专题30 阅读理解-备战2024年中考数学重难题型（全国通用）

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根据以上结论，解决以下问题：
(1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+有最小值，最小值为____；
(2)应用：
①如图1，已知点P为双曲线y=(x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：
②如图2，已知点Q是双曲线y=(x>0)上一点，且PQ∥x轴， 连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．
【解析】（1）根据题意知a=时最小，又∵a>0，∴a=1，则a+=2．
（2）①设点P(x，)，（x>0）；则四边形OAPB周长为2（x+），
当x=时，x=2，此时2（x+）有最小值8，即周长最小为8，此时点P(2，2)．
②设点P(x，)，（x>0）；OP==，
OP最小，即x+最小，所以x=，即x=2，∴点P（2，2）；
由点P（2，2），即可知Q点纵坐标是2，带入y=(x>0)得点Q（4，2）；
所以由O，P，Q三点坐标，要使OPQC四点能构成平行四边形，则点C坐标为：
（-2，0）、（2，0）或（6，4）．
2．数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，
②当两个字母，中有1个正，1个负时，
③当两个字母，中有0个正，2个负时．
（1）根据小明的分析，求的值．
（2）若均不为零，且，求代数式的值．
【解析】（1）①当中有2个正，0个负时，
原式；
②当中有1个正，1个负时，
原式；
③当中有0个正，2个负时，
原式；
综上所述，的值为或0或2．
（2）∵，
∴，，，
不可能都为正或都为负，
∴．
①当中有两正一负时，
原式，
②当中有一正两负时，
原式．
综上所述的值为1或．
3．定义：若两条抛物线在x轴上经过两个相同点，那么我们称这两条抛物线是“同交点抛物线”，在x轴上经过的两个相同点称为“同交点”，已知抛物线y=x2 +bx+c经过(﹣2，0)、( ﹣4，0)，且一条与它是“同交点抛物线”的抛物线y=ax2 +ex+f经过点( ﹣3，3)．
（1）求b、c及a的值；
（2）已知抛物线y =﹣x2 +2x +3与抛物线yn=x2﹣x﹣n （n为正整数）
①抛物线y和抛物线yn是不是“同交点抛物线”？若是，请求出它们的“同交点”，并写出它们一条相同的图像性质；若不是，请说明理由．
②当直线y =x+ m与抛物线y、yn，相交共有4个交点时，求m的取值范围．
③若直线y =k（k <0）与抛物线y =﹣x2 +2x +3与抛物线yn =x2﹣x﹣n （n为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A、点B、点C、点D，当AB =BC=CD时，求出k、n之间的关系式
【解析】(1) ∵抛物线经过(–2，0)、( –4，0)，则代入得：，
解得：，，
设“同交点抛物线”的解析式为，
将(–3，3)代入得：，
解得：，
故答案为：，，；
(2)①令，则，
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，
令，则，
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标为：(–1，0)、(3，0)，
∴抛物线和抛物线是“同交点抛物线”，
它们图形共同性质：对称轴同为直线；
②当直线与抛物线y相交只有1个交点时，
由，得：，
由，
解得：，
抛物线的顶点坐标为(1，)，其中为正整数，
因为随着的增大，的顶点纵坐标减小，所以当直线与抛物线中时的抛物线相交只有1个交点时，
由，得：，
由，
解得：，
如图所示：
当直线经过“同交点”时与两抛物线只有三个交点，
把“同交点”(–1，0)代入得：，
把“同交点” (3，0)代入得：，
∴当直线与抛物线、有4个交点时，m的取值范围为：
，且，；
③设直线分别与抛物线和抛物线相交于A、D、B、C，如图：
由，得：，
∵，，
∴，
由，得：，
∵，，
，
∵，
∴，
∴，
整理得：．
4.阅读下面的材料：
如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1（2）若x1例题：证明函数f（x）=（x＞0）是减函数．
证明：设0f（x1）–f（x2）=．
∵0∴＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）=+x（x<0），
f（–1）=+（–1）=0，f（–2）=+（–2）=–．
（1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________；
（2）猜想：函数f（x）=+x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【答案】（1）–，–；（2）增；（3）见解析．
【解析】（1）∵f（x）=+x（x<0），
