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专题16 反比例函数与几何图形综合题（与面积、其他有关）-备战2024年中考数学重难题型（全国通用）
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这是一份专题16 反比例函数与几何图形综合题（与面积、其他有关）-备战2024年中考数学重难题型（全国通用），文件包含专题16反比例函数与几何图形综合题与面积其他有关原卷版docx、专题16反比例函数与几何图形综合题与面积其他有关解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共113页， 欢迎下载使用。
类型一与面积有关
1.（2022·山东泰安）如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D．
(1)求k值；(2)求的面积．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可；
（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积．
(1)解：根据题意可得，
在中，，，
，
，
，，
，
的中点是B，
，
；
(2)解：当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
2.（2022·四川泸州）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为6
(1)求的值；(2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标．
【答案】(1)b=9 (2)C(4,0)，或C(8,0)
【分析】（1）把y=6代入得到x=2，得到A(2,6)，把A(2,6)代入，得到b=9；
（2）解方程组，得到 x=2(舍去)，或x=4，，得到B(4,3)，设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，得到AE=6，BF=4，根据时，x=6，得到D(6,0)，推出，根据=3，求得x=3，或x=9，得到C(4,0)，或C(8,0)．
(1)解：∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的纵坐标为6，
∴，x=2，
∴A(2,6)，
∴，b=9；
(2)，即，
∴x=2(舍去)，或x=4，
∴，
∴B(4,3)，
设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则AE=6，BF=3，
时，x=6，
∴D(6,0)，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴x=4，或x=8，
∴C(4,0)，或C(8,0)．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积计算公式．
3.（2022·四川乐山）如图，己知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；
(2)图中阴影部分的面积为7．
【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可．
(1)解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3，
∴点A的坐标为(-1，3)，
∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)，
∴k=-1×3=-3，∴反比例函数的解析式为y=；
(2)解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称，
∴设直线l′的解析式为y=-x+m，
把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2，
∴直线l′的解析式为y=-x+2，
直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)，
直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)，
∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
4.（2022·甘肃武威）如图，B，C是反比例函数y=（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．
(1)求此反比例函数的表达式；(2)求△BCE的面积．
【答案】(1)(2)1
【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
(1)解：当y=0时，即x-1=0，∴x=1，
即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA=1=AD，
又∵CD=3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的图象为y=；
(2)解：方程组的正数解为，
∴点B的坐标为（3，2），
当x=2时，y=2-1=1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，
∴EC=3-1=2，
∴S△BCE=×2×（3-2）=1，
答：△BCE的面积为1．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
5.（2022·四川遂宁）已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为．
(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
(2)求出点C的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x的取值范围；
(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
【答案】(1)，画图象见解析
(2)点C的坐标为（3，2）；当时，或
(3)
【分析】（1）根据B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，可以求得点B的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出△ACD的面积．
(1)解：∵B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，
∴y2==-3，
∴点B的坐标为（-2，-3），
∵点B（-2，-3）在一次函数y1=ax-1的图象上，
∴-3=a×（-2）-1，
解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x-1，
∵y=x-1，
∴x=0时，y=-1；x=1时，y=0；
∴图象过点（0，-1），（1，0），
函数图象如图所示；
；
(2)解：解方程组，
解得或，
∵一次函数y1=ax-1（a为常数）与反比例函数y2=交于B、C两点，B点的横坐标为-2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜-2或0＜x＜3；
(3)解：∵点B（-2，-3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x=2代入y=x-1，得y=1，
∴S△ACD=S△ADE+S△DEC= =2，
即△ACD的面积是2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6.（2022·江苏连云港）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)求的面积．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式；
（2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可．
(1)将代入，解得，
∴反比例函数表达式为．
当时，代入，解得，即．
将、代入，
得，解得．
∴一次函数表达式为．
(2)设一次函数的图像与轴交点为，
将代入，得，即．
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．
7.（2022·重庆）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
【答案】(1)，图见解析(2)或(3)12
【分析】（1）把，分别代入得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；
（2）由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得到答案；
（3）根据点是点关于轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三角形的面积即可．
(1)解：把，分别代入得，
，，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴ 点A（1，4），点B（﹣2，﹣2），
把点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的表达式是y＝2x＋2，
这个一次函数的图象如图，
(2)解：由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴不等式的解集为或；
(3)解：∵点是点关于轴的对称点，点B的坐标是（﹣2，﹣2），
∴点C的坐标是（2，﹣2），
∴BC＝2－（﹣2）＝4，
∴．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
8.（2021·四川广安市·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）
【分析】
（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
点B（3，-2）在反比例函数图像上，
∴，则m=-6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（-1，n）代入，
得：，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
，即，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
9.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线分别交轴，轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求的面积．
【答案】（1）-6；（2）8
【分析】
（1）过作垂直于轴，垂足为，证明．根据相似三角形的性质可得，，由此可得，．再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k值．
（2）先求得，，再利用待定系数法求得直线的解析式为．与反比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得．再根据即可求解．
【详解】
（1）过作垂直于轴，垂足为，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，．
∴，，即．
（2）由（1）知，∴．
∵，∴，∴，．
设直线的解析式为，
将点、代入，得．
解得．
∴直线的解析式为．
联立方程组，解得，，
∴．
∴．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，熟练运用反比例函数比例系数k的几何意义是解决问题的关键．
10.（2021·河南中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，
设B(a，a)，则有，
∴，即B(，)，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为，
大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴图中阴影部分的面积为16-8=8．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式．
11.（2021·湖南株洲市·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点．
（1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标；
（2）连接、、，记、的面积分别为、，设，求的最大值．
【答案】（1），D点横坐标为；（2）
【分析】
（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标；
（2）分别用含t的式子表示出、，得到关于t的二次函数，求函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴A点横坐标为1,
∵A点在一次函数的图像上，
∴，
∴,
∵A点也在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵，直线轴，
∴D点纵坐标为t，
∵D点在直线l上，
∴D点横坐标为，
综上可得：，D点横坐标为．
（2）直线轴，交于点，交图像于点，
∴E点纵坐标为t，
将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为，
∴，A点到DE的距离为，
∴，
∵轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大=；
∴的最大值为．
【点睛】
本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
12.（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线与双曲线相交于、两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连结并延长交双曲线于点C，连结交x轴于点D，连结，求的面积．
