河南省鹤壁市高中2023届高三下学期4月质量检测理科数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省鹤壁市高中2023届高三下学期4月质量检测理科数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本试卷主要命题范围，1,， 已知函数，则下列说法正确的为等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本试卷主要命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别解出集合A,B,根据集合的交集运算求得答案.
【详解】由题意知，
，
所以（2，3],
故选:B
2. 已知复数z满足(是虚数单位)，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求出z即可根据复数的模的计算公式计算.
【详解】由题意可得：，则，
∴﹒
故选：B．
3. 已知是角的终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数定义及诱导公式及正弦二倍角公式计算即可.
【详解】是角的终边上一点，由三角函数定义可得
，，
所以.
故选：C.
4. 若a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质去判断“”与“”之间的逻辑关系即可解决.
【详解】若，当时，，当时，；
又当时，两边除以b，得，当且时，两边除以b，得.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
5. 某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示.则该物质含量的众数和平均数分别为
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图中最高小矩形得出众数落在第三组，从而求出众数的值，再根据每个小组的频率以及中间值求出频率分布直方图的平均数．
【详解】解：根据频率分布直方图得出众数落在第三组 内，所以众数为 ；
含量在之间的频率为0.1,
含量在之间的频率为0.2,
含量在之间的频率为0.4,
根据概率和为1，可得含量在之间的频率为0.3，所以频率分布直方图的平均数为 ．故选C.
【点睛】本题考查频率分布直方图中众数和平均数的求法，属于基础题型．
6. 已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据异面直线所成角的定义，取AB的中点F，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角，再解三角形即可得解．
【详解】如图所示：
取AB的中点F，连接EF，CF，易知，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角．不妨设，则，，，由余弦定理得，即直线与CE所成角的余弦值为．
故选：C．
7. 七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（ ）
A. 48种B. 72种C. 90种D. 144种
【答案】D
【解析】
【分析】依题可知甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，由分步计数原理即可解出．
【详解】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种．
故选：D．
8. 已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】令可得，又，解得，又，
则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.
故选：B.
9. 已知函数，则下列说法正确的为（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为
C. 的图像关于直线对称
D. 将的图像向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数
【答案】D
【解析】
【分析】先对函数的解析式进行化简，化成的形式，然后即可求出周期、最大值和对称轴，从而可判断ABC；对于D项，先根据要求对化简后的进行变换，然后即可得出结论.
【详解】，
故的最小正周期为，最大值为，
对称轴方程满足，，即，，故ABC皆错误；
对于选项D，将的图像向右平移个单位长度后得到，
然后，将此图像向上平移个单位长度，得到函数的图像，是一个奇函数，故D正确，
故选：D.
10. 在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解三角形得到为直角三角形，建立直角坐标系，通过表示出，借助三角函数求出最小值.
【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．
故选：B．
11. 已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线的右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设为的右焦点，得到，根据，列出方程得到，求得，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设为双曲线的右焦点，焦距为，连，则，
由，可得，
则，
又由，所以，
即，所以，
即，所以，所以，或（舍），
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
12. 已知实数a，b，c满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由经典不等式可得，得出，结合即可判断.
【详解】设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，即，
所以，所以，即，
又，所以，由，所以，
所以，即，所以，所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用经典不等式可得.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若函数为奇函数，则实数a＝___．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可得函数为偶函数，则恒成立，可得答案.
【详解】函数为奇函数，则函数为偶函数，
故，即，
，则恒成立，
化简可得恒成立，则．
当，满足，即为偶函数，则满足函数为奇函数
故答案为：
14. 已知为R上单调递增的奇函数，在数列中，，对任意正整数n，，则数列的前n项和的最大值为___________.
【答案】77
【解析】
【分析】先由题给条件判定数列为等差数列，进而求得数列的通项公式，利用数列的单调性即可求得其前n项和的最大值.
【详解】因为，且为R上的奇函数，所以.
又在R上单调递增，所以，即，
所以为等差数列，且公差为，首项为20，
所以，所以，
所以最大，且.
故答案为：77
15. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交C于点A，B，交C的准线于点E，若，，则___________.
【答案】3
【解析】
【分析】过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，然后利用抛物线的定义进行求解即可.
【详解】过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，准线与y轴的交点为G，
则，.因为，
所以，所以，
所以，所以，
即.
故答案为：3

16. 在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】三棱锥的外接球球心位于过底面外接圆圆心且与底面垂直的直线上.设球心为，取的中点，设外心为点，则平面， 平面，再根据正弦定理、余弦定理及直角三角形的性质求解结果.
【详解】设球心为，取的中点，连接，，，
又，，则，
由，，为的中点，所以,，所以平面，
又，，
由余弦定理可得，所以，
所以外接圆的半径，
又，.
在中，，，，
因为球心为，直角的外心为，所以平面，又平面，
所以,又平面，
所以共面.又平面，所以，
所以，
设外心为点，由，得点在上，则平面，
平面，所以，，
所以，所以外接球的半径，
故三棱锥外接球的表面积为.
