高中鲁科版 (2019)第5节 自由落体运动优秀一课一练

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考点1：自由落体运动的特点
1.自由落体运动的受力特点
自由落体运动是一种理想化的运动，物体在空气中的运动都要受到阻力的作用，但当自由下落的物体所受的空气阻力远小于物体的重力时，物体的运动可视为自由落体运动．
2．自由落体运动的运动特点
（1）在同一地方，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同．
（2）在地球表面上各处的重力加速度不同．

（3）在地球表面上同一地点，重力加速度随高度的增加而减小，在一般的高度内，可认为重力加速度的大小不变．
（4）重力加速度的方向总是竖直向下．
【针对训练】
1．在真空中，将苹果和羽毛同时从同一高度由静止释放，下列频闪照片中符合事实的是( )
A B C D
【解析】C 由于苹果和羽毛从同一高度同时下落，故任意时刻都在同一高度，且是加速运动，故频闪间距不断变大，故C正确．
2．(多选)关于重力加速度的说法中，正确的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地面上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同
D．在地球上的同一地方，离地面高度越大，重力加速度g越小
【解析】BCD 重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同．在地球表面不同的地方，g的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，所以选项A错误，选项B正确；在地球表面的同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐变小，所以选项C、D正确．
考点2：自由落体运动的规律及应用
1.自由落体运动的基本规律
2.自由落体运动的几个推论
3.自由落体运动的几个比例(初速度为零的匀加速直线运动均适用)
（1）第1 s末，第2 s末，第3 s末，…，第n s末速度之比为
1∶2∶3∶…∶n.
（2）连续相等时间内的位移之比为
1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
（3）连续相等位移所用时间之比为
1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))．
【例】 有一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，g取10 m/s2.当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好落到井底，则相邻两个小球下落的时间间隔为多少？此时第3个小球和第5个小球相隔几米？
【分析】本题中小球下落的特点是在同一位置间隔相等的时间下落，可先画出运动示意图，再用Δh＝gT2求解．
【解析】如图所示，11个小球将125 m分成10段，此状态可认为是一个小球从零时刻开始每隔一个Δt时间所处的位置．
设总下落时间为t，由h＝eq \f(1,2)gt2，有
t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×125,10)) s＝5 s
则Δt＝eq \f(t,10)＝0.5 s
这时第3个小球与第5个小球的距离
Δh＝eq \f(1,2)g(8Δt)2－eq \f(1,2)g(6Δt)2＝35 m.
【答案】0.5 s 35 m
【技巧与方法】
应用自由落体运动规律解题的思路和方法
1 首先将题目中的日常生活信息进行加工处理，选择有用的已知信息，排除干扰因素．
2 在分析信息的基础之上进行科学的模型抽象，建立物理模型，将实际问题转化为理想的物理过程．
3 根据已知条件和自由落体运动模型遵循的物理规律，选择准确的物理公式列方程，代入数值求解．
【针对训练】
3．(多选)甲、乙两物体质量之比为m甲∶m乙＝3∶1，甲从H高处自由下落，乙从2H高处同时自由下落，不计空气阻力，以下说法正确的是( )
A．在甲落地之前，同一时刻甲的速度比乙的速度大
B．在甲落地之前，同一时刻两物体的速度相等
C．甲落地时，乙距地面的高度为H
D．甲、乙在空中运动的时间之比为1∶2
【解析】BC 根据v＝gt可知，落地前甲的速度等于乙此时的速度，故A错误，B正确；甲、乙同时由静止开始下落，根据h＝eq \f(1,2)gt2可知，甲落地前，甲、乙下落高度相同，故乙距地面的高度为H，故C正确；根据h＝eq \f(1,2)gt2可知，下落时间之比为1∶eq \r(2)，故D错误．
4.每隔一定时间就有一滴水从屋檐滴下，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上下沿，如图所示．(取g＝10 m/s2)试求：
（1）滴水的时间间隔是多少？
（2）此屋檐离地面多高？
【解析】方法一：利用基本规律求解
(1)设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为T.由h＝eq \f(1,2)gt2得第2滴水的位移h2＝eq \f(1,2)g(3T)2①