【答案】（1）；（2）2
【分析】
（1）将、代入反比例函数解析式中求得两点坐标，然后利用待定系数法求解函数解析式；
（2）根据反比例函数的对称性求得C点坐标，然后求出直线BC的解析式，从而得D点坐标，过点A作AM⊥x轴，交BC于点E，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】
解：（1）将、代入中，可得
3m=6，3n=6，
解得：m=2，n=2
∴、
设直线的解析式为，将、代入可得
，解得
∴直线的解析式为
（2）∵连结并延长交双曲线于点C，
∴C点坐标为
设直线BC的解析式为，将、代入可得
，解得
∴直线的解析式为
当y=0时，x=1
∴D点坐标为（1，0）
过点A作AM⊥x轴，交BC于点E，则E点坐标为（2，1）
∴．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数及几何综合，掌握反比例函数和一次函数的性质，利用属性结合思想解题是关键．
13.（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【分析】
（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=−3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x−3y=6x得x=2y=3或x=−1y=−6，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2−1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．
14.（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【分析】
（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；
（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y=−23x+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．
【解析】
（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y=12x；
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=−23b=6，
故一次函数的表达式为：y=−23x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积=12×CD•xA=12×12×3＝18．
15.（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
【分析】
（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=−2y=4，故点A（﹣2.4），进而求解；
（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM−12OC•BN，即可求解．
【解析】
（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=−2y=4，故点A（﹣2.4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k−2，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y=−8x②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y=12x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y=12x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM−12OC•BN=12×4×10−12×10×1=15．
16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，轴于点E，连接，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数表达式推出△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE，再由AC的长求出AE和CE，再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值；
（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出△CDE的面积．
【详解】
解：（1）∵一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∵AC=，即，
解得：AE=CE=3，
在y=x+1中，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），
∴OE=2，CE=3，
∴C（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数表达式为： ；
（2）联立：，
解得：x=2或-3，
当x=-3时，y=-2，
∴点D的坐标为（-3，-2），
∴S△CDE==．
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，解一元二次方程，三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图形作答．
17.已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1），；（2）8；（3），，，
【解析】
【分析】
（1）首先把，代入中，就可以确定m和 n的值，再把，代入，从而求得一次函数与反比例函数的表达式；
（2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标，求出直线AB与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积；
（3）根据AO=OP，AP=AO，AP=OP三种情况，结合两点间的距离公式得出点的坐标．
【详解】
解：（1）将代入中，得，
反比例函数的表达式为
在的图象上，，即
将、坐标代入得
，解得：．一次函数表达式为：．
（2）设直线与轴交于点，则点为，
．
（3），
设P（x，0）．
当AO=OP=时，点在轴上，
点为或
当AO=AP=时，
，x=-6或0（舍去）
点为，
当OP=AP时，
，；
点为
综上所述，符合条件的点P的坐标是，，，．
【点睛】
考查了一次函数综合题，需要掌握一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，在没有指明等腰三角形的底（或腰）的情况下，一定要分类讨论，以防漏解．
18.．如图，反比例函数与一次函数的图象在第二象限的交点为，在第四象限的交点为，直线（为坐标原点）与函数的图象交于另一点．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点，的面积为6．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点，的坐标和的面积．
【答案】（1）；（2）的面积为
【解析】
【分析】
（1）联立与求解的坐标，利用得到关于原点成中心对称，求解的坐标，结合已知得到的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）得到的值，得到的坐标，的解析式，记与轴的交点为 求解的坐标，利用可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得：
当
当
经检验：符合题意．
＜
为与的交点，
轴，轴，
的面积为6．
反比例函数的解析式为：
（2）
直线为，
记与轴的交点为，
令 则
【点睛】
本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与一次函数的性质，考查了方程组与一元二次方程的解法，图形与坐标，图形面积问题，掌握以上知识是解题的关键．
19.如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
【答案】（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3
【解析】
【分析】
【详解】
解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，
在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．
∴OD＝2，即点D（0，2），
把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，
b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，
∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；
把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，
∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．
（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．
（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可；
（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．
20.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，过点A作于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将点B(-1，-3)代入，可得反比例函数解析式，即可求出A点的坐标，将A、B代入解析式即可求解；
（2）过点B作BE垂直于y轴于点E，根据关系式可求解；
【详解】
解：（1）将点B(-1，-3)代入，
解得
所以反比例函数的表达式为；
将点A(-3，n)代入有，n=-1
将A，B代入得
解得
所以一次函数表达式为；
（2）过点B作BE垂直于y轴于点E，
答：四边形的面积为．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，准确利用函数性质进行求解是解题的关键．
21.如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：
解得：
直线为
把代入得：
把代入：
，
（2）设 轴，
则 由＜＜，
即当时，
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
22.如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）a=2；y=2x；（2）
【解析】
【分析】
（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=．
故△ACD的面积为．
【点睛】
（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．
（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
23.如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）的面积为______；
（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【解析】
【分析】
（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【详解】
解：（1）把代入反比例函数得：
m=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【点睛】
此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
24.如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点．
（1）_________，_________；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数的图象上一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积为_________．
【答案】（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2
【解析】
【分析】
（1）把A(1,4)代入求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；
（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出时x的取值范围；
（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，即可知道OM、PM，进而求出面积即可．
【详解】
解：（1）把x=1,y=4代入得，
4=，
解得m=4
∴
当y=2时，2=
解得，n=2
（2）把A(1,4)，B(2,2)分别代入得
解得
∴y2=-2x+6
当y1＜y2时，从图象看得出：1（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，
∴OM=a，PM=,
∴S△POM=
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积．
25.如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．且点A的坐标为．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）9
【解析】
【分析】
（1）由点A在反比例函数图像上，求出a的值得到点A坐标，代入一次函数解析式即可；
（2）联立两个函数的解析式，即可求得点B的坐标，然后由S△AOB=S△AOC+S△BOC求得答案.
