2022-2023学年河南省驻马店市确山县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省驻马店市确山县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米(1纳米=10−9米)，120纳米用科学记数法可表示为( )
A. 12×10−6米B. 1.2×10−7米C. 1.2×10−8米D. 120×10−9米
3.下列计算正确的是( )
A. b3⋅b3=b6B. x4÷x4=0C. (−2x2)2=−4x4D. aa2−a−1a=−1
4.如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是( )
A. SASB. AASC. SSSD. ASA
5.在函数y= x+3x中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥3B. x≥−3C. x≥3且x≠0D. x≥−3且x≠0
6.如图，直线a/​/b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为( )
A. 80°
B. 70°
C. 60°
D. 50°
7.下列式子从左到右变形正确的是( )
A. ab=a+2b+2B. ab=a2b2C. a2−b2a−b=a−bD. ab=abb2
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°.分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E.若CD=3，则BD的长为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
9.一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是( )
A. 420x=420x−10+1B. 420x+1=420x+10
C. 420x=420x+10+1D. 420x+1=420x−10
10.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点D，过点D作EF/​/BC，交AB于E，交AC于F，若BE=8，CF=6，则EF的长是( )
A. 4
B. 2.5
C. 1.5
D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：xy2−x= ．
12.剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为(2m,−n)，其关于y轴对称的点F坐标为(3−n,−m+1)，则(m−n)2023的值为______ ．
13.如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD=5，AB=20，则△AOB的面积是______．
14.如图，有A，B两个正方形，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和16，则正方形A，B的面积之和为______．
15.如图所示，∠AOB=60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP=2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解分式方程．
(1)xx+2+5(x−1)(x+2)=1；
(2)3x2−3x−x3−x=1．
17.(本小题8分)
先化简x2+4x+4x+1÷(x−1−3x+1)，然后从−318.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N，连接NB．
(1)若∠ABC=65°，求∠NBC的度数．
(2)若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.求BC的长．
19.(本小题9分)
如图，平面直角坐标系中，A(−2,1)，B(−3,4)，C(−1,3)，过点(1,0)作x轴的垂线l．
(1)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
(2)直线l上找一点Q，使得△QAC的周长最短，在图中标记出点Q的位置．
(3)在△ABC内有一点P(m,n)，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为(______，______)(结果用含m，n的式子表示)．
20.(本小题10分)
如图，△ABC为任意三角形，以边AB、AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE并且相交于点P．
(1)求证：CD=BE；
(2)求∠BPC的度数．
21.(本小题10分)
某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程.当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
22.(本小题10分)
阅读材料利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+4x−5=x2+4x+22−22−5=(x+2)2−9=(x+2+3)(x+2−3)=(x+3)(x−1)
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式(利用公式法)：x2+2x−8；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2−10a−12b+61=0，求△ABC的最大边c的取值范围．
(3)已知P=x2−y2+6x−1，Q=2x2+4y+13，试比较P，Q的大小．
23.(本小题9分)
已知：在等边△ABC中，点E是AB边上的一动点(E与A、B两点均不重合)，点在CB的延长线上，且ED=EC．
(1)如图1，当E是AB边的中点时，则线段AE与BD的大小关系是：AE ______ BD(填“>”“<”或“=”)；
(2)如图2，当E是AB边上任意一点时，(1)中的结论是否成立？若不成立，请直接写出AE与BD的数量关系：若成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：120纳米=120×10−9米=1.2×10−7米．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：A、b3⋅b3=b6，该选项正确，符合题意；
B、x4÷x4=1，该选项错误，不符合题意；
C、(−2x2)2=4x4，该选项错误，不符合题意；
D、aa2−a−1a=aa2−a2−aa2=2a−1，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
根据单项式乘单项式、同底数幂的乘法和积的乘方和分式运算进行解答．
此题考查了分式的加减，同底数幂的乘法和除法，积的乘方，关键是根据分式的加减、同底数幂的乘法和积的乘方法则解答．
4.【答案】A
【解析】解：在△ABC和△DCB中
∵AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
故选：A．
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥−3且x≠0，