∴f（–3）=–3=–，f（–4）=–4=–，
故答案为：–，–；
（2）∵–4<–3，f（–4）＞f（–3），
∴函数f（x）=+x（x<0）是增函数，
故答案为：增；
（3）设x1∵f（x1）–f（x2）==（x1–x2）（1–）
∵x1∴f（x1）–f（x2）<0，∴f（x1）∴函数f（x）=+x（x<0）是增函数．
【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
5.材料：解形如(x＋a)4＋(x＋b)4＝c的一元四次方程时，可以先求常数a和b的均值eq \f(a＋b,2)，然后设y＝x＋eq \f(a＋b,2)，再把原方程换元求解．用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法”．
例：解方程：(x－2)4＋(x－3)4＝1
解：∵－2和－3的均值为－eq \f(5,2)，∴设y＝x－eq \f(5,2)，原方程可化为(y＋eq \f(1,2))4＋(y－eq \f(1,2))4＝1.
去括号得(y2＋y＋eq \f(1,4))2＋(y2－y＋eq \f(1,4))2＝1.
y4＋y2＋eq \f(1,16)＋2y3＋eq \f(1,2)y2＋eq \f(1,2)y＋y4＋y2＋eq \f(1,16)－2y3＋eq \f(1,2)y2－eq \f(1,2)y＝1.
整理得2y4＋3y2－eq \f(7,8)＝0.(成功地消去了未知数的奇次项)
解得y2＝eq \f(1,4)或y2＝－eq \f(7,4)(舍去)．
∴y＝±eq \f(1,2)，即x－eq \f(5,2)＝±eq \f(1,2).∴x＝3或x＝2.
(1)用阅读材料中这种方法解关于x的方程(x＋3)4＋(x＋5)4＝1130时，先求两个常数的均值为________．设y＝x＋________．原方程转化为：(y－________)4＋(y＋________)4＝1130；
(2)用这种方法，求解方程(x＋1)4＋(x＋3)4＝706.
【答案】解：(1)4，4，1，1；
(2)∵1和3的均值为2，∴设y＝x＋2，原方程可化为(y＋1)4＋(y－1)4＝706.
去括号整理得y4＋6y2－352＝0.
解得y2＝16或y2＝－22(舍去)．
∵y＝±4，即x＋2＝±4，∴x＝－6或x＝2.
6.（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+=45，则x=__________；
②若–=26，则y=__________；
③若+=，则t=__________；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被__________整除，–一定能被__________整除，•–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．
【解析】（1）①∵=10m+n，
∴若+=45，则10×2+x+10x+3=45，
∴x=2，
故答案为：2．
②若–=26，则10×7+y–（10y+8）=26，
解得y=4，
故答案为：4．
③由=100a+10b+c，及四位数的类似公式得
若+=，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，
∴100t=700，
∴t=7，
故答案为：7．
（2）∵+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），
∴则+一定能被11整除，
∵–=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），
∴–一定能被9整除．
∵•–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）
∴•–mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，
972–279=693，
963–369=594，
954–459=495，
954–459=495，…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，
∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a–c≤9，
∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，
故都可以得到该黑洞数495．
【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．
7.（2019·凉山州）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若ab>0（或），则
②若ab<0（或），则
根据上述知识，求不等式的解集.
解：原不等式可化为：
，
解得：x>2，或x<－3，
∴原不等式的解集为：x>2或x<－3.
请你运用所学知识，并结合材料回答下列问题：
（1）不等式的解集为
（2）求不等式的解集（要求写出解答过程）.
