河南省安阳市2023-2024学年高一上学期阶段性测试（一）数学试题（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的定义可求，从而可得正确的选项.
【详解】，
故选：D.
2. 已知集合，若⫋A，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合A，再利用真子集定义即可求得满足条件的集合的个数.
【详解】，
由⫋A，可得，或，或，
故满足条件的集合的个数为3.
故选：C
3. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，再利用交集定义即可求得
【详解】由，，可得，
则
故选：B
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举反例否定选项ABD，利用绝对值定义可得选项C正确.
【详解】当时，.故选项A判断错误；
由可得，.故选项B判断错误；
.故选项C判断正确；
由，可得选项D判断错误.
故选：C
5. 已知：关于的不等式的解集为，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先将和化简，即可得到二者间的逻辑关系.
【详解】由关于的不等式的解集为，
可得，解之得，
由，可得，
则由 ，可得是的充分不必要条件
故选：A
6. 若，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由基本不等式求最小值．
【详解】，则，
，当且仅当，即时等号成立，
故选：D．
7. 已知集合，若，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式确定集合，再由集合相等求得值．
【详解】，则，，，∴，∴，
若，则，
故选：B．
8. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
【答案】C
【解析】
【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而否定选项A和选项B，求得不等式的解集判断选项C；求得不等式的解集判断选项D.
【详解】关于的不等式的解集为
则且关于的方程的根为，，
则，解之得，
由，可得选项 A判断错误；
，故选项 B判断错误；
不等式可化为，解之得，故选项 C判断正确；
不等式可化为，即，
解之得或，故选项 D判断错误.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. ⫋AD. ⫋A
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系判断选项ABD；利用集合间关系判断选项C.
【详解】集合A中含有元素0，，选项A 判断正确；
集合A中含有元素，，选项B 判断正确；
集合A是二元素非空集合，⫋，选项C判断正确；
0是元素不是集合，选项D判断错误.
故选：ABC
10. 已知，则下列关系正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例否定选项A；利用求差法即可证得选项BCD判断正确。
【详解】由，可得，故选项A判断错误；
，又，则，
则，则，故选项B判断正确；
，
又，则，
则，故选项C判断正确；
，
又，则，
则，故选项D判断正确.
故选：BCD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题，使得，则的否定：
B. 命题，则的否定：
C. 命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定是假命题
D. 命题“存在两个不全等三角形的面积相等”的否定是假命题
【答案】AD
【解析】
【分析】利用特称命题否定规则判断选项A；利用全称命题否定规则判断选项B；写出该全称命题的否定形式并判定其真假进而判断选项C；写出该特称命题的否定形式并判定其真假进而判断选项D.
【详解】选项A：命题，使得，
则的否定：.判断正确；
选项B：命题，
则的否定：.判断错误；
选项C：命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”
其否定为“存在一个平行四边形的四个顶点不都在同一个圆上”是真命题. 判断错误；
选项D：命题“存在两个不全等三角形的面积相等”
其否定为“任意两个不全等三角形的面积不相等”是假命题. 判断正确.
故选：AD
12. 已知关于的方程，则下列结论正确的是（ ）
A. 方程有一正一负两个实数根的充要条件是
B. 方程有两个不相等正实数根的充要条件是
C. 方程无实数根的一个充分条件是
D. 当时，方程的两实数根之和为1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据一元二次方程的判别式及两根之积为负列出不等式判断A，由判别式及两根之和与积的符号列出不等式组求解判断B，根据判别式小于0求解判断CD.
【详解】一元二次方程中，，
有根时，两根之和为，两根之积为，
方程有一正一负两个实数根的充要条件满足，解得，故A正确；
方程有两个不相等的正实数根的充要条件满足，解得，故B正确；
方程无实数根时，，解得，
因为，所以方程无实数根的一个充分条件是，故C正确；
由C知，当时，，所以方程无实根，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，共小题5分，共20分．
13. 不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用分式不等式解法规则即可求得不等式的解集.