【详解】
解：∵点A在反比例函数上，
∴，解得a=2，
∴A点坐标，
∵点A在一次函数上，
∴，解得b=3，
∴该一次函数的解析式为；
（2）设直线与x轴交于点C，
令，解得x=- 2，
∴一次函数与x轴的交点坐标C（- 2，0），
∵，
解得或，
∴B（- 4，-3），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=
=
=
=9
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数的解析式、点与函数的关系以及三角形的面积，难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
26.在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）根据题意将点A坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可；
（2）根据题意，将直线解析式分以及两种情况结合的面积为的面积的2倍进一步分析求解即可.
【详解】
（1）∵反比例函数()的图象经过点A(3，4)，
∴，
解得：，
∴原反比例函数解析式为：；
（2）①当直线的时，函数图像如图所示，
此时，不符合题意，舍去；
②当直线的时，函数图像如图所示，
设OC的长度为m，OB的长度为n，
∵的面积为的面积的2倍
∴，
∴，
∴OC的长为2，
∴当C点在y轴正半轴时，点C坐标为(0，2)，
∴
∵点A坐标为(3，4)，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
当C点在y轴负半轴时，点C坐标为(0，−2)，
∴
∵点A坐标为(3，4)，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
综上所述，直线解析式为：或.
【点睛】
本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
27.如图，反比例函数的函数与y=2x的图象相交于点C，过直线上一点A（a，8）作AAB⊥y轴交于点B，交反比函数图象于点D，且AB=4BD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积．
【答案】（1）；（2）10
【解析】
【分析】
（1）求出点D的坐标即可解决问题；
（2）构建方程组求出点C的坐标，利用分割法求面积即可．
【详解】
解：（1）由点在上，则，
∴，
∵轴，与反比例函数图象交于点，且
∴，即，
∴，反比例函数解析式为；
（2）∵是直线与反比例函数图象的交点
∴，
∵
∴，则
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
28.如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求的面积．
【答案】（1）；（2）18
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关于a的方程，求出a，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据点A、B都在一次函数的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C坐标，求出CD长，即可求出的面积．
【详解】
解：（1）∵点，点在反比例函数的图象上，
∴．
解得．
∴．
∴反比例函数的表达式是．
（2）∵，
∴点A，点B的坐标分别是．
∵点A，点B在一次函数的图象上，
∴
解得
∴一次函数的表达式是．
当时，．
∴点C的坐标是．
∴．
∵点D是点C关于原点O的对称点，
∴．
作轴于点E，
∴．
【点睛】
本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关键a的方程，求出a，得到点A、B坐标．
29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【解析】
【分析】
（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.
【详解】
（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴
故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得，当时，，故B（-8,1）
如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知
S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
【点睛】
此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.
30.如图，已知点在双曲线上，过点的直线与双曲线的另一支交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作轴于点，连结，过点作于点．求线段的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由点在双曲线上，求得反比例函数解析式，再由点B在双曲线上，求得点B坐标，利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）用两种方式表示△ABC的面积可得，即可求出CD的长．
【详解】
解：（1）将点代入，得，即，
将代入，得，即，
设直线的解析式为，
将、代入，得
，解得
∴直线的解析式为．
（2）∵、，
∴，
∵轴，
∴BC=4，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了反比例函数上点坐标的特征，待定系数法求一次函数解析式，两点距离公式，面积法等知识，面积法：是用两种方式表示同一图形的面积．
类型二与其他有关
31.（2022·江苏苏州）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】(1)k的值为，的值为6 (2)或
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
(1)解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
(2)当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
32.（2022·湖北黄冈）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
(1)求y1与y2的解析式；(2)观察图像，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
(3)连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 ．
【答案】(1)，；(2)；(3)2．
【分析】（1）将两函数A、B的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可；
（2）由图像可知当x在A、B两点之间时y1（3）根据平移性质可知，CF=t，求出两直线之间的距离即为△ACD的高CG，通过A、C坐标求出线段AC长，列出△ACD面积=的代数式求解即可．
(1)∵一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，
∴， ，解得：， ，
∴y1、y2的解析式为：，；
(2)从图像上可以看出，当x在AB两点之间时，y1∴x的取值范围为：；
(3)
作CG⊥DE于G，如图，
∵直线DE是直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到，
∴，CF=t，
∵直线AB的解析式为，
∴直线AB与y轴的交点为C，与x轴的交点为，
即直线AB与x、y坐标轴的交点到原点O的距离相等，
∴∠FCA=45°，
∵CG⊥DE， ，
∴CG⊥AC，CG等于平行线AB、DE之间的距离，
∴∠GCF=∠GFC=45°，
∴CG==，
∵A、C两点坐标为：A（6，－），C，
∴线段AC=，
∴，
∵△ACD的面积为6，
∴3t=6，解得：t=2．
【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图像上的点的坐标求函数解析式，通过图像查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键．
33.（2022·湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点A的纵坐标为－2．
(1)求点A的横坐标；(2)记四边形的面积为S，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示S．
【答案】(1)A（-1，-2）(2)
【分析】（1）将y=-2代入中即可求解；
（2）由题意可得B（2，），则C（-1，），由即可求解；
(1)解：将y=-2代入中，
，解得：，
∴A（-1，-2）．
(2)由题意可得B（2，），
∵轴，轴，
∴C（-1，），
∴
．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识是解题的关键．
34.（2021·四川泸州市·中考真题）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值
【答案】（1）一次函数y=，（2）．
【分析】
（1）利用点A(2，3)，求出反比例函数，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用平移求出y=，联立，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，由勾股定理MN=,PQ=即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数的图象过A(2，3)，
∴m=6,
∴6n=6，
∴n=1，
∴B（6,1）
一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点，
∴，
解得，
一次函数y=，
（2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=，
当y=0时，，，当x=0时，y=-4，
∴M（-8，0），N（0，-4），
，
消去y得，
解得，
解得，，
∴P(-6,-1),Q(-2,-3),
在Rt△MON中，
∴MN=,
∴PQ=，
∴．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键．
35.（2021·山东东营市·中考真题）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）或
【分析】
（1）过点A作轴于点E，根据三角函数的性质，得点A，将点A代入，得；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）连接OB、、，结合（1）的结论，得点B；结合题意得；把代入，得点C；设点的坐标为，通过计算即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案．
【详解】
（1）如图，过点A作轴于点E，
∵，，
∴，，
∴点A，
∴双曲线的解析式为，
把，分别代入，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
（2）如图，连接OB、、
把代入，得，
∴点B，
∴，
∴，
把代入，得，
∴点C
设点的坐标为，
∵
∴，
∵，
∴点P的坐标为；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A、点B
∴或．
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数、二元一次方程组、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数的性质，从而完成求解．
36.（2021·山东聊城市·中考真题）如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6
（1）求k值和点D的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．
【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2）
【分析】
（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标；
（2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解．
【详解】
解∶（1）设点 D 坐标为（m，n），
由题意得．
∵点 D在的图象上，．
∵直线的图象与轴交于点A，
∴点A 的坐标为（－4，0）．
∵CHx轴，CH//y 轴．．
点D在反比例函数的图象上，
点 D 坐标为（4，3）
（2）由（1）知轴，．
．
过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M，
．
．
∴点 E 的横坐标为－8.
∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、的几何意义，属于中档难度的综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．
37.（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，反比例函数上的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）先根据点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据建立不等式，解不等式即可得．
【详解】
解：（1）将点代入得：，
则反比例函数的解析式为；
当时，，解得，即，
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
当时，，即，
，
轴，且，
，，
，
，
，
解得．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
38.（2021·山东泰安市·中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
【答案】（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】
(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
【详解】
解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
设，则，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（舍去），
当时，，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
39.（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【分析】
（1）把A（3，4）代入y=mx（x＞0）即可得到结论；
（2）根据题意得到B（−bk，0），C（0，b），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】
（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（−bk，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴12×4×|−bk|＝2×12×|−bk|×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k=23，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．
40.（2020•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【分析】
（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP=12•PC•yA＝4求出m的值即可得出答案．
【解析】
（1）将点A（1，2）代入y=mx，得：m＝2，
∴y=2x，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：k+b=2−2k+b=−1，
解得k=1b=1，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y=2x；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP=12•PC•yA＝4，
∴12×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
41.（2020•绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 5+13 ．
【分析】
（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），解方程和方程组即可得到结论；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=−23x+103，于是得到结论；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【解析】
（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，2m+n=2m+n=4，
∴m=−2n=6，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为（1，4），
∴D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴4=−a+b2=2a+b，解得：a=−23b=103，
∴直线D′E的解析式为y=−23x+103，
令x＝0，得y=103，
∴点P的坐标为（0，103）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE=12+22=5，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E=22+32=13，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5+13，
故答案为：5+13．
42.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出时，x的取值范围；
过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．
【答案】反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，．
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；
(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．
【详解】
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点B的坐标为，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：；
由函数图象可知，当或时，；
，，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为，
当点C的坐标为或时，．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
43.如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出中的取值范围；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】（1），；（2）或；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值．
（2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方即可，注意由两部分．
（3）由对称点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交点就是所求的点P，求出直线与y轴的交点坐标即可．
【详解】
（1）由题意得：
∴，
又∵反比例函数图象经过第二、四象限
∴，
当时，；当时，，解得
（2）由图象可以看出的解集为或
（3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大（PB-PA=PB-PA′≤A′B，共线时差最大）
∵关于轴的对称点为，
又，则直线与轴的交点即为所求点．
设直线的解析式为
则解得
∴直线的解析式为
∴直线与轴的交点为．
即点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了轴对称以及待定系数法求函数的关系式、线段的最值等知识，理解作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大．
44.如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
【答案】（1）①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时，有最大值；当时，有最小值；（2）；
【解析】
【分析】
（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；
②由①得直线AB为，则，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB的直线为，设点P为（x，），则得到，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴，即可求出n的取值范围．
【详解】
解：（1）当时，点B为（5，1），
①设直线AB为，则
，解得：，
∴；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
∴；
∵，
∴当时，有最大值；
当时，有最小值；
∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在的位置时k值最大．
（2）∵、，
设直线AB为，则
，解得：，
∴，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
当，即n=2时，，则k随x的增大而增大，如何题意；
当n≠2时，则对称轴为：；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．
即k在中，k随x的增大而增大；
当时，有
∴，解得：，
∴不等式组的解集为：；
当时，有
∴，解得：，
∴综合上述，n的取值范围为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
45.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
46.如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．
（1）求出直线的表达式；
（2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）当点在原点右侧时，，当点在原点左侧时，．
【解析】
【分析】
（1）通过点A的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B的坐标，利用待定系数法将A，B的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；
（2）直线与轴的交点为，过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，得到，即，分情况讨论即可解决．
【详解】
解：（1）∵在的图象上，
∴，，
又点在的图象上，，即．
将点，的坐标代入，得，
解得．
∴直线的表达式为．
（2）设直线与轴的交点为，
当时，解得．即．
分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，．
．
又，即，∴．
当点在原点右侧时，，
当点在原点左侧时，．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想.
47.如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．
（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，的周长最小值是______．
【答案】（1），；（2）点P坐标为；（3）．
【解析】
【分析】
（1）首先求出D点坐标，然后将D点坐标代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函数的解析式.将x=2代入反比例函数解析式求出对应y的值，即得到E点的坐标，然后将点D,E两点的坐标代入一次函数的解析式中，即可求出DE的解析式.
(2)作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．此时的周长最小.然后求出直线的解析式，求直线与y轴的交点坐标，即可得出P点的坐标；
（3）的周长的最小值为DE+，分别利用勾股定理两条线段的长，即可求.
【详解】
解：（1）∵D为的中点，，
∴．
∵四边形是矩形，，
∴D点坐标为．
∵在的图象上，
∴．∴反比例函数解析式为．
当时，．
∴E点坐标为．
∵直线过点和点
∴
解得
∴直线的解析式为．
∴反比例函数解析式为，
直线的解析式为．
（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．
此时的周长最小．∵点D的坐标为，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为．
∵直线经过
∴
解得
∴直线的解析式为．
令，得．
∴点P坐标为．
（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.
在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.
的周长的最小值为+DE =．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.
