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2023-2024学年河南省南阳市内乡县九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省南阳市内乡县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 4B. 13C. 2D. 8
2.下列各式的计算正确的是( )
A. −4−9= −4 −9=−2−3=23B. 429=213 2
C. 34=2 3D. 311÷ 323= 311÷113=311
3.关于x的方程x2−mx−3=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则csA的值是( )
A. 23B. 45C. 35D. 34
5.电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为( )
A. 3(1+x)=10B. 3(1+x)2=10
C. 3+3(1+x)2=10D. 3+3(1+x)+3(1+x)2=10
6.下列说法中错误的是( )
A. 相似多边形的对应边成比例B. 相似多边形的对应角相等
C. 相似多边形的边数相同D. 对应边成比例的两个多边形是相似多边形
7.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是( )
A. 5m
B. 70m
C. 5m或70m
D. 10m
8.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0,1)，D(0,3)，则△OAB与△OCD的面积的比是( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：9
D. 9：1
9.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP=∠C
B. ∠APB=∠ABC
C. APAB=ABAC
D. APAB=BPBC
10.如图，在等边三角形ABC中，点M，N分别在AB，AC上，沿MN把△AMN进行翻折，使点A的对称点D落在边BC上.若BD：DC=1：3，则AM：AN=( )
A. 1：3
B. 1：9
C. 3：7
D. 5：7
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程5x2−4x−1=0的一次项系数是______．
12.若代数式 x−1有意义，则实数x的取值范围是 ．
13.如图，河堤横断面迎水坡AB的斜坡坡度i=1： 3是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比，若堤高BC=5米，则坡面AB的长度是______米．
14.如图矩形ABCD在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，AB=6，∠ABD=60°，则点D的坐标______ ．
15.在△ABC中，AB=10，AC=5，点M在边AB上，且AM=2，点N在AC边上．当AN=______时，△AMN与原三角形相似．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算
(1) 3+ 27+ 13；
(2)( 2+1)2+( 3+1)( 3−1)．
17.(本小题9分)
下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务．
2x2−3x−5=0
解：x2−32x=52第一步
x2−32x+(34)2=52+(34)2第二步
(x−34)2=4916第三步
x−34=±74第四步
x1=52，x2=−1第五步
(1)任务一：①小颖解方程的方法是______．
A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法
②第二步变形的依据是______；
(2)任务二：请你按要求解下列方程：
①x2+2x−3=0；(公式法)②3(x−2)2=x2−4.(因式分解法)
18.(本小题9分)
阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2；
则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca；
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m、n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m、n；
∴m+n=1，mn=−1；
则m2n+mm2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2= ______ ，x1⋅x2= ______ ；
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求1m+1n的值．
19.(本小题9分)
某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度.东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2m到D处(即ED=2m)，从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处(即CG=4m)，从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
20.(本小题9分)
如图①，在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑——福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年(公元1032年)，学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度.如图②，刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45°，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40°，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度.(参考数据：sin40°=0.64，cs40°=0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数)
21.(本小题9分)
如图，Rt△ABC中，∠B=90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
(1)求证：△CDE∽△CBA；
(2)若AB=3，AC=5，E是BC中点，求DE的长．
22.(本小题10分)
安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
23.(本小题10分)
【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点.直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF=EG．
求证：BD=AC．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A． 4=2，即被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 13= 33，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 2是最简二次根式，故本选项符合题意；
