贵州省遵义市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

这是一份贵州省遵义市2022-2023学年高二上学期期末数学试题，共20页。

注意事项：
1． 考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码．
2． 客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选其它选项！主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相成的位置答题；在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求.
【详解】化直线为，所以直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，，.
故选：C.
2. 抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线标准方程知p＝2，可得抛物线准线方程．
【详解】抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且2p=4,=1，
∴抛物线的准线方程是x＝﹣1．
故选C．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．
3. 已知向量，若，则x的值为（ ）
A. －2B. －1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，进而求出x的值.
【详解】因为，所以，
即，解得，
故选：D.
4. 已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.
【详解】由，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：A.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将、与2比较可得，将、用换底公式变换后构造函数，研究其单调性比较即可.
【详解】∵，，∴，
又∵，，，
∴，即：，∴，
∴.
故选：B.
6. 已知两条直线和，下列不正确的是（ ）
A. “a＝1”是“”的充要条件
B. 当时，两条直线间的距离为
C. 当斜率存在时，两条直线不可能垂直
D. 直线横截距为1
【答案】D
【解析】
【分析】由直线平行关系可以判断A正确；利用平行线间距离公式可以判断B正确；利用垂直关系可以判断C正确；令可以求出直线得横截距.
【详解】当时，，则，
当时，直线与重合，故舍去，所以A正确；
当时，，和间的距离为
，所以B正确；
若，则，则，
又当斜率存在时，，所以C正确；
，令得，所以直线横截距为-1，
所以D错误.
故选：D.
7. 已知函数的图象如下图所示，则的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由函数的图象变换得到偶函数的图象，再根据平移变换得到的图象.
【详解】在轴左侧作函数关于轴对称的图象，得到偶函数的图象，
向左平移一个单位得到的图象.
故选：A.
8. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B对立
C. 事件A与事件B相互独立D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A与事件B的基本事件可判断A，B；根据独立事件的概率公式可判断C；求出事件的概率可判断D.
【详解】对于A，B，事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，
这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不互斥，也不对立，A，B错误；
对于C，投掷一枚均匀骰子，共有基本事件6个，
事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为,
B：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为,
事件包含的基本事件个数有1个，其概率为,
由于,故事件A与事件B相互独立，C正确；
对于D，事件包含的基本事件个数有朝上的点数为共4个，
故，D错误，
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数f（x）为偶函数
B. 函数f（x）的定义域为
C. 函数f（x）的最小值为2
D. 函数f（x）在（0，＋∞）单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：根据偶函数的定义即可判断；对于B：分母不为0即可判断；对于C：根据基本不等式即可判断；对于D：求导即可判断.
【详解】对于A：的定义域为，关于原点对称，
而，所以为偶函数.故A正确；
对于B：，的定义域为.故B正确；
对于C：，当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为2.故C正确；
对于D：，当时，令即，解得，
令即，解得，在上单调递减，在上单调递增.故D错误.
故选：ABC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数f（x）的最小正周期为
B. 将函数f（x）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称
C. 函数f（x）的一个对称中心为
D. 函数f（x）在区间上单调递减
【答案】AD
【解析】
分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调性即可.
【详解】，
对于A项，，故A项正确；
对于B项，的图象向右平移个单位后为，
所以，所以图象不关于y轴对称.故B项错误；
对于C项，因为，，所以的对称中心为，，
当时，，所以不是的对称中心.故C项错误；
对于D项，因为，则，
，令，则，，
因为在上单调递减，所以在上单调递减.故D项正确.
故选：AD.
11. 已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ）
A. 直线l与⊙M相离
B. 点P到直线l距离的最小值为
C. 与⊙M关于直线l对称的圆的方程为
D. 平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和
【答案】AC
【解析】
【分析】利用圆心到直线l的距离与半径的关系可以判断A正确；点P到直线l距离的最小值为，判断B错误；求出圆心关于直线l对称点，进而求出圆的方程，判断C正确；利用圆心到直线的距离，求出其切线方程，判断D错误.
【详解】⊙M ：，圆心，半径，
圆心到直线l：的距离为：，
所以直线l与⊙M相离，故A正确；
点P到直线l距离的最小值为，故B错误；
设圆心关于直线l对称点为，
则，解得，
则与⊙M关于直线l对称的圆的方程为，故C正确；
设平行于l且与⊙M相切的直线方程为，
则，解得或，
平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和，故D错误.
故选：AC.
12. 双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线右支交于A、B两点，和内切圆半经分别为和，则（ ）
A. 双曲线C的渐近线方程为
B. 面积最小值为15
C. 和的内切圆圆心的连线与x轴垂直
D. 为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：根据定义和双曲线性质得渐近线方程为；
B：，联立方程，找到面积的表达式，函数解析式找到最小值，在垂直时取到；
CD:画图，设圆切、、分别于点、、，推导出点、、的横坐标为，证得轴，，可得出，得证；
【详解】
选项:双曲线的渐近线方程为化简成一般式为 ，错误；
选项：设则；
设过点的直线为l显然与轴不垂直，设：，，，
联立，
故，，
由于A，均在双曲线右支，故
，
解得，带入得：
，
代入韦达定理得，
令，则，
易知随的增大而减小，则当时，，
综上：的面积的最小值为15，正确；
选项:（如图所示） 过的直线与双曲线的右支交于、两点，
由切线长定理可得，，，
所以
，则，所以点的横坐标为.
故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴，正确；
选项：由C可知圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.
