2024年高考数学周训练【2】

这是一份2024年高考数学周训练【2】，共13页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（ ）
A．7B．8C．15D．16
2．已知集合，，若，则a等于（ ）
A．或2B．0或C．2D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．若集合，，则（ ）
A．B．C．或D．
5．已知集合，那么集合为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．如图所示，在中，，则（ ）

A．B．
C．D．
8．已知，是非零向量，且，不共线，，，若向量与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C．D．
9．在正三棱柱中，，点分别为棱的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正三棱柱中，若,则与所成角的大小为 （ ）
A．B．C．D．
11．设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ）
A．1B．C．D．
13．已知函数在处有极值，则（ ）
A．B．C．D．
14．若函数处有极大值，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
15．已知函数在处取得极值1.
(1)求、b的值；
.
16．已知函数，其中.
(1)若在处取得极值，求a的值；
17．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，分别是的中点，其中.

(1)求证：平面PDB；
(2)求证：平面PDB.
(3)求点到直线的距离
(4)求直线与直线所成角的正弦值
参考答案：
1．D
【分析】根据已知，只需考虑元素3，4，5，6的情况即可.
【详解】由已知可得，1和2一定是集合的元素，所以只需要考虑剩余元素3，4，5，6的情况即可.
又集合的子集个数为，所以所有满足条件的集合的个数是16.
故选：D.
2．C
【分析】利用相等集合求出a值，再验证即得.
【详解】集合，，由，得，解得或，
当时，集合中元素，与集合元素的互异性矛盾，
当时，，符合题意，
所以.
故选：C
3．B
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得或，
所以或，
所以，
又，所以.
故选：B
4．D
【分析】先求出集合，再根据补集和并集的定义即可得解.
【详解】，
或，则，
所以.
故选：D.
5．D
【分析】根据集合描述，联立二元一次方程求解，即可得.
【详解】由，故.
故选：D
6．B
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】由，
得，
因为，所以，解得.
故选：B.
7．A
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.
8．C
【分析】根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】由向量与互相垂直，且，，
则，解得．
故选：C．
9．C
【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可求解.
【详解】取的中点，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以令，解得，
所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
故选：C.

10．C
【分析】分别取的中点，连接，把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，在中，结合余弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，分别取的中点，连接，
可得且，
所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设，
因为三棱柱为正三棱柱，
因为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
再取的中点，连接，可得，
因为底面，所以底面，
在直角中，
可得，
所以，所以，
所以异面直线与所成的角为.
故选：C.
11．D
【分析】求导，令，求得，则可求，进而求出切线方程.
【详解】因为，
所以，
令，
，，
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
故选：D
12．C
【分析】求导得切点处的导数值，由点斜式求解切线方程，求出截距即可求解面积.
【详解】，则，切点坐标为，
又，则切线斜率，
所以曲线在点处的切线是，即，
取，得，取，得，
故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：.
故选：C.
13．A
【分析】函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0.
【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意，
故选：A
14．D
【分析】由导函数在2处的函数值为0求出c，再检验在处是否取得极大值即可得解.
【详解】函数，
依题意得，即或，
时，，
当时，，当时，，
则在处取极小值，不符合条件，
时，，
当时，，当时，，
则在处取极大值，符合条件，
所以常数的值为6.
故选：D.
15．(1)，
(2)最大值为1，最小值为
【分析】（1）由题意，根据极值点、极值的含义得，可求出、的值，再利用导数与函数极值点之间的关系验证即可；
（2）利用导数求出函数在区间上的单调性，即可求得函数在上的最大值和最小值.
【详解】（1）因为，该函数的定义域为，
则，
因为函数在处取得极值1，
则，解得，，则，
所以，，令，可得，列表如下：
所以，函数在取得极大值，合乎题意，故，.
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又因为，，
因为，
所以，故.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，由，得到方程，求出，并进行检验；
（2）求定义域，求导，分，与三种情况，求出函数的单调性.
【详解】（1），
由题意，，
解得，
当时，，定义域为，
，令，解得，
令，解得，故为的极值点，
满足题意，故
（2）定义域为，
，，
①时，，
令，解得或，令，解得，
函数在，内单调递增，在内单调递减；
②当时，，故函数在上单调递增；
③当时，，令，解得或，令，解得，
故在，内单调递增，在内单调递减．
综上：当时，在，内单调递增，在内单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，内单调递增，在内单调递减．
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意，结合线面平行的判定定理，即可得证；
（2）根据题意，结合线面垂直的判定定理，即可得证；
（3）取的中点，连接，作，得到即为到的距离，利用余弦定理求得的值，得到的值，进而求得到的距离.
（4）由（1）知，直线平面，得到，进而证得，得到直线与直线所成角为，即可求解.
【详解】（1）证明：在中，因为分别是的中点，可得，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：因为平面，平面，所以，
又因为为正方形，可得，
因为，且平面，
所以平面.
（3）解：取的中点，连接，
因为分别为的中点，可得,且，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
又由，可得，
在直角中，，所以,
在直角中，
过点作，则即为到的距离，
在中，由余弦定理得，
则，
则，即到的距离.
（4）解：由（1）知，直线平面，因为平面,所以，
又因为分别是的中点，可得，
所以，所以直线与直线所成角为
所以直线与直线所成角的正弦值为.

1
+
0
增
极大值
减