2022-2023学年安徽省铜陵市铜官区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省铜陵市铜官区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2022年举办的北京冬奥会极大的推动了世界冰雪运动的发展.在此之前，北京进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,m)，B(3,m)，若点M(−2,y1)，N(−1,y2)，K(8,y3)也在二次函数y=x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是( )
A. y13.在校田径运动会上，小明和其他三名选手参加100米预赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若小明首先抽签，则小明抽到1号跑道的概率是( )
A. 116B. 14C. 13D. 12
4.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=2，∠B=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△AB′C′，若P为CB上一动点，旋转后点P的对应点为点P′，则线段PP′长度的最小值是( )
A. 3
B. 3 3
C. 4
D. 4 3
5.一次函数y=cx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能为( )
A. B.
C. D.
6.某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二，三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数为x，则由题意可得方程为( )
A. 80(1+x)2=340B. 80+80(1+x)2=340
C. 80(1+x)+80(1+x)2=340D. 80+80(1+x)+80(1+x)2=340
7.如图，将△ABC绕点B(1,0)旋转180°得到△A′B′C′，点A的坐标为(m,n)，则点A′的坐标为( )
A. (−m−4,−n)
B. (−m+2,−n)
C. (−m−2,−n)
D. (−m+4,−n)
8.如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与BC相切于点B，CO的延长线交⊙O于点E，连接AE，若AB=2，则图中阴影的面积为( )
A. π2
B. π
C. 2π2
D. 2π
9.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数y=kx的图象上，若菱形的边长为4，则k值为( )
A. 4 3
B. 2 3
C. −4 3
D. −2 3
10.如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止.设点P的运动时间是x(s)时，△APQ的面积是y(cm2)，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.“清明时节雨纷纷”是______事件(填“必然”、“不可能”、“随机”)
12.设x1，x2是一元二次方程2x2−3x−10=0的两根，则2x12−2x1+x2=______．
13.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=______°.
14.如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在函数y=3x(x>0)与y=−7x(x<0)的图象上，点P在x轴上．若AB/​/x轴．则△PAB的面积为______．
15.如图，抛物线y=14x2−4与x轴交于A、B两点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是______ ．
16.已知函数y=(x−1)2−1,(x≤3)(x−5)2−1,(x>3)，若使y=k成立的x值恰好有2个，则k的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
解下列方程：
(1)x2−4x−8=0；
(2)3x−6=x(x−2)．
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程k2x2+(1−2k)x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围．
(2)当k为何值时，|x1+x2|−2x1x2=−24．
19.(本小题8分)
从2021年起，某省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
(1)若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是______ ；
(2)若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选择化学、生物的概率．
20.(本小题8分)
如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF=∠CAE，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BF=10，EF=20，求⊙O的半径．
21.(本小题7分)
如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=12x(x>0)的图象交于A(m,6)，B(n,3)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若M是x轴上一点，S△MOB=S△AOB，求点M的坐标；
(3)当x>0时，根据图象直接写出kx+b−12x>0时，x的取值范围．
22.(本小题7分)
为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？
(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
23.(本小题7分)
在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．