【答案】（1）－1【解析】解：
（1），即
原不等式可化为：
，
由①得：无解
由②得：－1∴原不等式的解集为：－1（2），即，
原不等式可化为：
，
由①得：x>1，
由②得：x<－4，
∴原不等式的解集为：x>1或x<－4.
8.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的融合点.
例如: ，当点满足,时，则点是点，的融合点.
（1）已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点；
（2）如图，点，点是直线l上任意一点，点是点D、E的融合点.
①试确定与的关系式；
②若直线交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）∵
∴点C是点A、B的融合点；
（2）①由融合点定义知：
，
得：
而，得：
∴，
即：y=2x－1；
②由题意知：E点在直线l上运动，T点在直线y=2x－1上运动，
若△DTH为直角三角形，分三种情况讨论：
（i）当∠DHT=90°时，即ET⊥x轴，如下图所示，
设H（n，0），则T（n，2n－1），E（n，2n+3），
由点T是点D、E的融合点可得：
，解得：n=
即E点坐标为（，6）；
（ii）当∠HDT=90°时，即DT⊥x轴，如下图所示，
此时，T点坐标为（3,5），设E点坐标为（n，2n+3）
由点T是点D、E的融合点可得：
，解得：n=6，
即E点坐标为（6,15）；
（iii）当∠HTD=90°时，此种情况不存在；
综上所述，E点坐标为（，6）或（6,15）.
9.求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数
解：91－56＝35，
56－35＝21，
35－21＝14，
21－14＝7，
14－7＝7，
所以，91与56的最大公约数是7.
请用以上方法解决下列问题：
(1)求108与45的最大公约数；
(2)求三个数78、104、143的最大公约数
【答案】解：(1)∵108－45＝63，
63－45＝18，
45－18＝27，
27－18＝9，
18－9＝9，
∴108与45的最大公约数是9；
(2)先求104与78的最大公约数，
104－78＝26，
78－26＝52，
52－26＝26，
∴104与78的最大公约数是26；
再求26与143的最大公约数，
143－26＝117，
117－26＝91，
91－26＝65，
65－26＝39，
39－26＝13，
26－13＝13，
∴26与143的最大公约数是13，
∴78、104、143的最大公约数是13.
10.（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+…+22017+22018①，
则2S=2+22+…+22018+22019②，
②–①得2S–S=S=22019–1，
∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29=__________；
（2）3+32+…+310=__________；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．
【答案】（1）210–1；（2）；（3）a=1时，S=n+1；a≠1时，S=．
【解析】（1）设S=1+2+22+…+29①，
则2S=2+22+…+210②，
②–①得2S–S=S=210–1，
∴S=1+2+22+…+29=210–1；
故答案为：210–1；
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，
则3S=32+33+34+35+…+311②，
②–①得2S=311–1，
所以S=，
即3+32+33+34+…+310=；
故答案为：；
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，
则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，
②–①得：（a–1）S=an+1–1，
a=1时，不能直接除以a–1，此时原式等于n+1；
a≠1时，a–1才能做分母，所以S=，
即1+a+a2+a3+a4+…+an=.
【名师点睛】根据题目给出的信息，提炼解题方法．认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．
11.（2019·重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．
结合上面的学习过程，现在来解决下面的问题在函数中，当时，当时，
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】见解析.
【解析】解:
（1）由题意得：
，
解得：，即函数解析式为：
（2）图如下所示，
性质：函数图象为轴对称图形，对称轴为x=2；当x<2时，y随x增大而减小；x>2时，y随x增大而增大；x=2时函数值取最小值，最小值为－4；函数与x轴有两个交点，与y轴有一个交点……（填写一条即可）.
（3）1≤x≤4.
