次，命中十环
C. 掷一枚质地均匀硬币，正面朝上D. 从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球
3.下列方程中，没有实数根的是( )
A. x2=xB. x2+1=0C. x2+2x+1=0D. x2+2x−1=0
4.关于函数y=−x2−2x的图象，有下列说法：
①对称轴为直线x=−1；②抛物线开口向上；③图象经过原点；④从图象可以判断出，当x>−1时，y随着x的增大而减小．其中正确的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
5.如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则tan∠BAC=( )
A. 1
B. 12
C. 22
D. 32
6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=1，AB=2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，则CC′的长为( )
A. 4
B. 6
C. 10
D. 2 5
7.如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD(弧的中点到水面的距离)为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为( )
A. 5米
B. 6米
C. 7米
D. 8米
8.如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=45°，连接AO，过点O作OE⊥BC交BC于点D，交⊙O于点E.若点D是OE的中点，则∠AOE的度数为( )
A. 120°
B. 135°
C. 140°
D. 150°
9.如图，△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且CE=2AE，则下列结论中正确的是( )
A. ADAB=12
B. DEBC=12
C. DE/​/BC
D. S△ADES△ABC=14
10.如图，直线y=mx与双曲线y=kx交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM=4，则k的值为( )
A. −4B. 4C. −8D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.苯xx+y=13，则yx= ______ ．
12.不透明袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机地摸出2个球，则这两个球都是红球的概率是______ ．
13.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A=90°，BC=5，CA=4，则⊙O的半径是______ ．
14.如图，扇形OAB的圆心角为60°，OA=4cm，过点A作AD⊥OB于点D，以O为圆心，OD的长为半径画弧交OA于点C，则图中阴影部分的面积是______ ．
15.如图，在△ABC中，AB=6，CA=4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为______ 时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：cs245°+tan60°cs30°；
(2)解方程：x2−1=3x−3．
17.(本小题9分)
如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
(1)△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为______ ；
(2)BC与B1C1的位置和数量关系为______ ；
(3)将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2(−1,−2)，B2(1,−3)，C2(0,−5)，则旋转中心的坐标为______ ．
18.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x的图象相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)过点B作BP/​/x轴交y轴于点P，求△ABP的面积；
(3)根据函数图象，直接写出y119.(本小题9分)
已知某抛物线的对称轴为直线x=2，且过(1,4)和(0,7)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)填空：
①当0≤x≤3时，y值所对应的范围是______ ；
②若将此抛物线向下平移m个单位与x轴有公共点时，则m的范围是______ ．
20.(本小题9分)
已知：如图，AB是⊙O直径，直线l经过⊙O的上一点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，AC平分∠DAB．
(1)求证：直线l与⊙O相切；
(2)若∠DAB=60°，CD=3，求⊙O的半径．
21.(本小题9分)
为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长(结果保留根号)
22.(本小题10分)
数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．
(1)现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
(2)当每箱纯牛奶售价为多少元时，每天获得的利润最大？
23.(本小题10分)
如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=4，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α．

(1)问题发现
①当α=0°时，BDAE= ______ ；
②当α=180°时，BDAE= ______ ．
(2)拓展探究
试判断：当0°≤α<360°时，BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
当△EDC旋转至DE/​/AC时，请直接写出BD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−ax+6=0的一个根是2，
∴22−2a+6=0，
解得a=5．
故选：D．
根据关于x的一元二次方程x2−ax+6=0的一个根是2，将x=2代入方程即可求得a的值．
本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件，不符合题意；
C、掷一枚质地均匀硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球，属于不可能事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】B
【解析】解：A、方程整理得x2−x=0，
则Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×0=1>0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不合题意；
B、x2+1=0，
则Δ=b2−4ac=02−4×1×1=−4<0，方程没有实数根，所以B选项符合题意；
C、x2+2x+1=0，
则Δ=b2−4ac=22−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项不合题意；
D、x2+2x−1=0，