(1)如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，连接DF．
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE=3，CE=7时，求DE的长；
(2)如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD=3，BC=9时，求DE的长______ (画出图形，做必要标记，不必写过程)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是中心对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合；轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
本题考查中心对称图形和轴对称图形，掌握相关定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,m)，B(3,m)，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∵M(−2,y1)，N(−1,y2)，K(8,y3)，
∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，
∴y2故选B．
利用A点与B点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标特征满足其解析式．
3.【答案】B
【解析】解：小明选择跑道有4种结果，抽到跑道1只有一种结果，
小明抽到1号跑道的概率是14，
故选：B．
根据概率概率=所求情况数与总情况数之比．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】A
【解析】解：过点A作AH⊥PP′于H，如图所示：
由题意得：∠PAP′=120°，AP=AP′，
∴∠APP′=30°，
∵AH⊥PP′，
∴AH=12PA,PH=P′H= 3AH= 32PA，
∴PP′= 3PA，
当PA⊥BC时，PA有最小值，
即：PAmin= 3PC= 32AC= 3，
∴PP′min= 3× 3=3，
故选：A．
证PP′= 3PA，利用“垂线段最短”即可求解．
本题考查了旋转的性质、含30°的直角三角形、垂线段最短等知识点．掌握相关结论是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、由抛物线可知，a>0，b<0，c>0，由直线可知，b>0，错误；
B、由抛物线可知，a>0，b<0，c>0，由直线可知，c>0，b<0，正确；
C、由抛物线可知，a<0，b>0，c<0，由直线可知，c>0，b>0，错误；
D、由抛物线可知，a<0，b=0，c>0，由直线可知，c>0，b>0，错误．
故选：B．
先由二次函数y=ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=cx+b图象相比较看是否一致．
本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6.【答案】D
【解析】解：设月平均增长率的百分数为x，
∴80+80(1+x)+80(1+x)2=340．
故选：D．
设月平均增长率的百分数为x，根据某企业今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，可列方程求解．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．
7.【答案】B
【解析】解：设A′的坐标为(a,b)，
∵A和A′关于点B(1,0)对称．
∴m+a2=1，n+b2=0，
解得a=−m+2，b=−n．
点A′的坐标(−m+2,−n)．
故选：B．
设A′的坐标为(a,b)，由于A、A′关于B点对称，则m+a2=1，n+b2=0，解得即可．
本题考查中心对称的性质，要根据中心对称的性质，且弄清中心对称的点的坐标特征．
8.【答案】A
【解析】解：连接OB，
∴OB=OE=OA，
∵BC与⊙O相切于B，
∴OB⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC/​/OA，OC/​/AB，
∴∠BOA=∠OBC=90°，
∵OB=OA，AB=2，
∴∠OAB=∠OBA=45°，OA=OB= 2，即r= 2，
作OF⊥BE于F，
∵OA/​/BC，
∴∠COB=∠OBA=45°，
∴∠EOB=180°−∠COB=180°−45°=135°，
∴S扇形OBE=135π( 2)2360=34π，S△OBE=12absinC=12× 2× 2⋅sin(135°)= 22，S扇形OEA=45π( 2)2360=14π，
∴S阴=S扇OBE−S△OBE−(S扇OEA−S△OEA)=34π− 22−14π+ 22=24π=12π，
故选A．
连接OB，根据平行四边形的判定及平行线的性质得出r= 2，作OF⊥BE于F，根据S阴=S扇OBE−S△OBE−(S扇OEA−S△OEA)求解即可．
本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．
9.【答案】C
【解析】解：∵在菱形ABOC中，∠A=60°，菱形边长为4，
∴OC=4，∠COB=60°，
∴点C的坐标为(−2,2 3)，
∵顶点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=−2×2 3=−4 3，
故选：C．
根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标，利用反比例函数的性质解答．
10.【答案】A
【解析】解：①当点Q在AD上运动时，即0≤x≤1：
y=12×AP×AQ=12×2x⋅x=x2；
②当点Q在CD上运动时，即1y=12×AP×AD=12×x×2=x；
③当点Q在CB上运动时，即3y=12×AP×BQ=12×x×(8−2x)=−x2+4x；
综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意，
故选：A．
分别讨论点Q在AD，CD，CB上运动的情况即可求解．
本题考查函数图象与面积问题．分类讨论是解决本题的思路．
11.【答案】随机
【解析】【分析】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】
解：清明时节雨纷纷”是随机事件，
故答案为随机．