12.材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余．
材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差(高位数字减去低位数字)均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k(k≠0)时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数．
(1)证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；
(2)一个四位k阶数的两倍与两位数m2的差能被11整除(1≤m≤6)，且这个四位k阶数和两位数m2对3同余，求这个四位k阶数．
【答案】 (1)证明：设这个任意四位阶梯数的个位为n，阶数为k，则该四位阶梯数表示为：n＋10(n＋k)＋100(n＋2k)＋1000(n＋3k)，
它与个位数的差为：
n＋10(n＋k)＋100(n＋2k)＋1000(n＋3k)－n＝n＋10n＋10k＋100n＋200k＋1000n＋3000k－n＝1110n＋3210k＝6(185n＋535k)，
∵6(185n＋535k)是6的倍数，
∴6(185n＋535k)能被6整除．即一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；
(2)解：设这个任意四位阶梯数的个位为n，则该四位阶梯数表示为：n＋10(n＋k)＋100(n＋2k)＋1000(n＋3k)，
2[n＋10(n＋k)＋100(n＋2k)＋1000(n＋3k)]－10m－2＝2222n＋6420k－10m－2＝11(202n＋583k)＋7k－10m－2，7k－10m－2是11的倍数；
(1111n＋3210k)÷3与(10m＋2)÷3的余数相同．
易得k可取－1，－2，1，2，
当m＝1，2，3，4时，无论k取何值，7k－10m－2都不是11的倍数，
当m＝5时，k＝－2，此时四位k阶数为1357，
当m＝6时，k＝1，此时四位k阶数为8765，5432.
综上，这个四位数是1357，8765，5432.
13.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．
(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
(2)求出不大于100的“纯数”的个数．
【答案】解：(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：
∵在计算2019＋2020＋2021时，个位9＋0＋1＝10，产生了进位，
∴2019不是“纯数”．
∵在计算2020＋2021＋2022时，个位0＋1＋2＝3，十位2＋2＋2＝6，百位0＋0＋0＝0，千位2＋2＋2＝6，它们都没有产生进位，
∴2020是“纯数”；
(2)由题意，当“纯数”n为一位数时，n＋(n＋1)＋(n＋2)＝3n＋3＜10，
∴0≤n＜eq \f(7,3)，故n＝0，1，2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个，
当“纯数”n为两位数时，设n＝10b＋a(其中1≤b≤9，0≤a≤9，且a，b为自然数)，
则n＋(n＋1)＋(n＋2)＝30b＋3a＋3.
此时a，b应满足的条件分别为：
3a＋3＜10，即a＝0，1，2；1≤b≤3，即b＝1，2，3.
∵3×3＝9(个)，
∴在两位数的自然数中，“纯数”有9个．
∵100＋101＋102＝303，不产生进位，∴100是“纯数”，
∴3＋9＋1＝13(个)．
∴在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.
14.阅读下列材料解决问题：
如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，则这个数能被13整除．
如：593814，814－593＝221，221是13的17倍，所以593814能被13整除．
(1)若对任意一个七位数，末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，证明这个七位数一定能被13整除；
(2)已知一个五位自然数，末三位为m＝500＋10y＋52，末三位以前的数为n＝10(x＋1)＋y(其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数)，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除，求这个五位数．
【答案】(1)证明：设任意七位数的末三位为s，末三位以前的数为t，则这个七位数为ts，
由题意可令t－s＝13k(k为整数)．
ts＝1000t＋s＝1000t－13k＋t＝1001t－13k＝13(77t－k)，
∴这个七位数一定能被13整除；
(2解：)①当1≤y≤4时，m＝500＋10(5＋y)＋2.
交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为
m′＝100(5＋y)＋52，
m′－n＝100(5＋y)＋52－10(x＋1)－y
＝99y－10x＋542
＝13(42＋8y－x)－(4＋5y－3x)，
∵1≤x≤8，1≤y≤4，且x，y都为整数，
∴－21≤－(4＋5y－3x)≤15.
∴－(4＋5y－3x)的值为13或0或－13.
Ⅰ.若－(4＋5y－3x)＝13，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝2.（舍去）)).
Ⅱ.若－(4＋5y－3x)＝0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝4.))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))
∴这个五位数为94592，41562.