则Δ=b2−4ac=22−4×1×(−1)=8>0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项不合题意．
故选：B．
分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程无实数根．
4.【答案】C
【解析】解：∵a=−1<0，
∴抛物线开口向下，所以②错误；
∵y=−x2−2x=−(x+1)2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，所以①正确；
当x=0时，y=0，
∴图象经过原点，所以正确；
当x>−1时，y随x的增大而减小，所以③正确；
综上所述，正确的说法有①③④3个．
故选：C．
利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h,k)．
5.【答案】A
【解析】解：连接BC，
由题意得：
AC2=12+22=5，
BC2=12+22=5，
AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC= 5 5=1，
故选：A．
连接BC，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB=90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠B=90°，BC=1，AB=2，
∴AC= AB2+BC2= 5，
由旋转得：AC=AC′，∠CAC′=90°，
∴CC′= AC2+C′A2= 10．
故选：C．
先根据勾股定理计算AC的长，由旋转的性质得△CAC′是等腰直角三角形，并由勾股定理可得结论．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，证明△ACC′是等腰直角三角形是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，以O为圆心，连接OC、OA、OB，
由题意可得，D为弧AB的中点，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OA=OB，
∴OD⊥AB，AC=BC，
设OD=r，则OC=OD−CD=r−1，
在Rt△AOC中，OA2=OC2+AC2，AC=12AB=3，
∴r2=(r−1)2+9，
解得：r=5，
∴主桥拱所在圆的半径5m；
由题意得，水面下降为EF，连接OE，
∵水面下降1米，
∴OG=OC−1=4−1=3(m)，
则EG= OE2−OG2= 52−32=4(m)，
∴EF=2EG=8m，即水面的宽度为8m．
故选：D．
以O为圆心，连接OC、OA、OB，根据三线合一定理可得OD⊥AB，AC=BC，设OD=r，则OC=OD−CD=r−1，再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为EF，连接OE，根据水面下降1米，可得OG=3m，再根据勾股定理即可求得答案．
本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接OC，如图，
∵点D是半径OE的中点，
∴OD=12OE=12OC，
∵OD⊥BC，
∴∠OCD=30°，
∴∠DOC=60°，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴∠AOE=90°+60°=150°．
故选：D．
连接OC，利用直角三角形的性质求出∠OCD=30°，则∠DOC=60°，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后计算∠AOC+∠DOC即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9.【答案】C
【解析】解：∵△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠AED=∠C，
∴DE/​/BC，故C正确；
∵CE=2AE，
∴AEAC=13，
∴ADAB=AEAC=13，DEBC=AEAC=13，S△ADES△ABC=(AEAC)2=(13)2=19，
∴A，B，D选项不正确，
故选：C．
根据题意可得△ADE∽△ABC，进而根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵直线y=mx与双曲线y=kx交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴S△OAM=S△OBM，
而S△ABM=4，
∴S△OAM=2，
∴12|k|=2，
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k<0，
∴k=−4．
故选：A．
根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则S△OAM=S△OBM，而S△ABM=4，S△OAM=2，然后根据反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义即可得到k=−4．
本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
11.【答案】2
【解析】解：∵xx+y=13，
∴3x=x+y，即2x=y，
∴yx=2，
故答案为：2．
根据比例的性质可得2x=y，进而即可求解．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12.【答案】310
【解析】解：记袋子中的3个红球为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，
由树状图得，共有20种等可能出现的结果，其中，两个球都是红球的结果有6种，
∴从袋子中随机地摸出2个球，则这两个球都是红球的概率是P=620=310，
故答案为：310．
记袋子中的3个红球为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，由树状图得，共有20种等可能出现的结果，其中，两个球都是红球的结果有6种，即可得．
本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解题意，正确画出树状图．
13.【答案】1
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，BC=5，CA=4，
∴AB= BC2−AC2=3，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD=BE，AD=AF，CF=CE，
如图，连接OD，OF，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，OD=OF，
∴∠ODA=∠A=∠OFA=90°，
∴四边形ADOF是正方形，
设OD=OF=AF=AD=x，则CF=CE=4−x，BD=BE=3−x，
∵CE+BE=5，
∴4−x+3−x=5，
∴x=1，
则⊙O的半径为1．
故答案为：1．
先根据勾股定理求出AB=3，由切线长定理得BD=BE，AD=AF，CF=CE，设OD=OF=AF=AD=x，则CF=CE=4−x，BD=BE=3−x，然后根据CE+BE=5，求解即可．
本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理．
14.【答案】(2 3−23π)cm2
【解析】解：在Rt△AOD中，∠O=60°，OA=4cm，
∴∠OAD=30°，
∴OD=12AO=2cm，
∴AD= 3OD=2 3cm，
∴阴影部分的面积为12×2×2 3−60π×22360=2 3−23π(cm2).