【点睛】多面体外接球球心位置方法点睛：
多面体的外接球球心位于过底面外接圆圆心且与底面垂直的直线上.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求角B；
（2）若，，D为AC边的中点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合两角和差的正余弦公式化简即可
（2）由余弦定理可得，再根据的面积为面积的一半，结合三角形的面积公式求解即可
【小问1详解】
由，有，两边同乘得，故，即．
因为，所以A为锐角，，所以．
又因为，所以．
【小问2详解】
在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．
故．
18. 经过全国上下的共同努力，我国的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些国家的疫情并没有得到有效控制，疫情防控形势仍然比较严峻，为扎紧疫情防控的篱笆，提高疫情防控意识，某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）情况如下表：
（1）若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为抽取的1000名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值；（结果保留整数）
（2）在（1）的条件下，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到10元红包的概率为，抽到20元红包的概率为.已知胡老师是这次活动中的参与者，估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.（结果保留整数）
参考数据：；；，.
【答案】（1），
（2）（元）
【解析】
【分析】（1）利用平均数和标准差公式直接计算即可.
（2）先计算胡老师抽奖次数期望，然后计算一次抽奖获得红包金额的期望，从而得到在此次活动中所获得红包的数学期望.
【小问1详解】
，
，
所以.
【小问2详解】
设随机变量N表示胡老师的抽奖次数，则N的可能取值为1，2.
，
，
其分布列为
所以.
设随机变量T为胡老师一次抽奖获得红包金额，则T的可能取值为10，20，
由题意知，，
所以随机变量T的分布列为
.
所以胡老师此次活动所获得红包的数学期望为（元）.
19. 如图，四边形ABCD为梯形，，，，点在线段上，且．现将沿翻折到的位置，使得．
（1）证明：；
（2）点是线段上的一点（不包含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；
（2）利用线面垂直的判定定理证得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法即可求解.
小问1详解】
证明：因为四边形ABCD为梯形．，，，
所以，，，，，，
即，，
在中，过P作，垂足为F，连接BF．
中，，，所以．
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，所以，即．
又，平面BFP，所以平面．
又 平面，所以．
【小问2详解】
在△FCE中，，，，，．
又，，平面，平面．
又平面，．
又，，平面，平面．
以B为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，．
设，
则．
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则．
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则．
因为二面角的余弦值为，
所以，解得或（舍），
所以存在点M，使得二面角的余弦值为，此时．
20. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，方程在上有且仅有一个实数解．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出，然后分，可得出函数的单调性.
（2）设，将问题转化为函数在上有且仅有一个零点，又当时，，所以只需证在上有且仅有一个零点，求出其导数，由零点存在原理即可证明.
【小问1详解】
函数的定义域是，．
当时，令，得；令，得，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，故在上单调递减．
【小问2详解】
当时，方程即为，即．
令，则，
则“方程在上有且仅有一个实数解”等价于“函数在上有且仅有一个零点”．
当时，，所以在上恒成立，
所以只需证在上有且仅有一个零点．
因为，所以当时，，，
所以在上恒成立．
所以在上单调递增，又，，
所以上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个零点．
故方程在上有且仅有一个实数解．
21. 已知椭圆的离心率为，椭圆C的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定点P（直线l不经过点P），使得直线PM与直线PN的倾斜角互补，若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用数量积公式及离心率可得a,b,c从而得到椭圆方程;
（2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，由题意可得直线PM与直线PN的斜率之和为零，利用韦达定理化简可得结果.
【小问1详解】
设椭圆C的焦距为2c，由题意知，，，
所以，，所以，解得.
又椭圆C的离心率为，所以，，
故椭圆C的方程为.
【小问2详解】
假设存在这样的点P，设点P的坐标为，点M，N的坐标分别为，，设直线l的方程为.
联立方程消去y后整理得.
，得，
有
若直线PM与直线PN的倾斜角互补，则直线PM与直线PN的斜率之和为零，
所以
.
所以解得或
故存在点P符合条件，点P的坐标为或.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于不同的两点A，B．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若点P为直线l与x轴的交点，求．
【答案】（1）；；
（2）.
【解析】
【分析】（1）消去直线l的参数方程中的参数t可得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得曲线C的直角坐标方程.
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义计算作答.
【小问1详解】
依题意，消去直线l的参数方程中的参数t得：，
所以直线l的普通方程为；
曲线C的极坐标方程：，将代入得：，
所以曲线C的直角坐标方程为：.
【小问2详解】
由（1）知，点，把直线l的参数方程（t为参数）代入方程得：
，整理得：，有，
设点A，B所对参数分别为，则，
所以.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对于任意实数，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）变换得到或或，解得答案.
（2）题目转化为，确定，确定函数的单调区间，计算最值解不等式得到答案.
【小问1详解】
当时，，
因为，所以或或，
解得或.
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
对于任意实数，，不等式恒成立，
等价于.
因为，当且仅当时等号成立，.
所以.
因为，所以，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以当时，，所以，解得，
所以，所以实数的取值范围是.
得分
频数
25
150
200
250
225
100
50
N
1
2
P
0.8413
0.1587
T
10
20
P