在中，，，
，，
所以，，所以，，则，
所以，即，正确；
故答案为：BCD
【点睛】方法点睛：双曲线中的面积最值问题的处理方法：设出直线方程，设出交点坐标，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，可根据交点情况得出参数范围，利用点的坐标求出面积，代入韦达定理的结果后面积可化为所设参数的函数，从而再利用函数知识、不等式知识求得最值．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若复数，则|z|＝___．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.
【详解】由题意，复数的实部为，虚部为，则.
故答案为：.
14. 若，则tan 2＝___．
【答案】.
【解析】
【分析】方法1：运用特殊角的三角函数值计算即可.
方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可.
【详解】方法1：∵，，
∴，
∴.
方法2：∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
15. 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝2，AB＝1，，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合球心的性质确定三棱锥的外接球的球心的位置，求得球的半径，即可求外接球的表面积
【详解】由题意，在三棱锥中，平面，平面，
所以，,又，，平面，
所以平面，平面，所以，
设的中点为，因为，所以，
因为，所以，
所以为三棱锥外接球的球心，
因为，，所以，
因为，，，所以，
设三棱锥外接球的为，所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：.
16. 已知函数，若方程有四个不相等的实数根、、、，且，则的取值范围是___．
【答案】.
【解析】
【分析】画出的图象可得m的范围，，，，代入所求式子转化为求函数在上的值域即可.
【详解】的图象如图所示，
∵方程有四个不相等的实根，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
又∵上单调递减，
∴，
∴，
∴的取值范围为.
故答案为：.
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日－12月18日进行，赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分，某企业为了解广大球迷世界杯知识的知晓情况．在球迷中开展了网上测试，从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：
（1）根据频率分布直方图，求a的值；
（2）若从得分在[75，90]内的球迷中用分层抽样的方法抽取6人作世界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取的2人中至少有1名球迷得分在内的概率．
【答案】（1）0.04.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据所有频率之和为1列式解方程即可.
（2）根据分层抽样的抽样比相同抽取人数，用列举法解决古典概型.
【小问1详解】
，解得：.
【小问2详解】
由分层抽样可知，
从得分在内的球迷中抽取人，分别记为、、，从得分在内的球迷中抽取人，分别记为、，
从得分在内的球迷中抽取人，记为.
所以从这6人中选取2人的基本事件有、、、、、、、、、、、、、、，共有15个，
两人中至少有1名球迷得分在内的基本事件有、、、、、、、、，共有9个.
所以两人中至少有1名球迷得分在内的概率为.
18. 已知的圆心在直线上，且过点．
（1）求的方程；
（2）若：，求与公共弦的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的垂直平分线的方程，联立方程求得圆心坐标，继而求得半径，即可得答案；
（2）求出两圆的公共线的方程，求得到该直线的距离，根据圆的弦长的求法可得答案.
【小问1详解】
由题意知的圆心在直线上，且过点，
则的垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
则半径为，
故的方程为
【小问2详解】
因为，而，
故和相交，
将和相减可得，
点到直线的距离为，
故与公共弦的长度为.
19. 如图，正四棱柱中，M为中点，且．
（1）证明：平面；
（2）求DM与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）作,证明平面,找到DM与平面所成角，求出相关线段的长，解直角三角形即可求得答案.
【小问1详解】
证明：如图，连接 ,
因为 ,所以四边形为平行四边形，
故 ,又平面，平面,
故平面.
【小问2详解】
作,垂足为P，
因为平面, M为中点，平面,
平面,故,
平面,故平面,
连接,则为 DM与平面所成角，
在中，,而,
故在中, ,
即DM与平面所成角的正弦值为.
20. 在①；②这两个条件中选择一个，补充在下面问题中并解答．
问题：在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，___________．
（1）求C；
（2）若a＝1，b＝2，D在线段AB上，且满足，求线段CD的长．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选择条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；选择条件②，先用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；
（2）先利用余弦定理求出，从而可得到，再由题意求出，再根据勾股定理即可求得．
【小问1详解】
选择条件①，
依题意由正弦定理得，即，
又由余弦定理得，且，得，
选择条件②，
依题意由正弦定理得,
即，
又，则，所以，得，
【小问2详解】
结合（1）由余弦定理得，即，
则，所以，
又，即，则，
则在Rt△CBD中，，得．
21. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．
（1）证明：；
（2）若，四棱锥P－ABCD的体积为，求二面角P－BC－A的余弦值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理2，可得线面垂直，可得答案；
（2）根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案.
【小问1详解】
平面，且平面，过点所有垂直于的直线都在平面内，
平面平面，且平面，存在一条过的直线平面，且平面，
平面，，则平面，平面平面，与为同一条直线，
即平面，平面，.
【小问2详解】
在平面内，过作，且，连接，作图如下：
平面，且平面，，同理可得，
，，平面，平面，
平面，为二面角的平面角，
在中，，且，则，
在四棱锥中，底面的面积，则其体积，解得，
在中，，
故二面角的余弦值为.
22. 已知椭圆C的左顶点为，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线、，M为与C两交点的中点，N为与C两交点的中点，求△FMN面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知顶点坐标求出，由离心率求出，进一步运算得出椭圆的方程；
（2）设出直线、的方程，与椭圆C方程联立，得出M，N的纵坐标，表示△FMN的面积，求其最大值.
【小问1详解】
由左顶点为，得，又离心率为，即，则，，所以椭圆C的方程为；
【小问2详解】
由已知、斜率都存在且不为0，设与C交于，，
右焦点，设直线：，联立，得，
所以与椭圆C两交点的中点M的纵坐标，
同理与椭圆C两交点的中点N的纵坐标，
所以△FMN的面积
， 不妨设，令 ，，
则，因为，，
因为，所以函数在区间上单调递增，当时，有最小值，△FMN面积有最大值，最大值为．