12.【答案】232
【解析】解：根据题意知2x12−3x1−10=0，x1+x2=32，
则2x12=3x1+10，
所以原式=3x1+10−2x1+x2
=x1+x2+10
=32+10
=232，
故答案为：232．
根据方程的解的概念得出2x12=3x1+10，根据根与系数的关系得出x1+x2=32，代入原式计算即可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
13.【答案】215
【解析】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠E=180°+35°=215°．
故答案为：215．
连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：连接OA、OB，设AB交y轴于点E，如图，
∵AB/​/x轴，
∴S△OAE=12×|3|=1.5，S△OBE=12×|−7|=3.5，
∴S△ABP=S△OAB=S△OAE+S△OBE=1.5+3.5=5．
故答案为：5．
连接OA、OB，如图，利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE=1.5，S△OBE=3.5，所以S△OAB=5，进而得出结果．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
15.【答案】32
【解析】解：如图，连接BP，
当y=0时，14x2−4=0，解得x1=4，x2=−4，
则A(−4,0)，B(4,0)，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ=12BP，
当BP最小时，OQ最小，
连接BC交圆于P时，PB最小，
∵BC= 32+42=5，
∴BP的最小值=5−2=3，
∴线段OQ的最小值为32．
故答案为：32．
连接BP，先解方程14x2−4=0得A(−4,0)，B(4,0)，再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ=12BP，利用点与圆的位置关系，连接BC交圆于P时，PB最小，然后计算出BP的最小值即可得到线段OQ的最小值．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
16.【答案】k=−1或k>3
【解析】解：函数y=(x−1)2−1,(x≤3)(x−5)2−1,(x>3)的图象如图：
根据图象知道当y=−1或y>3时，对应成立的x值恰好有2个，
所以k=−1或k>3．
故答案为：k=−1或k>3．
首先在坐标系中画出已知函数y=(x−1)2−1,(x≤3)(x−5)2−1,(x>3)的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有2个的k值．
此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
17.【答案】解：(1)x2−4x−8=0，
x2−4x=8，
x2−4x+4=8+4，
(x−2)2=12，
∴x−2=± 12，x=±2 3+2，
即x1=2 3+2,x2=−2 3+2；
(2)3x−6=x(x−2)，
3(x−2)−x(x−2)=0，
(x−2)(3−x)=0，
∴x−2=0或3−x=0，
即x1=2，x2=3．
【解析】(1)运用配方法解一元二次方程即可；
(2)运用因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种解法是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=(1−2k)2−4k2=1−4k>0，
解得：k<14．
又∵k2≠0，
∴k的取值范围是k<14且k≠0．
(2)∵方程k2x2+(1−2k)x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2=2k−1k2，x1⋅x2=1k2，
∵|x1+x2|−2x1x2=−24，
∴|2k−1k2|−2⋅1k2=−24，即|2k−1||k2|−2k2=−24，
∴|2k−1|=−24k2+2，
①当2k−1≥0，即k≥12时，与(1)中求得的k<14相矛盾，故舍去；
②当2k−1<0，即k<12时，有−(2k−1)=−24k2+2，
解得：k1=14，k2=−16，
∵k<14，
∴k1=14不合题意，故舍去．
经检验k2=−16是方程|2k−1||k2|−2k2=−24的解．
综上，当k=−16时，|x1+x2|−2x1x2=−24．
【解析】(1)由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式，解不等式即可求出k的值，再根据二次项系数非零，即可得出结论；
(2)由根与系数的关系可得出x1+x2=2k−1k2、x1⋅x2=1k2，结合|x1+x2|−2x1x2=−24即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出k值．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)找出△=1−4k>0；(2)分两种情况考虑．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
19.【答案】13
【解析】解：(1)在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，
因此选择生物的概率为13．
故答案为：13；
(2)用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能的结果数，其中选中“化学”“生物”的有2种，
则P(化学生物)=212=16．
答：他在“2”中选择化学、生物的概率为16．
(1)直接根据概率公式即可得出答案；
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)连接OE，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，即∠AEO+∠OEB=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠EAB=∠AEO，
∵∠BEF=∠CAE，
∴∠BEF=∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为x，