故选：D．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠A+∠3+∠2=180°，
∴∠3=180°−40°−60°=80°，
∵a/​/b，
∴∠1=∠3=80°．
故选：A．
先根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3=80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了平行线的性质．
7.【答案】D
【解析】解：A、分式分子分母同时加2，该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
B、分式分子分母分别乘以a，b，该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
C、因式分解以后分子分母同时除以(a−b)，答案应该是a+b，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、分子分母都乘以b(b≠0)，分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
根据分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
8.【答案】C
【解析】解：连接AD，如图，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
由作法得DE垂直平分AC，
∴DA=DC=3，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=120°−30°=90°，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，
∴BD=2AD=6．
故选：C．
连接AD，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠B=∠C=30°，再由作法得DE垂直平分AC，所以DA=DC=3，所以∠DAC=∠C=30°，从而得到∠BAD=90°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求BD的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
9.【答案】C
【解析】解：∵这辆汽车比原计划每小时多行10km，且这辆汽车原计划的速度是x km/h，
∴这辆汽车提速后的速度是(x+10)km/h．
依题意得：420x=420x+10+1，
故选：C．
根据提速后及原计划车速间的关系，可得出这辆汽车提速后的速度是(x+10)km/h，利用时间=路程÷速度，结合提速后可提前1小时到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵BD平分∠ABC，BE=8，CF=6，
∴∠ABD=∠DBC，
∵EF/​/BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠ABD=∠EDB，
∴EB=ED=8，
同理可得FD=FC=6，
∴EF=EO−FO
=EB−FC
=8−6
=2．
故选：D．
由平行线的性质和角平分线的定义可证BE=DE=8，DF=CF=6，即可得出答案．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键．
11.【答案】x(y−1)(y+1)
【解析】【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．
12.【答案】1
【解析】解：∵E(2m,−n)，F(3−n,−m+1)关于y轴对称，
∴−n=−m+12m=n−3，
解得，m=−4n=−5，
∴(m−n)2023=(−4+5)2023=1，
故答案为：1．
利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论．
本题考查坐标与图形变化−对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
13.【答案】50
【解析】【分析】
此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE=OD解答．
过O作OE⊥AB于点E，根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】
解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABD，OD⊥BC于点D，
∴OD=OE=5，
∴△AOB的面积=12AB⋅OE=12×20×5=50，
故答案为：50．
14.【答案】21
【解析】解：设正方形A和B的边长各为a、b，
由题意得得(a−b)²=a²−2ab+b²=5，
(a+b)²−(a²+b²)=a²+2ab+b²−a²−b²=2ab=16，
即a²−2ab+b²=5，
2ab=16，
则(a²−2ab+b²)+2ab=a²+b²=5+16=21．
即a²+b²=21，
故答案为：21．
设正方形A和B的边长各为a、b，得(a−b)²=5，(a+b)²−(a²+b²)=16，由完全平方公式可求得结果．
此题考查了利用数形结合进行整式计算的能力，关键是从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义．
15.【答案】1
【解析】解：作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P′′，连接P′P′′与OA，OB分别交于点M与N
则P′P′′的长即为△PMN周长的最小值，
连接OP′，OP′′，过点O作OC⊥P′P′′于点C
由对称性可知OP=OP′=OP′′，
∵OP=2，∠AOB=60°，
∴∠P′=∠P′′=30°，OP′=OP′′=2，
∴OC=12OP′=1；
故答案为1．
作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P′′，连接P′P′′与OA，OB分别交于点M与N则P′P′′的长即为△PMN周长的最小值；连接OP′，OP′′，过点O作OC⊥P′P′′，在Rt△OCP′中求出OC即可．
本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称确定△PMN周长取最小值的位置是解题的关键．
16.【答案】解：(1)去分母：x(x−1)+5=(x−1)(x+2)，
去括号：x2−x+5=x2−x+2x−2，
合并：2x=7，
系数化为1：x=72，
检验：把x=72代入最简公分母(x−1)(x+2)中，(x−1)(x+2)≠0，
∴x=72是原方程的解；
(2)3x(x−3)+xx−3=1，
去分母得：3+x2=x2−3x，
合并同类项得：−3x=3，
系数化为1得：x=−1，
检验，把x=−1代入最简公分母x(x−3)中，x(x−3)≠0，
∴原方程的解是x=−1．
【解析】(1)根据去分母、去括号、合并同类项、系数化为1计算即可；
(2)根据去分母、去括号、合并同类项、系数化为1计算即可．
本题考查解分式方程，掌握运算法则是关键．
17.【答案】解：x2+4x+4x+1÷(x−1−3x+1)
=(x+2)2x+1÷[x(x+1)x+1−x+1x+1−3x+1]
=(x+2)2x+1÷(x+2)(x−2)x+1
=(x+2)2x+1×x+1(x+2)(x−2)
=x+2x−2，