Ⅲ.若－(4＋5y－3x)＝－13，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))
∴这个五位数为33582.
②当5≤y≤9时，m＝600＋10(y－5)＋2.
交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为
m′＝100(y－5)＋62，
m′－n＝100(y－5)＋62－10(x＋1)－y
＝99y－10x－448
＝13(8y－x－34)－(6＋5y－3x)，
∵1≤x≤8，5≤y≤9，且x，y都为整数，
∴－48≤－(6＋5y－3x)≤－7.
∴－(6＋5y－3x)的值为－39，－26，－13.
Ⅰ.若－(6＋5y－3x)＝－39，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝9.))
∴这个五位数为59642.
Ⅱ.若－(6＋5y－3x)＝－26，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝7.))
∴这个五位数为67622.
Ⅲ.若－(6＋5y－3x)＝－13，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝5.))
∴这个五位数为75602.
综上所述：这个五位数为：94592，41562，33582，59642，67622，75602.
15．（2019·江西）特例感知
（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是_________；
①抛物线，，都经过点；
②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线，，与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等.
形成概念
（2）把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.
知识应用
在（2）中，如图2.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，，，…，，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，，，…，，其横坐标分别为：，，，…，（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，，，…，，连接，，判断，是否平行？并说明理由.
【答案】（1）①②③
（2）①，．
②相邻两点之间的距离相等，相邻两点距离为．
③不平行，直线的斜率（比例系数）为，与n取值有关(若两直线平行，则斜率会相等).
【解析】（1）①当x=0,，所以正确；
②的对称轴分别是直线，，，所以正确；
③与交点（除了点C）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．
（2）①，所以顶点，
令顶点横坐标，纵坐标，，
即：顶点满足关系式.
②相邻两点之间的距离相等．
理由：根据题意得；，，
∴CnCn–1两点之间的铅直高度=．
CnCn–1两点之间的水平距离=．
∴由勾股定理得CnCn–12=k2+1，
∴CnCn–1=.
③与不平行．
理由：
根据题意得：，，
，．
过Cn，Cn–1分别作直线y=1的垂线，垂足为D，E，
所以D（–k–n，1），E（–k–n+1，1）.
在Rt△DAnCn中，
tan∠DAnCn=，
在Rt△EAn–1Cn–1中，
tan∠EAn–1Cn–1=，
∵≠，
∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1，
∴与不平行．
16.对任意的一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于另一个数位上的数字，那么我们就把该数称为“三角形数”，现把n的百位数字替换成：十位数字加上个位数字后与百位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n1；把n的十位数字替换成：百位数字加上个位数字后与十位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n2；把n的个位数字替换成：百位数字加上十位数字后与个位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n3(若出现替换后的数位上的数字大于等于10，则该数位上的数字向前一位进位)．我们把n1、n2、n3的和记作F(n)．例如n＝345，则n1＝645，n2＝345，n3＝342，F(n)＝645＋345＋342＝1332；又知n＝839，则n1＝439，n2＝949，n3＝832，F(n)＝439＋949＋832＝2220.