故答案为：(2 3−23π)cm2．
根据阴影部分的面积等于△AOD的面积减去扇形COD面积求即可．
本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式S=nπr2360是解题的关键．
15.【答案】3或43
【解析】解：当AEAD=ABAC时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴AE=AB⋅ADAC=6×24=3，
当ADAE=ABAC时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴AE=AC⋅ADAB=4×26=43，
综上，AE=3或43，
故答案为：3或43．
先得到AD=12AC=2，再分AEAD=ABAC与ADAE=ABAC两种情况讨论即可解答．
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理．
16.【答案】解：(1)cs245°+tan60°cs30°
=( 22)2+ 3× 32
=12+32
=2；
(2)x2−1=3x−3，
(x+1)(x−1)=3(x−1)，
即(x−1)(x+1−3)=0，
∴x−1=0或x−2=0，
解得：x1=1，x2=2．
【解析】(1)根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
(2)根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17.【答案】(2,2) 平行且相等 (0,−1)
【解析】解：(1)根据图得，点B(−2,−2)，
∵△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，
∴B1(2,2)，
故答案为：(2,2)；
(2)∵△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，
∴BC//B1C1，BC=B1C1，
故答案为：平行且相等；
(3)如图所示，连接AA2，BB2，分别作垂直平分线交于Q(0,−1)，
即旋转中心的坐标为(0,−1)，
故答案为：(0,−1)．
(1)根据原点对称的两点的横纵坐标互为相反数，据此解答；
(2)根据中心对称即可解答；
(3)画出△A2B2C2，连接AA2，BB2，分别作垂直平分线交于(0,−1)，即可解答．
本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质，中心对称．
18.【答案】解：(1)∵点A(−2,3)在反比例函数y2=k2x上，
∴3=k2−2，
k2=−6，
∴反比例函数表达式为y2=−6x，
∵点B(m,−2)在反比例函数y2=−6x上，
∴−2=−6m，
m=3，
∴B(3,−2)，
∵点A(−2,3)，点B(3,−2)在一次函数y1=k1x+b上，
∴−2k1+b=33k1+b=−2，
解得，k1=−1b=1，
∴一次函数的表达式为y1=−x+1；
(2)∵过点B作BP/​/x轴交y轴于点P，B(3,−2)，
∴P(0,−2)，
∴BP=3，
∴S△ABP=12BP⋅(yA−yB)
=12×3×[3−(−2)]
=12×3×5
=152；
(3)观察图象得，当−23时，y1【解析】(1)将点A(−2,3)代入反比例函数y2=k2x，进行计算得反比例函数表达式为y2=−6x，将点B(m,−2)代入y2=−6x上得B(3,−2)，根据点A(−2,3)，点B(3,−2)在y1=k1x+b上得−2k1+b=33k1+b=−2，进行计算得一次函数的表达式为y1=−x+1；
(2)过点B作BP/​/x轴交y轴于点P，B(3,−2)得P(0,−2)，可得BP=3，即可得S△ABP=12BP⋅(yA−yB)，进行计算即可得；
(3)观察函数图象即可得．
本题考查了一次函数，反比例函数，三角形面积问题，解题的关键是理解题意题，掌握这些知识点．
19.【答案】3≤y≤7 m≥3
【解析】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，且过(1,4)和(0,7)两点，代入得：
−b2a=2a+b+c=4c=7，
解得：a=1b=−4c=7，
∴抛物线解析式为y=x2−4x+7；
(2)①∵y=x2−4x+7=(x−2)2+3，
抛物线开口向上，顶点坐标为(2,3)，如图，
∵2−0>3−2，
∴当x=0时，取得最大值7，
当x=2时，取得最小值3，
∴当0≤x≤3时，y值所对应的范围是3≤y≤7，
故答案为：3≤y≤7．
②∵顶点坐标为(2,3)，
∴若将此抛物线向下平移m个单位与x轴有公共点时，则m的范围是m≥3，
故答案为：m≥3．
(1)待定系数法求解析式即可求解；
(2)①根据解析式可得开口方向向上，顶点坐标为(2,3)，对称轴为直线x=2，进而可得当0≤x≤3时，x=0时，取得最大值，进而即可求解．
②根据函数图象以及顶点坐标，结合题意，即可求解．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC/​/AD，