D. 8=2 2，即被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
2.【答案】D
【解析】解：A. −4−9= 49=23，故原选项计算错误，不符合题意；
B. 429= 389= 383，故原选项计算错误，不符合题意；
C. 34= 32，故原选项计算错误，不符合题意；
D. 311÷ 323= 311÷113= 311×311=311，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：Δ=(−m)2−4×1×(−3)=m2+12>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解．
此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，AB=5，
∴csA=ACAB=45．
故选：B．
利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可．
本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟记三角函数的定义是解题的关键，作出图形更形象直观．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
若把增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，
依题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=10．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：A、相似多边形的对应边成比例，正确，本选项不符合题意；
B、相似多边形的对应角相等，正确，本选项不符合题意；
C、相似多边形的边数相同，正确，本选项不符合题意；
D、对应边成比例的两个多边形是相似多边形，错误，对应角不一定相等，本选项符合题意．
故选：D．
根据相似多边形的性质和判定一一判断即可．
本题考查相似多边形的性质和判定，解题的关键是掌握相似多边形的性质以及判定方法．
7.【答案】A
【解析】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，
根据题意得：(100−2x)(50−2x)=3600，
整理得：x2−75x+350=0，
解得：x1=5，x2=70(不符合题意，舍去)，
∴小路的宽是5m．
故选：A．
设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵B(0,1)，D(0,3)，
∴OB=1，OD=3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD=1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9，
故选：C．
根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
9.【答案】D
【解析】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP=∠CAB，
∴当∠ABP=∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；
当∠APB=∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；
当APAB=ABAC时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；
当APAB=BPBC时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
10.【答案】D
【解析】解：连接MD，ND，
∵BD：DC=1：3，
∴设BD=a，则DC=3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA=4a，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AM=DM，AN=DN，
∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，
∵∠MDN=∠CAB=∠ABC=60°，
∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MDB=120°，
∴∠NDC=∠BMD，
∵∠ABC=∠BCA=60°，
∴△BMD∽△CDN，
∴(BM+MD+BD)：(DN+NC+DC)=MD：DN=AM：AN，
即：AM：AN=5：7，
故选：D．
连接MD，ND，设BD=a，则DC=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质得BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通过证明△BMD∽△CDN，根据周长比等于相似比即可求出AM：AN的值．
此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知等边三角形的性质，折叠的性质，证明三角形的相似是解题的关键．
11.【答案】−4
【解析】解：方程5x2−4x−1=0的一次项系数为−4，
故答案为：−4．
一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)，b叫一次项系数．根据方程可直接找到答案．
本题考查了一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数).ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．
12.【答案】x≥1
【解析】解：要使代数式 x−1有意义，必须x−1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件得出x−1≥0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式 a中a≥0是解此题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：∵坡AB的斜坡坡度i=1： 3，
∴BCAC=1 3，即5AC=1 3，
解得，AC=5 3，
由勾股定理得，AB= AC2+BC2=10(米)，
故答案为：10．
根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】(9,0)
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABD=60°，AB=6，
∴OB=AB⋅cs60°=3，BD=ABcs60∘=12，
∴OD=BD−OB=12−3=9，
∴点D的坐标为(9,0)．
故答案为：(9,0)．
由矩形的性质可知∠BAD=90°，再利用AB=6，解直角三角形得OB=3，BD=12，进而可得OD=BD−OB=9，即可求得点D的坐标．
本题考查矩形的性质，解直角三角形，图形与坐标，熟练掌握相关性质及牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
15.【答案】1或4
【解析】解：由题意可知，AB=10，AC=5，AM=2，
①若△AMN∽△ABC，
则AMAB=ANAC
即210=AN5，
解得：AN=1；
②若△AMN∽△ACB，
则AMAC=ANAB，
即25=AN10，
解得：AN=4；
故AN=1或4．
故答案为：1或4．
分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
16.【答案】解：(1) 3+ 27+ 13
= 3+3 3+13 3
=(1+3+13) 3
=133 3；