(1)计算：F(212)，F(739)；
(2)如果一个“三角形数”t：t＝100x＋10y＋z(2≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x，y，z均为整数)，满足x＋y＋z＝17，正整数s＝100x＋30y＋109和正整数m＝204＋10y，满足s－m得到的新数的各个数位上的数字之和是18，规定：k(t)＝|eq \f(t－t2,t－t1)|，求k(t)的最大值．
【答案】解：(1)由题得，当n＝212时，n1＝112，n2＝232，n3＝211，
∴F(212)＝112＋232＋211＝555；
当n＝739时，n1＝539，n2＝839，n3＝731，
∴F(739)＝539＋839＋731＝2109；
(2)s－m＝100x＋30y＋109－204－10y＝100(x－1)＋20y＋5，
①当1≤y≤4时，
x－1＋2y＋5＝18，
∴x＋2y＝14，
∴x＝14－2y，
把x＝14－2y代入x＋y＋z＝17中，得14－2y＋y＋z＝17，
∴z＝y＋3，
∵2≤x≤9，1≤z≤9，
∴2≤14－2y≤9且1≤y＋3≤9，
∴2.5≤y≤6且－2≤y≤6，
∵1≤y≤4，
∴2.5≤y≤4，
∵y为整数，
∴y＝3或4，
当y＝3时，z＝6，x＝8，∴t＝836；
当y＝4时，z＝7，x＝6，∴t＝647；
②当5≤y≤9时，
x－1＋1＋2y－10＋5＝18，
x＋2y＝23，
∴x＝23－2y，
把x＝23－2y代入x＋y＋z＝17中，得z＝y－6，
∵2≤x≤9，1≤z≤9，
∴2≤23－2y≤9且1≤y－6≤9，
∴7≤y≤10.5且7≤y≤15，
∵5≤y≤9，
∴7≤y≤9，
∵y为整数，
∴y＝7或8或9，
当y＝7时，z＝1，x＝9，不是三角形数，应舍去；
当y＝8时，z＝2，x＝7，∴t＝782；
当y＝9时，z＝3，x＝5，不是三角形数，应舍去，
综上，t＝836或647或782，
当t＝836时，t1＝136，t2＝916，
∴k(836)＝|eq \f(836－916,836－136)|＝eq \f(4,35)，
当t＝647时，t1＝547，t2＝697，
∴k(647)＝|eq \f(647－697,647－547)|＝eq \f(1,2)，
当t＝782时，t1＝382，t2＝712，
∴k(782)＝|eq \f(782－712,782－382)|＝eq \f(7,40)，
∵eq \f(1,2)>eq \f(7,40)>eq \f(4,35)，
∴k(t)的最大值为eq \f(1,2).
17.（2019·甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．
点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．
问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．
【答案】见解析.
【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，
如图所示：
则EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，
∴△EB1C1是等腰直角三角形，
∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，
∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，
∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，
∴E、C1、N1三点共线，
在△A1B1M1和△EB1M1中，，
∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），
∴A1M1=EM1，∠1=∠2，
∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，
∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，
∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，
∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°．
【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．
18.（2019·甘肃天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE= QUOTE ．
【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）如图1，
∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中， QUOTE ，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4 QUOTE ，BE=5 QUOTE ，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE= QUOTE ．
【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
20．（2019•张家界）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1=1，a2=3，公差为d=2．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为5，第5项是__________．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d，…．
所以a2=a1+d，
a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an=a1+__________d．
（3）-4041是不是等差数列-5，-7，-9…的项？如果是，是第几项？
【解析】（1）根据题意得，d=10-5=5．
∵a3=15，a4=a3+d=15+5=20，a5=a4+d=20+5=25，故答案为：5；25．
（2）∵a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……
∴an=a1+（n-1）d，故答案为：n-1．
（3）根据题意得，
等差数列-5，-7，-9…的项的通项公式为：an=-5-2（n-1），
则-5-2（n-1）=-4041，
解之得：n=2019，
∴-4041是等差数列-5，-7，-9，…的项，它是此数列的第2019项．
【名师点睛】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．
21.（2019·青岛）问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a b的方格纸（a b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成 a b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2，b≥2，且a，b为正整数） ．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

图① 图②
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在 2 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于 22的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法．
图③
探究二：
把图①放置在 32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在 32的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 2  方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2  4＝8种不同的放置方法．
图④
探究三：
把图①放置在 a  2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤，在 a  2 的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的 22方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a  2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_______种不同的放置方法．

图⑤ 图⑥
探究四：
把图①放置在 a  3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在 a  3 的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的 2 2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a  3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_________种不同的放置方法．
……
问题解决：
把图①放置在 a  b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）
问题拓展：
如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了 a b c 个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到_________个图⑦这样的几何体．
图⑦ 图⑧
【答案】见解析.