【详解】由，可得，
此不等式等价于，解之得
故不等式的解集为
故答案为：
14. 已知集合，且，则实数最大值为______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先求出的补集，再由集合的包含关系求解．
【详解】由已知，由得，即．∴的最大值为．
故答案为：．
15. 若命题“”是假命题，则实数的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】由时，的最小值不大于得的范围，从而最小值．
【详解】
时，是减函数，因此其最小值是，
由题意，∴的最小值是．
故答案为：．
16. 已知为正实数，且满足，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是___．
【答案】或
【解析】
【分析】先利用均值定理求得的最小值，进而列出关于k的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】为正实数，且满足，
则，
（当且仅当时等号成立），
则由存在使不等式成立，
可得，解之得或
故答案为：或
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断否定的真假．
（1）对任意；
（2）存在．
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）依据全称量词命题定义可得该命题为全称量词命题，利用全称命题的否定规则即可得到其否定形式，举特例即可得到其为真命题；
（2）依据存在量词命题定义可得该命题为存在量词命题，利用特称命题的否定规则即可得到其否定形式，利用判别式即可判定其为真命题.
【小问1详解】
对任意是全称量词命题，
其否定为.
由，可得命题为真命题；
【小问2详解】
存在是存在量词命题，
其否定，
由，可得方程无根，
故为真命题.
18. 已知命题：“”，命题：“”，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】先化简命题和命题得到实数的取值范围，再依据是真命题，是假命题，列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围．
【详解】由，可得，即；
由，可得，
解之得；
由是真命题，是假命题，可得，解之得
故实数的取值范围为.
19. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若中有且仅有一个元素，求实数的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用交集定义即可求得；
（2）按实数分类讨论列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值．
【小问1详解】
时，，
由，可得或，
则
小问2详解】
由中有且仅有一个元素，可得方程组仅有一组解，
则方程仅有一个根或一个二重根.
当时，仅有一个根，符合题意；
当时，有二重根，
则有，解之得.
综上，中有且仅有一个元素时实数的值为或．
20. 已知集合．
（1）若，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列出关于的不等式，解之即可求得的取值范围；
（2）利用是的充分不必要条件，列出关于的不等式，解之即可求得的取值范围.
【小问1详解】
，或
当时，，，，满足题意；
当时，，，
由，可得或，
解之得或
综上，时的取值范围为或；
【小问2详解】
或
当时，，， ，
是的必要不充分条件，不满足题意；
当时，，，或
由是的充分不必要条件，
可得，解之得，
综上，是的充分不必要条件时的取值范围为．
21. 某人投资180万元建成一座海水养殖场用于海参养殖，建成后每年可获得销售收入130万元，同时，经过预算可知年内须另外投入万元的经营成本．
（1）该海水养殖场从第几年起开始盈利（总利润为正）?
（2）该海水养殖场总利润达到最大时是第几年?请求出总利润的最大值．
（3）该海水养殖场年平均利润达到最大时是第几年?请求出年平均利润的最大值．（注：总利润销售总收入-经营成本-投资费用）
【答案】（1）第3年起至第17年结束，该海水养殖场盈利
（2）总利润达到最大时是第10年，总利润的最大值为万元
（3）年平均利润达到最大时是第6年，年平均利润的最大值为万元/年
【解析】
【分析】（1）先求得该海水养殖场总利润的解析式，利用一元二次不等式即可求得海水养殖场从第3年起开始盈利；
（2）利用二次函数的性质即可求得该海水养殖场总利润达到最大时是第10年，总利润的最大值为万元.
（3）利用均值不等式即可求得该海水养殖场年平均利润达到最大时是第6年，年平均利润的最大值为（万元/年）．
【小问1详解】
设该海水养殖场总利润为y，
则，
由，可得，则，
则第3年起至第17年结束，该海水养殖场盈利.
【小问2详解】
由，
可得当时，y取得最大值万元.
故该海水养殖场总利润达到最大时是第10年，总利润的最大值为万元.
【小问3详解】
（万元/年），（当且仅当时等号成立）
故该海水养殖场年平均利润达到最大时是第6年，年平均利润的最大值为（万元/年）．
22. 已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根．
（1）若，求的取值范围；
（2）若为两个整数根，为整数，且，求；
（3）若满足，且，求的取值范围．
【答案】（1）且；
（2）或；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由判别式大于0可得；
（2）利用韦达定理得，，代入条件得，，利用整数知识得或，分类求出；
（3）把韦达定理的结论代入得，代入可得的范围．
【小问1详解】
由题意若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根，
若方程有两个不等的实数解，
，且，
所以的范围是且；
【小问2详解】
首先（否则方程没有两个实数根），
由题意，
，，
均为整数，∴或，
时，，又且，∴，
时，，又且，∴．
综上，或．
【小问3详解】
，方程为，，
则，又，∴，，
所以，∴．