天津市七区2022-2023学年高二上学期期末数学试题

这是一份天津市七区2022-2023学年高二上学期期末数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标运算求解.
【详解】，
，
故选：A
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. 45°B. 90°C. 135°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义即可得出倾斜角.
【详解】直线化为，则斜率，又倾斜角，
所以倾斜角为.
故选：C.
3. 抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.
【详解】，
抛物线的准线方程为，
即，故选A .
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.
4. 在等差数列中,,,则公差（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果.
【详解】设公差为,则
,
解得.
故选:C.
5. 若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出，即可求出双曲线渐近线方程.
【详解】由椭圆知，其焦点坐标为，
所以双曲线的焦点坐标为，即，
又，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D
6. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，根据公式点到直线的距离为计算即可解决.
【详解】由题知，棱长为1的正方体中，为线段的中点，
所以建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，
所以,
所以,
所以点到直线的距离为,
故选：B
7. 数列中，，且，则
A. 1024B. 1023C. 510D. 511
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合递推关系求解的值即可.
【详解】由题意可得：，则：
.
本题选择D选项.
【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
8. 已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离求得，由即可解得的值.
【详解】，化简，
可得圆心，半径为，
圆心到直线的距离，
，即，
或（舍去）
故选：D.
9. 已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为，，计算得到答案.
【详解】设椭圆的右焦点为，
，
当三点共线，且在之间时等号成立.
故选：A
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，每个空2分．
10. 已知空间向量，，且与是共线向量，则实数x的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量共线得到，列出方程组，求出答案.
【详解】设，则，解得：.
故答案为：-6
11. 已知的三个顶点，，，则边上的高所在直线方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】求出直线的斜率，进而由垂直关系得到所求直线的斜率，由直线方程点斜式得到答案.
【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线方程为，
整理得.
故答案为：
12. 在平行六面体中，，，，，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长.
【详解】由题意得：，
故
，
故.
故答案为：
13. 已知等比数列满足，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.
【详解】，
，解得，
，
故答案为：
14. 过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】设双曲线的左右焦点分别为，根据题意可得，从而建立方程，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的左右焦点分别为，
过双曲线的右焦点做x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，
则，又因为以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，
所以，即，所以，
则，解得：或（舍去），
故答案为：.
15. 已知实数x，y满足，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】设，转化为直线与圆有公共点，只需联立方程有解，利用判别式即可求出.
【详解】令，即，
联立，消元得，
由题意，，解得，
故的最小值为.
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 已知等比数列的前n项和为，，，等差数列满足，是和的等差中项，求和的通项公式．
【答案】，.
【解析】
【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程求解即可.
【详解】设的公比为，显然.
由题意 解得
所以的通项公式为.
设数列的公差为，则
所以，所以，
即，解得，.
17. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出圆标准方程，将点的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线上，列出方程组，解之即可求解；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用中点坐标公式和点在圆上运动即可求解.
【小问1详解】
设圆的方程为，由题意得
，解得
所以圆的方程为.
【小问2详解】
设点的坐标是，点的坐标是，
由于点的坐标为，点是线段的中点，所以，
于是
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，
即
所以，
整理得
所以，线段中点的轨迹方程.
18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，E为中点，作交于点F．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面垂直；
（2）把二面角计算问题转化为法向量夹角问题.
【小问1详解】
证明：依题意得，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，
因为点为中点，所以，
所以，，又，
而，
所以.
由已知，且，在平面内,
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知为平面的一个法向量，
又，,
设平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角.
，所以，所以
取，则 .
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
19. 已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点的坐标代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l的方程．
【小问1详解】
由椭圆过点可知，，
又得，即，
所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，设直线的方程为，联立，解得，
所以，
由得，即，
所以，所以，，
所以，化简得，
所以，所以直线的方程
20. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求证：是等比数列；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由与的关系，分，求数列的通项公式即可；
（2）利用错位相减法求和即可得解.
【小问1详解】
当时，，得，所以，
当时，
所以，即，
所以
所以
即数列是以为首项，公比为3的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，所以，
由题意，即
所以，所以
设前项和为
所以
即 ①
②
①-②得：
所以