福建省三明第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份福建省三明第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了抛物线的焦点坐标为，设函数在处存在导数为3，则，已知函数的图象如图所示，若数列满足，则，若恒成立，则实数的取值范围为，下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.设函数在处存在导数为3，则（ ）
A.1 B.3 C.6 D.9
3.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6.若数列满足，则（ ）
A.511 B.1023 C.1025 D.2047
7.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.3
8.若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､选多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.设椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A.离心率
B.
C.面积的最大值为1
D.直线与以线段为直径的圆相切
11.已知数列的前项和为，若，则（ ）
A.4是数列中的项
B.当最大时，的值只能取5
C.数列是等差数列
D.当时，的最大值为11
12.如图，棱长为6的正方体中，点满足，其中，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）
A.当时，平面
B.当时，若平面，则的最大值为
C.当时，若，则点的轨迹长度为
D.过三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为__________.
14.已知点，直线过点，且的一个方向向量为，则点到直线的距离为__________.
15.直线过点且与椭圆相交于两点，若点为弦的中点，则直线的斜率为__________.
16.如图，有一列曲线已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉.记为曲线所围成图形的面积.则数列的通项公式__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知的三个顶点分别为，直线经过点.
（1）求外接圆的方程；
（2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
18.设函数.
（1）求的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
19.如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.
20.已知数列的首项，前项和为，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令，求函数在处的导数.
21.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于A､B
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线的斜率分别为，证明：.
22.已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上一动点，且到的距离与到直线的距离之比总是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过做椭圆的切线，交直线于点.
①求证：；
②求三角形面积的最小值.
三明一中2023-2024学年上学期12月月考高二数学科试卷
参考答案
一､选择题1-12
二､填空题：
13. 14. 15. 16.
三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【详解】（1）因为，
所以，所以，所以，
又因为，所以是等腰直角三角形，
所以的圆心是的中点，即圆心，半径，
所以的方程为；
（2）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为
，
①当直线与轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线为，与圆心的距离为1，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为，即，
综上可知，直线的方程为或.
18.【详解】（1）由题意可得，定义域
令，即，所以；
故的单调递增区间为，递减区间为
（2）因为，
故，
令，即，
故在单调递减，在上单调递增，
故最小值为
，
又因为，
，
故最大值为.
19.【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，可，
所以，
又因为，且平面，
所以平面
（2）解：因为且平面，所以平面，
以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
可得，
则
由（1）知，平面
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，所以，
设所求的锐二面角为，则，
又因为平面与平面所成夹角为锐角，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为
20.【详解】（1）由已知可得当时，，
两式相减得，即，
从而.
当时，，所以，又，所以，
从而，所以，又，
数列是以6为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）知：，整理得，
因为，所以.
则，
记，
记，
则，
两式相减，得：
，
所以，又，
所以.
21【详解】（1）解：因为椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，
则这个直角三角形为等腰直角三角形，腰长为，斜边长为，则，可得，
所以，，所以，椭圆的方程可表示为，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，
故椭圆的标准方程为
（2）解：设点，联立可得
，解得，显然，否则直线过点，
由韦达定理可得，
所以，.
，
因此，
22.【详解】（1）由题意，设点为椭圆上任意一点，，则，
点到直线的距离为，
，化简整理得，
又点满足，即，
，解得，
所以椭圆的方程为
（2）先来证明过椭圆上任意一点的切线方程为.
当过点切线的斜率不存在时，即切线为或，满足上式；
当切线斜率存在时，设过点切线方程为，代入椭圆方程，
整理得，
解得，
，
，所以切线方程为，整理得，
所以过椭圆上任意一点过点切线的切线方程为.
①在切线方程中，令，解得，所以点的坐标为，又，
，
，
②，又，
，又点到切线的距离为，
，
令，
，
令，令，对称轴为，
由二次函数单调性可得当时，取得最大值1，
即时，取得最大值最小值为.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
C
A
B
D
C
B
B
A
AD
BCD
ACD
ABC