【解析】解：
探究三：
根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，
根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；
故答案为: a﹣1，4a﹣4；
探究四：
边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，
同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，
所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）个位置不同的2×2方格，
根据探究一，在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．
故答案为: 2（a﹣2），8a﹣8；
问题解决：
在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，
依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有
4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；
问题拓展：
发现图⑦是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，
这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，
所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，
再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，
所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；
故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．
【点睛】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
22．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
如果，那么称点为点的“伴随点”．
例如：点的“伴随点”为点；点的“伴随点”为点．
（1）直接写出点的“伴随点”的坐标．
（2）点在函数的图象上，若其“伴随点”的纵坐标为2，求函数的解析式．
（3）点在函数的图象上，且点关于轴对称，点的“伴随点”为．若点在第一象限，且，求此时“伴随点”的横坐标．
（4）点在函数的图象上，若其“伴随点”的纵坐标的最大值为，直接写出实数的取值范围．
【解析】解：（1）点A＇的坐标为（2，1）．
（2）①当m≥0时，
m+1=2，m=1;
∴B（1，2）,
∵点B在一次函数y=kx+3图象上，
∴k+3=2，
解得：k=-1;
∴一次函数解析式为y=-x+3;
②当m＜0时，
m+1=-2，m=-3;
∴B（-3，-2）．
∵点B在一次函数y=kx+3图象上，
∴-3k+3=-2，
解得：k=，
∴一次函数解析式为y=x+3;
（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y=－x2+4的图象上，
∴点C的坐标为（n，-n2+4），
∴点D的坐标为（-n，-n2+4），D＇（-n，n2-4）;
∵CD=DD＇，
∴2n=2（-n2+4），
解得：n=;
∵点C在第一象限，
∴取，（舍）;
∴D＇的横坐标为．
（4）－2≤n≤0、1≤n≤3．
解析如下：
当左边的抛物线在上方时，如图①、图②．－2≤n≤0,
当右边的抛物线在上方时，如图③、图④．1≤n≤3;
23．阅读下列材料，然后解答问题:
在进行二次根式的化筒与计算时我们有时会遇到如:，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:；
以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．
请参照以上方法化简:
（1）
（2）
（3）
【解析】解：；
；
=
24．设是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以说函数是闭区间上的“闭函数”
（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；
（2）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求的值；
（3）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的表达式(可用含的代数式表示)．
【解析】(1)反比例函数是闭区间[1,2019]上的“闭函数”
理由如下
反比例函数在第一象限，随的增大而减小，
当时，
当时，,
即图象过点(1,2019)和(2019,1)
当时，有，符合闭函数的定义，
反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”
(2)由于二次函数的图象开口向上,对称轴为,
二次函数在闭区间[3,4]内，随的增大而增大
当时，,
当时，,
即图象过点(3,3)和(4,4)
当时，有，符合闭函数的定义，
(3)因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，
根据一次函数的图象与性质，有
①当时，即图象过点和
，解得.
②当时，即图象过点和,
解得
∴直线解析式为
综上所述，当k＞0时，直线的解析式为y＝x，当k＜0，直线的解析式为y＝−x＋m＋n．
25．如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段．请依据上述定义解决如下问题：
(1)如图1，在锐角中，，，则 ；
(2)如图2，在中，，，，求的面积；
(3)如图3，在钝角中，，点在边上，，，，求
【答案】（1）2；（2）39；（3）
【解析】解：（1）如图1中，作．
，，
，
，
，
故答案为2．
（2）如图2中，作于．
，，，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，作于，于．
，，，
，，
，，，，
，，
，，
在中，
，，，
，
，
．
26．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：
材料 1：已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算：．
例如：已知，则这两点的距离
材料2：在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即
如图，已知，求线段的长度和中点的坐标；
若为轴上一动点，求的最小值；
已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由．
【解析】解：
解：设
作点关于轴对称点
连接
解：
为直角三角形