则有OE=OB=x，
在Rt△OEF中，
OE2+EF2=OF2，
∴x2+202=(x+10)2，
解得x=15．
∴⊙O的半径为15．
【解析】(1)连接OE，根据圆周角定理得∠AEB=90°，再由角平分线得定义和同圆半径相等，等腰三角形及等量代换可得∠OEF=90°即可得到结论．
(2)如图，设半径为x，则有OE=OB=x，根据勾股定理即可求出x的值．
本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用等，掌握切线的判定定理，圆周角定理的应用是解题的关键．
21.【答案】解：(1)把点A代入y=12x 得：6=12m，
解得m=2，
把点A代入y=12x 得3=12n，
解得n=4，
∴A(2,6)，B (4,3)，
设要求的一次函数的表达式为y=kx+b，
由题意得：6=2k+b3=4k+b，
解之得：k=−32b=9，
∴一次函数的表达式为y=−32x+9；
(2)设直线AB交x轴于点P，则0=−32x+9，
∴x=6，
∴P(6,0)，
∴S△AOB=S△AOP−S△BOP=12×6×6−12×6×3=18−9=9，
∴S△MOB=9，
设点M的坐标为(m,0)，
∴OM=|m|，
∴12×3×|m|=9，
∴|m|=6，
∴m=±6，
∴点M的坐标为(6,0)或(−6,0)；
(3)观察图象可知，kx+b−12x>0时x的取值范围是2【解析】(1)首先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
(2)设直线AB交x轴于P，则P(6,0)，设M(m,0)，由S△AOB=S△OBM，可得S△AOP−S△OBP=S△OBM，列出方程即可解决问题；
(3)观察图象，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，写出x的取值范围即可．
本题考查一次函数与反比例函数的交点、待定系数法、一元一次不等式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)由题意得，y=700−20(x−45)=−20x+1600(80⩾x≥45)；
(2)P=(x−40)(−20x+1600)=−20x2+2400x−64000=−20(x−60)2+8000，
∵x≥45，a=−20<0，开口向下，
∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是8000元．
(3)由题意，得−20(x−60)2+8000=6000，
解得x1=50，x2=70．
∵抛物线P=−20(x−60)2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y=−20x+1600中，k=−20<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=58时，y最小值=−20×58+1600=440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
【解析】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=一盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
(1)根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)根据利润=一盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
(3)先由(2)中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据(1)中所求得的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式即可求解．
23.【答案】3 5或3 17
【解析】(1)①证明：如图1中，
∵△BAE≌△CAF，
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，
∵∠BAC=90°，∠EAD=45°，
∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45°，
∴∠DAE=∠DAF，
在△AED和△AFD中，
AE=AF∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△AED≌△AFD(SAS)．
②解：如图1中，设DE=x，则CD=7−x．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠ABE=∠ACF=45°，
∴∠DCF=90°，
∵△AED≌△AFD(SAS)，
∴DE=DF=x，
在Rt△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，CF=BE=3，
∴x2=(7−x)2+32，
∴x=297，
∴DE=297．
(2)解：①当点D在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AE=AD，AB=AC，
∴△EAB≌△ADC(SAS)，
∴∠ABE=∠C=∠ABC=45°，EB=CD=6，
∴∠EBD=90°，
∴DE2=BE2+BD2=62+32=45，
∴DE=3 5．
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同法可证△DBE是直角三角形，EB=CD=12，DB=3，
∴DE2=EB2+BD2=144+9=153，
∴DE=3 17，
综上所述，DE的值为3 5或3 17．
(1)①想办法证明∠DAE=∠DAF，由DA=DA，AE=AF，即可证明．
②如图1中，设DE=x，则CD=7−x.在Rt△DCF中，由DF2=CD2+CF2，CF=BE=3，推出x2=(7−x)2+32，解方程即可．
(2)分两种情形①当点D在线段BC上时，如图2中，连接BE.由△EAD≌△ADC，推出∠ABE=∠C=∠ABC=45°，EB=CD=5，推出∠EBD=90°，推出DE2=BE2+BD2=62+32=45，即可解决问题．
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2=153，即可解决问题．
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．