(2)( 2+1)2+( 3+1)( 3−1)
=2+2 2+1+3−1
=5+2 2．
【解析】(1)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(2)先根据乘法公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
17.【答案】解：(1)①B
②等式的基本性质
(2)①x2+2x−3=0，
a=1，b=2，c=−3，
Δ=22−4×1×(−3)=16>0，
x=−b± b2−4ac2a=−2±42×1=−1±2，
所以x1=1，x2=−3；
②3(x−2)2=x2−4，
3(x−2)2−(x+2)(x−2)=0，
(x−2)(3x−6−x−2)=0，
x−2=0或3x−6−x−2=0，
所以x1=2，x2=4．
【解析】解：(1)①小颖解方程的方法为配方法；
故答案为：B；
②第二步变形的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
(2)见答案。
(1)①利用配方法解方程的方法可以判断；
②根据等边的基本性质求解；
(2)①先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
②先把方程变形为3(x−2)2−(x+2)(x−2)=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
18.【答案】解：(1)32，−12；
(2)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，
∴m+n=32，mn=−12，
∴1m+1n
=n +m mn
=32−12
=−3．
【解析】【分析】
本题主要考查根与系数的关系，整体代入法，分式的化简求值．
(1)根据根与系数的关系进行求解即可；
(2)根据根与系数的关系可得：m+n=32，mn=−12，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．
【解答】
解：(1)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=−−32=32，x1x2=−12=−12；
(2)见答案．
19.【答案】解：设BD=x m，则BC=BD+DG+CG=x+46−2+4=(x+48)m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB//EF，
∴△ABD∽△FED，
∴EFAB=DEBD，即1.5AB=2x，
同理可证△ABC∽△HGC，
∴GHAB=CGBC，即1.5AB=4x+48，
∴2x=4x+48，
解得x=48，
经检验，x=48是原方程的解，
∴1.5AB=248，
∴AB=36m，
∴该古建筑AB的高度为36m．
【解析】设BD=xm，则BC=(x+48)m，通过证明△ABD∽△EFD，得到EFAB=DEBD，即1.5AB=2x，同理得到1.5AB=4x+48，则可建立方程2x=4x+48，解方程即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键．
20.【答案】解：作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，
则四边形DECG为矩形，
∴CG=DE=5，DG=EC=1.3，
设FM=x米，
由题意得，∠BDM=40°，∠BFM=∠BCA=45°，
∴∠CFG=45°，BM=FM=x，
∴GF=GC=5，
∴DF=DG+GF=5+1.3=6.3，
在Rt△BDM中，tan∠BDM=BMDM，
∴DM=BMtan∠BDM≈x0.84，
由题意得，DM−DF=FM，即x0.84−6.3=x，
解得，x=33.075，
则BA=BM+AM≈38(米)，
答：该塔AB的高度约为38米．
【解析】作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，根据矩形的性质得到CG=DE=5，DG=EC=1.3，设FM=x米，根据正切的定义用x表示出DM、BM，结合图形列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，
∴∠CDE=90°=∠B．
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．
(2)解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC= AC2−AB2=4．
∵E是BC中点，
∴CE=12BC=2．
∵△CDE∽△CBA，
∴DEBA=CECA，即DE3=25，
∴DE=2×35=65．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：(1)利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；(2)利用相似三角形的性质求出DE的长．
(1)由DE⊥AC，∠B=90°可得出∠CDE=∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
(2)在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．
22.【答案】解：(1)设一次函数解析式为：y=kx+b (k≠0)，
当x=2，y=120；当x=4，y=140；
∴2k+b=1204k+b=140，
解得：k=10b=100，
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100；
(2)由题意得：
(60−40−x)(10 x+100)=2090，
整理得：x2−10x+9=0，
解得：x1=1，x2=9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x=9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．
(1)设一次函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，由题意得出：当x=2，y=120；当x=4，y=140；得出方程组，解方程组即可；
(2)由题意得出方程(60−40−x)(10 x+100)=2090，解方程即可．
23.【答案】解：【三角形中位线定理】DE//BC，DE=12BC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF//BD，BD=2EF=4，
∴∠ADB=∠AFE=45°，
∵BC=5，CD=3，
∴BD2+CD2=25，BC2=25，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH//AC且MH=12AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)，
同理可得NH//BD且NH=12BD．
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF，
∵MH//AC，NH//BD，
∴∠EFG=∠HMN，∠EGF=∠HNM，
∴∠HMN=∠HNM，
∴MH=NH，
∴AC=BD．
【解析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论；
【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF//BD，BD=2EF=4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，计算即可；
【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH//AC且MH=12AC，NH//BD且NH=12BD，根据等腰三角形的性质即可得结论．