48.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
（1）________，点的坐标为________；
（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．
【答案】（1）m=6，；（2）当a=1时，面积的最大值为
【解析】
【分析】
（1）将点代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点C的横坐标即可；
（2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为，设D坐标为，则，进而得到，即可解答
【详解】
解：（1）把点代入反比例函数，得：，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：，
故答案为：6，；
（2）设直线对应的函数表达式为．
将，代入得，解得．
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在线段上，可设，
因为轴，交反比例函数图像于点．所以．
所以．
所以当a=1时，面积的最大值为．
【点睛】
本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．
类型一与面积有关
1.（2022·山东泰安）如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D．
(1)求k值；(2)求的面积．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可；
（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积．
(1)解：根据题意可得，
在中，，，
，
，
，，
，
的中点是B，
，
；
(2)解：当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
2.（2022·四川泸州）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为6
(1)求的值；(2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标．
【答案】(1)b=9 (2)C(4,0)，或C(8,0)
【分析】（1）把y=6代入得到x=2，得到A(2,6)，把A(2,6)代入，得到b=9；
（2）解方程组，得到 x=2(舍去)，或x=4，，得到B(4,3)，设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，得到AE=6，BF=4，根据时，x=6，得到D(6,0)，推出，根据=3，求得x=3，或x=9，得到C(4,0)，或C(8,0)．
(1)解：∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的纵坐标为6，
∴，x=2，
∴A(2,6)，
∴，b=9；
(2)，即，
∴x=2(舍去)，或x=4，
∴，
∴B(4,3)，
设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则AE=6，BF=3，
时，x=6，
∴D(6,0)，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴x=4，或x=8，
∴C(4,0)，或C(8,0)．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积计算公式．
3.（2022·四川乐山）如图，己知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；
(2)图中阴影部分的面积为7．
【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可．
(1)解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3，
∴点A的坐标为(-1，3)，
∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)，
∴k=-1×3=-3，∴反比例函数的解析式为y=；
(2)解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称，
∴设直线l′的解析式为y=-x+m，
把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2，
∴直线l′的解析式为y=-x+2，
直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)，
直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)，
∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
4.（2022·甘肃武威）如图，B，C是反比例函数y=（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．
(1)求此反比例函数的表达式；(2)求△BCE的面积．
【答案】(1)(2)1
【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
(1)解：当y=0时，即x-1=0，∴x=1，
即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA=1=AD，
又∵CD=3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的图象为y=；
(2)解：方程组的正数解为，
∴点B的坐标为（3，2），
当x=2时，y=2-1=1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，
∴EC=3-1=2，
∴S△BCE=×2×（3-2）=1，
答：△BCE的面积为1．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
5.（2022·四川遂宁）已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为．
(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
(2)求出点C的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x的取值范围；
(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
【答案】(1)，画图象见解析
(2)点C的坐标为（3，2）；当时，或
(3)
【分析】（1）根据B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，可以求得点B的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出△ACD的面积．
(1)解：∵B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，
∴y2==-3，
∴点B的坐标为（-2，-3），
∵点B（-2，-3）在一次函数y1=ax-1的图象上，
∴-3=a×（-2）-1，
解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x-1，
∵y=x-1，
∴x=0时，y=-1；x=1时，y=0；
∴图象过点（0，-1），（1，0），
函数图象如图所示；
；
(2)解：解方程组，
解得或，
∵一次函数y1=ax-1（a为常数）与反比例函数y2=交于B、C两点，B点的横坐标为-2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜-2或0＜x＜3；
(3)解：∵点B（-2，-3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x=2代入y=x-1，得y=1，
∴S△ACD=S△ADE+S△DEC= =2，
即△ACD的面积是2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6.（2022·江苏连云港）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)求的面积．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式；
（2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可．
(1)将代入，解得，
∴反比例函数表达式为．
当时，代入，解得，即．
将、代入，
得，解得．
∴一次函数表达式为．
(2)设一次函数的图像与轴交点为，
将代入，得，即．
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．
7.（2022·重庆）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
【答案】(1)，图见解析(2)或(3)12
【分析】（1）把，分别代入得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；
（2）由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得到答案；
（3）根据点是点关于轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三角形的面积即可．
(1)解：把，分别代入得，
，，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴ 点A（1，4），点B（﹣2，﹣2），
把点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的表达式是y＝2x＋2，
这个一次函数的图象如图，
(2)解：由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴不等式的解集为或；
(3)解：∵点是点关于轴的对称点，点B的坐标是（﹣2，﹣2），
∴点C的坐标是（2，﹣2），
∴BC＝2－（﹣2）＝4，
∴．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
8.（2021·四川广安市·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）
【分析】
（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
点B（3，-2）在反比例函数图像上，
∴，则m=-6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（-1，n）代入，
得：，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
，即，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
9.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线分别交轴，轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求的面积．
【答案】（1）-6；（2）8
【分析】
（1）过作垂直于轴，垂足为，证明．根据相似三角形的性质可得，，由此可得，．再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k值．
（2）先求得，，再利用待定系数法求得直线的解析式为．与反比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得．再根据即可求解．
【详解】
（1）过作垂直于轴，垂足为，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，．
∴，，即．
（2）由（1）知，∴．
∵，∴，∴，．
设直线的解析式为，
将点、代入，得．
解得．
∴直线的解析式为．
联立方程组，解得，，
∴．
∴．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，熟练运用反比例函数比例系数k的几何意义是解决问题的关键．
10.（2021·河南中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，
设B(a，a)，则有，
∴，即B(，)，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为，
大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴图中阴影部分的面积为16-8=8．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式．
11.（2021·湖南株洲市·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点．
（1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标；
（2）连接、、，记、的面积分别为、，设，求的最大值．
【答案】（1），D点横坐标为；（2）
【分析】
（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标；
（2）分别用含t的式子表示出、，得到关于t的二次函数，求函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴A点横坐标为1,
∵A点在一次函数的图像上，
∴，
∴,
∵A点也在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵，直线轴，
∴D点纵坐标为t，
∵D点在直线l上，
∴D点横坐标为，
综上可得：，D点横坐标为．
（2）直线轴，交于点，交图像于点，
∴E点纵坐标为t，
将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为，
∴，A点到DE的距离为，
∴，
∵轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大=；
∴的最大值为．
【点睛】
本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
12.（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线与双曲线相交于、两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连结并延长交双曲线于点C，连结交x轴于点D，连结，求的面积．
【答案】（1）；（2）2
【分析】
（1）将、代入反比例函数解析式中求得两点坐标，然后利用待定系数法求解函数解析式；