∵AD⊥l，
∴OC⊥l，
∵OC为⊙O的半径，
∴直线l与⊙O相切；
(2)解：过点O作OE⊥AC于E，
则AE=EC=12AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
在Rt△ADC中，∠DAC=30°，CD=3，
则AC=2CD=6，
∴AE=3，
∴OA=AEcs∠OAE=3 32=2 3，
∴⊙O的半径2 3．
【解析】(1)连接OC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠BAC，等量代换得到∠DAC=∠OCA，证明OC//AD，根据平行线的性质得到OC⊥l，根据切线的判定定理证明结论；
(2)过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理得到AE=EC=12AC，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、垂径定理、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
21.【答案】解：由题意得，BG=CE=DF=1.5米，
∴AG=AB−BG=5米，
在Rt△ADG中，tan30°=AGDG=5DG= 33，
解得DG=5 3，
在Rt△ACG中，tan60°=AGCG=5CG= 3，
解得CG=5 33，
∴CD=DG−CG=10 33米．
答：体温检测有效识别区域CD段的长为10 33米．
【解析】由题意可求得AG=5米，分别在Rt△ADG和Rt△ACG中，利用三角函数的求出DG和CG，最后根据CD=DG−CG可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22.【答案】(1)解：设每箱售价为x元，根据题意得：
(x−40)[30+3(70−x)]=900
化简得：x2−120x+3500=0
解得：x1=50或x2=70(不合题意，舍去)，
∴x=50，
答：当每箱牛奶售价为50元时，平均每天的利润为900元．
(2)由(1)可知，
w=(x−40)[30+3(70−x)]
=−3x2+360x−9600
=−3(x−60)2+1200
∴当x=60时，每天盈利最多．
答：每箱售价为60元时，每天盈利最多．
【解析】(1)设每箱售价为x元，根据每箱(售价−进价)×销售量等于利润900元，解一元二次方程即可；
(2)将(1)中利润的表达式，化简并配方，即可得答案．
本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，明确利润等于每箱的利润乘以销售量以及二次函数的顶点式是解题的关键．
23.【答案】 32 32
【解析】解：(1)①当α=0°时，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=4，
∴AB= 33BC=4 33，
∴AC=83 3，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴BD=CD=12BC=2，AE=CE=12AC=43 3，
∴BDAE=24 33= 32；
故答案为： 32．
②如图1，
，
当α=180°时，
∵将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，
∴CD=2，CE=4 33，
∴AE=AC+CE=4 3，BD=BC+CD=6，
∴BDAE=64 3= 32．
故答案为： 32．
(2)当0°≤α<360°时，BDAE的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵CE=4 33，CD=2，AC=8 33，BC=4，
∴CDEC=BCAC= 32，
∴△ECA∽△DCB，
∴BDAE=CDEC= 32．
(3)2 7或2 3．
①如图3，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∵DE/​/AC，
∴∠DCA=∠EDC=90°，
∵∠ACB=30°，
∴∠DCF=60°，
∵DC=2，
∴CF=1，DF= 3，
∴BF=1+4=5，
∴BD= DF2+BF2= 3+25=2 7；
②如图4，过点D作DF⊥BC交BC于点F，
同理可得，CF=1，DF= 3，
∴BF=3，
∴BD= DF2+BF2=2 3．
故BD的长为2 7或2 3．
(1)①先根据勾股定理求出AC，再利用中点求出BD，AE，即可得出结论；
②先求出BD，AE的长，即可求出BDAE的值；
(2)证明△ECA∽△DCB，可得BDAE=CDEC= 32．
(3)分两种情况，由直角三角形的性质可求出BD的长．
本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，平行线的性质，相似三角形判定和性质，正确作出辅助线，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．