本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 4B. 13C. 2D. 8
2.下列各式的计算正确的是( )
A. −4−9= −4 −9=−2−3=23B. 429=213 2
C. 34=2 3D. 311÷ 323= 311÷113=311
3.关于x的方程x2−mx−3=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则csA的值是( )
A. 23B. 45C. 35D. 34
5.电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为( )
A. 3(1+x)=10B. 3(1+x)2=10
C. 3+3(1+x)2=10D. 3+3(1+x)+3(1+x)2=10
6.下列说法中错误的是( )
A. 相似多边形的对应边成比例B. 相似多边形的对应角相等
C. 相似多边形的边数相同D. 对应边成比例的两个多边形是相似多边形
7.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是( )
A. 5m
B. 70m
C. 5m或70m
D. 10m
8.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0,1)，D(0,3)，则△OAB与△OCD的面积的比是( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：9
D. 9：1
9.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP=∠C
B. ∠APB=∠ABC
C. APAB=ABAC
D. APAB=BPBC
10.如图，在等边三角形ABC中，点M，N分别在AB，AC上，沿MN把△AMN进行翻折，使点A的对称点D落在边BC上.若BD：DC=1：3，则AM：AN=( )
A. 1：3
B. 1：9
C. 3：7
D. 5：7
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程5x2−4x−1=0的一次项系数是______．
12.若代数式 x−1有意义，则实数x的取值范围是 ．
13.如图，河堤横断面迎水坡AB的斜坡坡度i=1： 3是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比，若堤高BC=5米，则坡面AB的长度是______米．
14.如图矩形ABCD在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，AB=6，∠ABD=60°，则点D的坐标______ ．
15.在△ABC中，AB=10，AC=5，点M在边AB上，且AM=2，点N在AC边上．当AN=______时，△AMN与原三角形相似．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算
(1) 3+ 27+ 13；
(2)( 2+1)2+( 3+1)( 3−1)．
17.(本小题9分)
下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务．
2x2−3x−5=0
解：x2−32x=52第一步
x2−32x+(34)2=52+(34)2第二步
(x−34)2=4916第三步
x−34=±74第四步
x1=52，x2=−1第五步
(1)任务一：①小颖解方程的方法是______．
A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法
②第二步变形的依据是______；
(2)任务二：请你按要求解下列方程：
①x2+2x−3=0；(公式法)②3(x−2)2=x2−4.(因式分解法)
18.(本小题9分)
阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2；
则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca；
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m、n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m、n；
∴m+n=1，mn=−1；
则m2n+mm2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2= ______ ，x1⋅x2= ______ ；
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求1m+1n的值．
19.(本小题9分)
某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度.东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2m到D处(即ED=2m)，从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处(即CG=4m)，从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
20.(本小题9分)
如图①，在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑——福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年(公元1032年)，学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度.如图②，刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45°，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40°，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度.(参考数据：sin40°=0.64，cs40°=0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数)
21.(本小题9分)
如图，Rt△ABC中，∠B=90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．
(1)求证：△CDE∽△CBA；
(2)若AB=3，AC=5，E是BC中点，求DE的长．
22.(本小题10分)
安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
23.(本小题10分)
【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点.直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF=EG．
求证：BD=AC．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A． 4=2，即被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 13= 33，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 2是最简二次根式，故本选项符合题意；
D. 8=2 2，即被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
2.【答案】D
【解析】解：A. −4−9= 49=23，故原选项计算错误，不符合题意；
B. 429= 389= 383，故原选项计算错误，不符合题意；