（2）根据反比例函数的对称性求得C点坐标，然后求出直线BC的解析式，从而得D点坐标，过点A作AM⊥x轴，交BC于点E，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】
解：（1）将、代入中，可得
3m=6，3n=6，
解得：m=2，n=2
∴、
设直线的解析式为，将、代入可得
，解得
∴直线的解析式为
（2）∵连结并延长交双曲线于点C，
∴C点坐标为
设直线BC的解析式为，将、代入可得
，解得
∴直线的解析式为
当y=0时，x=1
∴D点坐标为（1，0）
过点A作AM⊥x轴，交BC于点E，则E点坐标为（2，1）
∴．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数及几何综合，掌握反比例函数和一次函数的性质，利用属性结合思想解题是关键．
13.（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【分析】
（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=−3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x−3y=6x得x=2y=3或x=−1y=−6，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2−1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．
14.（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【分析】
（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；
（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y=−23x+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．
【解析】
（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y=12x；
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=−23b=6，
故一次函数的表达式为：y=−23x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积=12×CD•xA=12×12×3＝18．
15.（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
【分析】
（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=−2y=4，故点A（﹣2.4），进而求解；
（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM−12OC•BN，即可求解．
【解析】
（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=−2y=4，故点A（﹣2.4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k−2，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y=−8x②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y=12x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y=12x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM−12OC•BN=12×4×10−12×10×1=15．
16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，轴于点E，连接，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数表达式推出△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE，再由AC的长求出AE和CE，再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值；
（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出△CDE的面积．
【详解】
解：（1）∵一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∵AC=，即，
解得：AE=CE=3，
在y=x+1中，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），
∴OE=2，CE=3，
∴C（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数表达式为： ；
（2）联立：，
解得：x=2或-3，
当x=-3时，y=-2，
∴点D的坐标为（-3，-2），
∴S△CDE==．
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，解一元二次方程，三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图形作答．
17.已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1），；（2）8；（3），，，
【解析】
【分析】
（1）首先把，代入中，就可以确定m和 n的值，再把，代入，从而求得一次函数与反比例函数的表达式；
（2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标，求出直线AB与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积；
（3）根据AO=OP，AP=AO，AP=OP三种情况，结合两点间的距离公式得出点的坐标．
【详解】
解：（1）将代入中，得，
反比例函数的表达式为
在的图象上，，即
将、坐标代入得
，解得：．一次函数表达式为：．
（2）设直线与轴交于点，则点为，
．
（3），
设P（x，0）．
当AO=OP=时，点在轴上，
点为或
当AO=AP=时，
，x=-6或0（舍去）
点为，
当OP=AP时，
，；
点为
综上所述，符合条件的点P的坐标是，，，．
【点睛】
考查了一次函数综合题，需要掌握一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，在没有指明等腰三角形的底（或腰）的情况下，一定要分类讨论，以防漏解．
18.．如图，反比例函数与一次函数的图象在第二象限的交点为，在第四象限的交点为，直线（为坐标原点）与函数的图象交于另一点．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点，的面积为6．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点，的坐标和的面积．
【答案】（1）；（2）的面积为
【解析】
【分析】
（1）联立与求解的坐标，利用得到关于原点成中心对称，求解的坐标，结合已知得到的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）得到的值，得到的坐标，的解析式，记与轴的交点为 求解的坐标，利用可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得：
当
当
经检验：符合题意．
＜
为与的交点，
轴，轴，
的面积为6．
反比例函数的解析式为：
（2）
直线为，
记与轴的交点为，
令 则
【点睛】
本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与一次函数的性质，考查了方程组与一元二次方程的解法，图形与坐标，图形面积问题，掌握以上知识是解题的关键．
19.如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
【答案】（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3
【解析】
【分析】
【详解】
解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，
在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．
∴OD＝2，即点D（0，2），
把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，
b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，
∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；
把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，
∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．
（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．
（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可；
（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．
20.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，过点A作于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将点B(-1，-3)代入，可得反比例函数解析式，即可求出A点的坐标，将A、B代入解析式即可求解；
（2）过点B作BE垂直于y轴于点E，根据关系式可求解；
【详解】
解：（1）将点B(-1，-3)代入，
解得
所以反比例函数的表达式为；
将点A(-3，n)代入有，n=-1
将A，B代入得
解得
所以一次函数表达式为；
（2）过点B作BE垂直于y轴于点E，
答：四边形的面积为．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，准确利用函数性质进行求解是解题的关键．
21.如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：
解得：
直线为
把代入得：
把代入：
，
（2）设 轴，
则 由＜＜，
即当时，
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
22.如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）a=2；y=2x；（2）
【解析】
【分析】
（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=．
故△ACD的面积为．
【点睛】
（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．
（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
23.如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）的面积为______；
（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【解析】
【分析】
（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【详解】
解：（1）把代入反比例函数得：
m=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【点睛】
此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
24.如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点．
（1）_________，_________；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数的图象上一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积为_________．
【答案】（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2
【解析】
【分析】
（1）把A(1,4)代入求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；
（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出时x的取值范围；
（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，即可知道OM、PM，进而求出面积即可．
【详解】
解：（1）把x=1,y=4代入得，
4=，
解得m=4
∴
当y=2时，2=
解得，n=2
（2）把A(1,4)，B(2,2)分别代入得
解得
∴y2=-2x+6
当y1＜y2时，从图象看得出：1
∴OM=a，PM=,
∴S△POM=
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积．
25.如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．且点A的坐标为．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）9
【解析】
【分析】
（1）由点A在反比例函数图像上，求出a的值得到点A坐标，代入一次函数解析式即可；
（2）联立两个函数的解析式，即可求得点B的坐标，然后由S△AOB=S△AOC+S△BOC求得答案.
【详解】
解：∵点A在反比例函数上，
∴，解得a=2，
∴A点坐标，
∵点A在一次函数上，
∴，解得b=3，
∴该一次函数的解析式为；
（2）设直线与x轴交于点C，
令，解得x=- 2，
∴一次函数与x轴的交点坐标C（- 2，0），
∵，
解得或，
∴B（- 4，-3），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=
=
=
=9
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数的解析式、点与函数的关系以及三角形的面积，难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
26.在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）根据题意将点A坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可；
（2）根据题意，将直线解析式分以及两种情况结合的面积为的面积的2倍进一步分析求解即可.