∵−3∴x=−2，−1，0，1，2，
∵x+1≠0，x+2≠0，x−2≠0，
∴x≠−1，±2，
当x=0时，原式=0+20−2=−1．
【解析】根据分式的运算进行化简，再根据分母不为零代入一个数求解．
此题主要考查分式的混合运算以及化简求值，解题的关键是熟知分式运算法则．
18.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=50°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∴∠ABN=∠A=50°，
∴∠NBC=∠ABC−∠ABN=65°−50°=15°；
(2)①∵AN=BN，
∴BN+CN=AN+CN=AC，
∵AB=AC=8cm，
∴BN+CN=8cm，
∵△NBC的周长是14cm．
∴BC=14−8=6cm．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，求得∠A=50°，根据线段的垂直平分线的性质得出AN=BN，进而得出∠ABN=∠A=50°，根据∠NBC=∠ABC−∠ABN解答即可；
(2)根据△NBC的周长=BN+CN+BC=AN+NC+BC=AC+BC就可求得．
本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及轴对称的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
A1(4,1)，B1(5,4)，C1(3,3)；
(2)如图，点Q即为所求；
(3)−m+2， n
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)P1的坐标为(−m+2,n)．
故答案为：−m+2，n．
(1)根据轴对称的性质即可画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1，进而写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)连接AC1交直线l于点Q，根据两点之间线段最短即可使得△QAC的周长最短；
(3)结合(1)，根据轴对称的性质即可得点P关于直线l的对称点P1的坐标．
本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
20.【答案】(1)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴CD=BE．
(2)解：由(1)得∠ADC=∠ABE，
∴∠BPC=∠PBD+∠PDB=∠ABD+∠ABE+∠PDB=∠ABD+∠ADC+∠PDB=∠ABD+∠ADB，
∵∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠BPC=120°．
【解析】(1)由△ABD和△ACE都是等边三角形得AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△DAC≌△BAE；
(2)由∠ADC=∠ABE推导出∠BPC=∠PBD+∠PDB=∠ABD+∠ADB，因为∠ABD=∠ADB=60°，所以∠BPC=120°．
此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设二号施工队单独施工需要x天，
根据题意得：30−830+30−8−10x=1，
解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天．
(2)根据题意得：1÷(130+145)=18(天)，
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．
【解析】点拨
(1)设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列方程即可得到结论；
(2)根据题意列式计算即可．
本题考查了分式方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
22.【答案】解：(1)x2+2x−8
=x2+2x+12−12−8
=(x+1)2−9
=(x+1+3)(x+1−3)
=(x+4)(x−2)；
(2)∵a2+b2−10a−12b+61=0，
∴a2−10a+52+b2−12b+62=0，
∴(a−5)2+(b−6)2=0，
∵(a−5)2≥0，(b−6)2≥0，
∴(a−5)2=(b−6)2=0，
∴a−5=0，b−6=0，
∴a=5，b=6，
∵b−a∴1∵c是最大边，
∴6≤c<11；
(3)∵P=x2−y2+6x−1，Q=2x2+4y+13，
∴P−Q=x2−y2+6x−1−2x2−4y−13
=−x2+6x−y2−4y−14
=−x2+6x−9−y2−4y−4−1
=−(x−3)2−(y+2)2−1，
∵(x−3)2≥0，(y+2)2≥0，
∴−(x−3)2−(y+2)2≤0，−(x−3)2−(y+2)2−1<0，
∴P−Q<0，
∴P【解析】(1)仿照题意进行求解即可；
(2)利用完全平方公式将所给式子变形为(a−5)2+(b−6)2=0进而求出a、b的值，再根据三角形三边的关系求解即可；
(3)利用作差法求出P−Q=−(x−3)2−(y+2)2，据此即可得到答案．
本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，平方的非负性以及比较整式的大小，熟知完全平方公式是解题的关键．
23.【答案】=
【解析】解：(1)∵在等边△ABC中，E是AB边的中点，
∴∠BCE=12∠ACB=30°，∠ABC=60°，AE=BE，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD=30°，
∴∠DEB=∠ABC−∠EDC=30°，
∴∠DEB=∠EDC，
∴BD=BE，
∴BD=AE，
故答案为：=；
(2)(1)中的结论成立，理由如下：
过点E作EF/​/BC交AC于点F，
∴∠AFE=∠ACB，∠AEF=∠ABC，∠FEC=∠ECB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠EFC=120°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC
在△BDE和△FEC中，
∠DBE=∠EFC=120°∠D=∠FECED=CE，
∴△BDE≌△FEC(AAS)，
∴BD=FE，
∴AE=BD．
(1)先根据等边三角形的性质得到∠BCE=12∠ACB=30°，∠ABC=60°，AE=BE，再由ED=EC得到∠EDC=∠ECD=30°，进而利用三角形外角的性质求出∠DEB=∠EDC=30°，则BD=BE，进而可得BD=AE；
(2)过点E作EF/​/BC交AC于点F，则∠AFE=∠ACB，∠AEF=∠ABC，∠FEC=∠ECB，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠ACB=60°，进而得到∠A=∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠EFC=120°，进一步证明△AEF是等边三角形，则AE=EF=AF，再证明△BDE≌△FEC得到BD=FE，即可证明AE=BD．
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，平行线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．