C. 34= 32，故原选项计算错误，不符合题意；
D. 311÷ 323= 311÷113= 311×311=311，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：Δ=(−m)2−4×1×(−3)=m2+12>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解．
此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，AB=5，
∴csA=ACAB=45．
故选：B．
利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可．
本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟记三角函数的定义是解题的关键，作出图形更形象直观．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
若把增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，
依题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=10．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：A、相似多边形的对应边成比例，正确，本选项不符合题意；
B、相似多边形的对应角相等，正确，本选项不符合题意；
C、相似多边形的边数相同，正确，本选项不符合题意；
D、对应边成比例的两个多边形是相似多边形，错误，对应角不一定相等，本选项符合题意．
故选：D．
根据相似多边形的性质和判定一一判断即可．
本题考查相似多边形的性质和判定，解题的关键是掌握相似多边形的性质以及判定方法．
7.【答案】A
【解析】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，
根据题意得：(100−2x)(50−2x)=3600，
整理得：x2−75x+350=0，
解得：x1=5，x2=70(不符合题意，舍去)，
∴小路的宽是5m．
故选：A．
设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵B(0,1)，D(0,3)，
∴OB=1，OD=3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD=1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9，
故选：C．
根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
9.【答案】D
【解析】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP=∠CAB，
∴当∠ABP=∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；
当∠APB=∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；
当APAB=ABAC时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；
当APAB=BPBC时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
10.【答案】D
【解析】解：连接MD，ND，
∵BD：DC=1：3，
∴设BD=a，则DC=3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA=4a，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AM=DM，AN=DN，
∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，
∵∠MDN=∠CAB=∠ABC=60°，
∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MDB=120°，
∴∠NDC=∠BMD，
∵∠ABC=∠BCA=60°，
∴△BMD∽△CDN，
∴(BM+MD+BD)：(DN+NC+DC)=MD：DN=AM：AN，
即：AM：AN=5：7，
故选：D．
连接MD，ND，设BD=a，则DC=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质得BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通过证明△BMD∽△CDN，根据周长比等于相似比即可求出AM：AN的值．
此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知等边三角形的性质，折叠的性质，证明三角形的相似是解题的关键．
11.【答案】−4
【解析】解：方程5x2−4x−1=0的一次项系数为−4，
故答案为：−4．
一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)，b叫一次项系数．根据方程可直接找到答案．
本题考查了一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数).ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．
12.【答案】x≥1
【解析】解：要使代数式 x−1有意义，必须x−1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件得出x−1≥0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记代数式 a中a≥0是解此题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：∵坡AB的斜坡坡度i=1： 3，
∴BCAC=1 3，即5AC=1 3，
解得，AC=5 3，
由勾股定理得，AB= AC2+BC2=10(米)，
故答案为：10．
根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】(9,0)
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABD=60°，AB=6，
∴OB=AB⋅cs60°=3，BD=ABcs60∘=12，
∴OD=BD−OB=12−3=9，
∴点D的坐标为(9,0)．
故答案为：(9,0)．
由矩形的性质可知∠BAD=90°，再利用AB=6，解直角三角形得OB=3，BD=12，进而可得OD=BD−OB=9，即可求得点D的坐标．
本题考查矩形的性质，解直角三角形，图形与坐标，熟练掌握相关性质及牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
15.【答案】1或4
【解析】解：由题意可知，AB=10，AC=5，AM=2，
①若△AMN∽△ABC，
则AMAB=ANAC
即210=AN5，
解得：AN=1；
②若△AMN∽△ACB，
则AMAC=ANAB，
即25=AN10，
解得：AN=4；
故AN=1或4．
故答案为：1或4．
分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
16.【答案】解：(1) 3+ 27+ 13
= 3+3 3+13 3
=(1+3+13) 3
=133 3；
(2)( 2+1)2+( 3+1)( 3−1)
=2+2 2+1+3−1
=5+2 2．