【详解】
（1）∵反比例函数()的图象经过点A(3，4)，
∴，
解得：，
∴原反比例函数解析式为：；
（2）①当直线的时，函数图像如图所示，
此时，不符合题意，舍去；
②当直线的时，函数图像如图所示，
设OC的长度为m，OB的长度为n，
∵的面积为的面积的2倍
∴，
∴，
∴OC的长为2，
∴当C点在y轴正半轴时，点C坐标为(0，2)，
∴
∵点A坐标为(3，4)，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
当C点在y轴负半轴时，点C坐标为(0，−2)，
∴
∵点A坐标为(3，4)，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
综上所述，直线解析式为：或.
【点睛】
本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
27.如图，反比例函数的函数与y=2x的图象相交于点C，过直线上一点A（a，8）作AAB⊥y轴交于点B，交反比函数图象于点D，且AB=4BD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积．
【答案】（1）；（2）10
【解析】
【分析】
（1）求出点D的坐标即可解决问题；
（2）构建方程组求出点C的坐标，利用分割法求面积即可．
【详解】
解：（1）由点在上，则，
∴，
∵轴，与反比例函数图象交于点，且
∴，即，
∴，反比例函数解析式为；
（2）∵是直线与反比例函数图象的交点
∴，
∵
∴，则
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
28.如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求的面积．
【答案】（1）；（2）18
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关于a的方程，求出a，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据点A、B都在一次函数的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C坐标，求出CD长，即可求出的面积．
【详解】
解：（1）∵点，点在反比例函数的图象上，
∴．
解得．
∴．
∴反比例函数的表达式是．
（2）∵，
∴点A，点B的坐标分别是．
∵点A，点B在一次函数的图象上，
∴
解得
∴一次函数的表达式是．
当时，．
∴点C的坐标是．
∴．
∵点D是点C关于原点O的对称点，
∴．
作轴于点E，
∴．
【点睛】
本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关键a的方程，求出a，得到点A、B坐标．
29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【解析】
【分析】
（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.
【详解】
（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴
故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得，当时，，故B（-8,1）
如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知
S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
【点睛】
此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.
30.如图，已知点在双曲线上，过点的直线与双曲线的另一支交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作轴于点，连结，过点作于点．求线段的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由点在双曲线上，求得反比例函数解析式，再由点B在双曲线上，求得点B坐标，利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）用两种方式表示△ABC的面积可得，即可求出CD的长．
【详解】
解：（1）将点代入，得，即，
将代入，得，即，
设直线的解析式为，
将、代入，得
，解得
∴直线的解析式为．
（2）∵、，
∴，
∵轴，
∴BC=4，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了反比例函数上点坐标的特征，待定系数法求一次函数解析式，两点距离公式，面积法等知识，面积法：是用两种方式表示同一图形的面积．
类型二与其他有关
31.（2022·江苏苏州）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】(1)k的值为，的值为6 (2)或
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
(1)解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
(2)当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
32.（2022·湖北黄冈）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
(1)求y1与y2的解析式；(2)观察图像，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
(3)连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 ．
【答案】(1)，；(2)；(3)2．
【分析】（1）将两函数A、B的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可；
（2）由图像可知当x在A、B两点之间时y1
(1)∵一次函数y1＝kx＋b的图像与函数y2＝（x＞0）的图像交于A（6，－），B（，n）两点，
∴， ，解得：， ，
∴y1、y2的解析式为：，；
(2)从图像上可以看出，当x在AB两点之间时，y1
(3)
作CG⊥DE于G，如图，
∵直线DE是直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到，
∴，CF=t，
∵直线AB的解析式为，
∴直线AB与y轴的交点为C，与x轴的交点为，
即直线AB与x、y坐标轴的交点到原点O的距离相等，
∴∠FCA=45°，
∵CG⊥DE， ，
∴CG⊥AC，CG等于平行线AB、DE之间的距离，
∴∠GCF=∠GFC=45°，
∴CG==，
∵A、C两点坐标为：A（6，－），C，
∴线段AC=，
∴，
∵△ACD的面积为6，
∴3t=6，解得：t=2．
【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图像上的点的坐标求函数解析式，通过图像查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键．
33.（2022·湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点A的纵坐标为－2．
(1)求点A的横坐标；(2)记四边形的面积为S，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示S．
【答案】(1)A（-1，-2）(2)
【分析】（1）将y=-2代入中即可求解；
（2）由题意可得B（2，），则C（-1，），由即可求解；
(1)解：将y=-2代入中，
，解得：，
∴A（-1，-2）．
(2)由题意可得B（2，），
∵轴，轴，
∴C（-1，），
∴
．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识是解题的关键．
34.（2021·四川泸州市·中考真题）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值
【答案】（1）一次函数y=，（2）．
【分析】
（1）利用点A(2，3)，求出反比例函数，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用平移求出y=，联立，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，由勾股定理MN=,PQ=即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数的图象过A(2，3)，
∴m=6,
∴6n=6，
∴n=1，
∴B（6,1）
一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点，
∴，
解得，
一次函数y=，
（2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=，
当y=0时，，，当x=0时，y=-4，
∴M（-8，0），N（0，-4），
，
消去y得，
解得，
解得，，
∴P(-6,-1),Q(-2,-3),
在Rt△MON中，
∴MN=,
∴PQ=，
∴．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键．
35.（2021·山东东营市·中考真题）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）或
【分析】
（1）过点A作轴于点E，根据三角函数的性质，得点A，将点A代入，得；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）连接OB、、，结合（1）的结论，得点B；结合题意得；把代入，得点C；设点的坐标为，通过计算即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案．
【详解】
（1）如图，过点A作轴于点E，
∵，，
∴，，
∴点A，
∴双曲线的解析式为，
把，分别代入，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
（2）如图，连接OB、、
把代入，得，
∴点B，
∴，
∴，
把代入，得，
∴点C
设点的坐标为，
∵
∴，
∵，
∴点P的坐标为；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A、点B
∴或．
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数、二元一次方程组、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数的性质，从而完成求解．
36.（2021·山东聊城市·中考真题）如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6
（1）求k值和点D的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．
【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2）
【分析】
（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标；
（2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解．
【详解】
解∶（1）设点 D 坐标为（m，n），
由题意得．
∵点 D在的图象上，．
∵直线的图象与轴交于点A，
∴点A 的坐标为（－4，0）．
∵CHx轴，CH//y 轴．．
点D在反比例函数的图象上，
点 D 坐标为（4，3）
（2）由（1）知轴，．
．
过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M，
．
．
∴点 E 的横坐标为－8.
∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、的几何意义，属于中档难度的综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．
37.（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，反比例函数上的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）先根据点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据建立不等式，解不等式即可得．
【详解】
解：（1）将点代入得：，
则反比例函数的解析式为；
当时，，解得，即，
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
当时，，即，
，
轴，且，
，，
，
，
，
解得．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
38.（2021·山东泰安市·中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
【答案】（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】
(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
【详解】
解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
设，则，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（舍去），
当时，，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
39.（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【分析】
（1）把A（3，4）代入y=mx（x＞0）即可得到结论；
（2）根据题意得到B（−bk，0），C（0，b），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】
（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（−bk，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴12×4×|−bk|＝2×12×|−bk|×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k=23，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．
40.（2020•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【分析】
（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP=12•PC•yA＝4求出m的值即可得出答案．
【解析】
（1）将点A（1，2）代入y=mx，得：m＝2，
∴y=2x，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：k+b=2−2k+b=−1，
解得k=1b=1，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y=2x；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP=12•PC•yA＝4，
∴12×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
41.（2020•绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 5+13 ．
【分析】
（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），解方程和方程组即可得到结论；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=−23x+103，于是得到结论；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【解析】
（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，2m+n=2m+n=4，
∴m=−2n=6，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为（1，4），
∴D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴4=−a+b2=2a+b，解得：a=−23b=103，
∴直线D′E的解析式为y=−23x+103，
令x＝0，得y=103，
∴点P的坐标为（0，103）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE=12+22=5，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E=22+32=13，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5+13，
故答案为：5+13．
42.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出时，x的取值范围；
过点B作轴，于点D，点C是直线BE上一点，若，求点C的坐标．
【答案】反比例函数的解析式为，一次函数解析式为：；当或时，；当点C的坐标为或时，．
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；
(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D的右侧两种情况解答．
【详解】
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点B的坐标为，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：；
由函数图象可知，当或时，；
，，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为，
当点C的坐标为或时，．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
43.如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出中的取值范围；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】（1），；（2）或；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值．
（2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方即可，注意由两部分．
（3）由对称点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交点就是所求的点P，求出直线与y轴的交点坐标即可．
【详解】
（1）由题意得：
∴，
又∵反比例函数图象经过第二、四象限
∴，
当时，；当时，，解得
（2）由图象可以看出的解集为或
（3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大（PB-PA=PB-PA′≤A′B，共线时差最大）
∵关于轴的对称点为，
又，则直线与轴的交点即为所求点．
设直线的解析式为
则解得
∴直线的解析式为
∴直线与轴的交点为．
即点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了轴对称以及待定系数法求函数的关系式、线段的最值等知识，理解作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大．
44.如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
【答案】（1）①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时，有最大值；当时，有最小值；（2）；
【解析】
【分析】
（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；
②由①得直线AB为，则，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB的直线为，设点P为（x，），则得到，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴，即可求出n的取值范围．
【详解】
解：（1）当时，点B为（5，1），
①设直线AB为，则
，解得：，
∴；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
∴；
∵，
∴当时，有最大值；
当时，有最小值；
∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在的位置时k值最大．
（2）∵、，
设直线AB为，则
，解得：，
∴，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
当，即n=2时，，则k随x的增大而增大，如何题意；
当n≠2时，则对称轴为：；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．
即k在中，k随x的增大而增大；
当时，有
∴，解得：，
∴不等式组的解集为：；
当时，有
∴，解得：，
∴综合上述，n的取值范围为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
45.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】
（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
46.如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．
（1）求出直线的表达式；
（2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）当点在原点右侧时，，当点在原点左侧时，．
【解析】
【分析】
（1）通过点A的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B的坐标，利用待定系数法将A，B的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；
（2）直线与轴的交点为，过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，得到，即，分情况讨论即可解决．
【详解】
解：（1）∵在的图象上，
∴，，
又点在的图象上，，即．
将点，的坐标代入，得，
解得．
∴直线的表达式为．
（2）设直线与轴的交点为，
当时，解得．即．
分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，．
．
又，即，∴．
当点在原点右侧时，，
当点在原点左侧时，．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想.
47.如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．
（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，的周长最小值是______．
【答案】（1），；（2）点P坐标为；（3）．
【解析】
【分析】
（1）首先求出D点坐标，然后将D点坐标代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函数的解析式.将x=2代入反比例函数解析式求出对应y的值，即得到E点的坐标，然后将点D,E两点的坐标代入一次函数的解析式中，即可求出DE的解析式.
(2)作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．此时的周长最小.然后求出直线的解析式，求直线与y轴的交点坐标，即可得出P点的坐标；
（3）的周长的最小值为DE+，分别利用勾股定理两条线段的长，即可求.
【详解】
解：（1）∵D为的中点，，
∴．
∵四边形是矩形，，
∴D点坐标为．
∵在的图象上，
∴．∴反比例函数解析式为．
当时，．
∴E点坐标为．
∵直线过点和点
∴
解得
∴直线的解析式为．
∴反比例函数解析式为，
直线的解析式为．
（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．
此时的周长最小．∵点D的坐标为，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为．
∵直线经过
∴
解得
∴直线的解析式为．
令，得．
∴点P坐标为．
（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.
在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.
的周长的最小值为+DE =．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.
48.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
（1）________，点的坐标为________；
（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．
【答案】（1）m=6，；（2）当a=1时，面积的最大值为
【解析】
【分析】
（1）将点代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点C的横坐标即可；
（2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为，设D坐标为，则，进而得到，即可解答
【详解】
解：（1）把点代入反比例函数，得：，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：，
故答案为：6，；
（2）设直线对应的函数表达式为．
将，代入得，解得．
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在线段上，可设，
因为轴，交反比例函数图像于点．所以．
所以．
所以当a=1时，面积的最大值为．
【点睛】
本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．
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