【解析】(1)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(2)先根据乘法公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
17.【答案】解：(1)①B
②等式的基本性质
(2)①x2+2x−3=0，
a=1，b=2，c=−3，
Δ=22−4×1×(−3)=16>0，
x=−b± b2−4ac2a=−2±42×1=−1±2，
所以x1=1，x2=−3；
②3(x−2)2=x2−4，
3(x−2)2−(x+2)(x−2)=0，
(x−2)(3x−6−x−2)=0，
x−2=0或3x−6−x−2=0，
所以x1=2，x2=4．
【解析】解：(1)①小颖解方程的方法为配方法；
故答案为：B；
②第二步变形的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
(2)见答案。
(1)①利用配方法解方程的方法可以判断；
②根据等边的基本性质求解；
(2)①先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
②先把方程变形为3(x−2)2−(x+2)(x−2)=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
18.【答案】解：(1)32，−12；
(2)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，
∴m+n=32，mn=−12，
∴1m+1n
=n +m mn
=32−12
=−3．
【解析】【分析】
本题主要考查根与系数的关系，整体代入法，分式的化简求值．
(1)根据根与系数的关系进行求解即可；
(2)根据根与系数的关系可得：m+n=32，mn=−12，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．
【解答】
解：(1)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=−−32=32，x1x2=−12=−12；
(2)见答案．
19.【答案】解：设BD=x m，则BC=BD+DG+CG=x+46−2+4=(x+48)m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB//EF，
∴△ABD∽△FED，
∴EFAB=DEBD，即1.5AB=2x，
同理可证△ABC∽△HGC，
∴GHAB=CGBC，即1.5AB=4x+48，
∴2x=4x+48，
解得x=48，
经检验，x=48是原方程的解，
∴1.5AB=248，
∴AB=36m，
∴该古建筑AB的高度为36m．
【解析】设BD=xm，则BC=(x+48)m，通过证明△ABD∽△EFD，得到EFAB=DEBD，即1.5AB=2x，同理得到1.5AB=4x+48，则可建立方程2x=4x+48，解方程即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键．
20.【答案】解：作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，
则四边形DECG为矩形，
∴CG=DE=5，DG=EC=1.3，
设FM=x米，
由题意得，∠BDM=40°，∠BFM=∠BCA=45°，
∴∠CFG=45°，BM=FM=x，
∴GF=GC=5，
∴DF=DG+GF=5+1.3=6.3，
在Rt△BDM中，tan∠BDM=BMDM，
∴DM=BMtan∠BDM≈x0.84，
由题意得，DM−DF=FM，即x0.84−6.3=x，
解得，x=33.075，
则BA=BM+AM≈38(米)，
答：该塔AB的高度约为38米．
【解析】作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，根据矩形的性质得到CG=DE=5，DG=EC=1.3，设FM=x米，根据正切的定义用x表示出DM、BM，结合图形列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，
∴∠CDE=90°=∠B．
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．
(2)解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC= AC2−AB2=4．
∵E是BC中点，
∴CE=12BC=2．
∵△CDE∽△CBA，
∴DEBA=CECA，即DE3=25，
∴DE=2×35=65．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：(1)利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；(2)利用相似三角形的性质求出DE的长．
(1)由DE⊥AC，∠B=90°可得出∠CDE=∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；
(2)在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．
22.【答案】解：(1)设一次函数解析式为：y=kx+b (k≠0)，
当x=2，y=120；当x=4，y=140；
∴2k+b=1204k+b=140，
解得：k=10b=100，
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100；
(2)由题意得：
(60−40−x)(10 x+100)=2090，
整理得：x2−10x+9=0，
解得：x1=1，x2=9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x=9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．
(1)设一次函数解析式为：y=kx+b(k≠0)，由题意得出：当x=2，y=120；当x=4，y=140；得出方程组，解方程组即可；
(2)由题意得出方程(60−40−x)(10 x+100)=2090，解方程即可．
23.【答案】解：【三角形中位线定理】DE//BC，DE=12BC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF//BD，BD=2EF=4，
∴∠ADB=∠AFE=45°，
∵BC=5，CD=3，
∴BD2+CD2=25，BC2=25，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH//AC且MH=12AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)，
同理可得NH//BD且NH=12BD．
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF，
∵MH//AC，NH//BD，
∴∠EFG=∠HMN，∠EGF=∠HNM，
∴∠HMN=∠HNM，
∴MH=NH，
∴AC=BD．
【解析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论；
【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF//BD，BD=2EF=4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，计算即可；
【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH//AC且MH=12AC，NH//BD且NH=12BD，根据等腰三角形的性质即可得结论．
本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
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