第3滴水的位移h3＝eq \f(1,2)g(2T)2②
又h2－h3＝1 m③
联立①②③三式，解得T＝0.2 s.
(2)屋檐离地高度
h＝eq \f(1,2)g(4T)2＝eq \f(1,2)×10×(4×0.2)2 m＝3.2 m.
方法二：用比例法求解
由于水滴下落的时间间隔相等，则相邻两水滴之间的间距从上到下依次可设为h0、3h0、5h0、7h0，如图所示．
显然，窗高为5h0，即5h0＝1 m，得h0＝0.2 m，屋檐离地高度h＝h0＋3h0＋5h0＋7h0＝3.2 m.
由h＝eq \f(1,2)gt2知，滴水的时间间隔为T＝eq \r(\f(2h0,g))＝eq \r(\f(2×0.2,10)) s＝0.2 s.
方法三：用平均速度求解
(1)设滴水的时间间隔为T，窗高h′＝1 m，则水滴经过窗子过程中的平均速度为eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(h′,T)，
由vt＝gt知，水滴下落2.5T时的速度为
veq \f(t,2)＝2.5gT，由于eq \(v,\s\up6(－))＝veq \f(t,2)，故有eq \f(h′,T)＝2.5gT，
解得T＝0.2 s.
(2)屋檐离地高度h＝eq \f(1,2)g(4T)2＝3.2 m.
考点3：伽利略对自由落体运动的研究
1.伽利略的科学方法
eq \x(\a\al(对现象的,一般观察))⇒eq \x(提出假设)⇒eq \x(\a\al(运用逻辑及,数学推理 ))⇒eq \x(\a\al(通过实验对推,论进行检验 ))⇒eq \x(\a\al(对假说进行,修正和推广))
2．伽利略科学方法的意义
伽利略对物体运动的研究，开创了数学推理和实验研究相结合探索自然规律的科学方法．这种方法到现在仍然是物理学乃至整个自然科学最基本的研究方法．这种方法的使用，不但标志着物理学的真正开始，也有力地推进了人类科学认识的发展，近代科学研究的大门从此打开．
【针对训练】
5．(多选)伽利略在研究自由落体运动时，设计了如图所示的斜面实验．下列哪些方法是他在这个实验中采用过的( )
A．用水钟计时
B．用打点计时器打出纸带进行数据分析
C．改变斜面倾角，比较各种倾角得到的eq \f(s,t2)的比值的大小
D．将斜面实验的结果合理“外推”，说明自由落体运动是特殊的匀变速直线运动
【解析】ACD 伽利略时代采用的计时方法是水钟计时，选项A正确，选项B错误．研究自由落体运动时，伽利略利用数学推理得出结论，若速度随时间均匀变化，则位移与时间的二次方成正比，选项C正确．伽利略将斜面实验的结果合理“外推”得到自由落体运动规律，选项D正确．
6．在学习物理知识的同时，还应当注意学习物理学中研究问题的思想和方法，从一定意义上说，后一点甚至更重要．伟大的物理学家伽利略的研究方法对于后来的科学研究具有重大的启蒙作用，至今仍然具有重要意义．请你回顾伽利略探究物体下落规律的过程，判定下列哪个过程是伽利略的探究过程( )
A．猜想——问题——数学推理——实验验证——合理外推——得出结论
B．问题——猜想——实验验证——数学推理——合理外推——得出结论
C．问题——猜想——数学推理——实验验证——合理外推——得出结论
D．猜想——问题——实验验证——数学推理——合理外推——得出结论
【解析】C 伽利略探究物体下落规律的过程是：先对亚里士多德对落体运动的观察得出的结论提出质疑——大小石块捆在一起下落得出矛盾的结论；猜想——下落的运动是最简单的运动，速度与时间成正比；数学推理——如果v∝t，则有h∝t2；实验验证——设计出斜面实验并进行研究，得出光滑斜面上滑下的物体的规律h∝t2；合理外推——将光滑斜面上滑下的物体的规律h∝t2推广到自由落体运动．从探究的过程看，答案应是C.






考点达标
一、选择题
1．伽利略对自由落体运动的研究是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列说法正确的是( )
A．甲、乙、丙、丁图都是实验现象
B．丁图是实验现象，甲、乙、丙图是经过合理的外推得到的结论
C．运用丁图的实验，可“放大”重力的作用，使实验现象更明显
D．运用甲图的实验，可“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显
【解析】D 甲、乙、丙三个图都是实验现象，采用斜面的目的是“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显，采用不同倾角的斜面，是为了观察小球运动的规律，形成外推的实验基础，丁图是在甲、乙、丙图的基础上经过合理的外推得到的结论，选项D正确．
2．物体从某一高度自由下落，第1 s内就通过了全程的一半，物体还要下落多少时间才会落地( )
A．1 s B．1.5 s
C.eq \r(2) s D．(eq \r(2)－1) s
【解析】D 利用自由落体运动的位移时间关系式h＝eq \f(1,2)gt2知，物体通过全程所需时间为t1＝eq \r(\f(2h,g))，自开始至通过全程的一半所需时间为t2＝eq \r(\f(h,g))＝1 s，物体还要下落的时间Δt＝t1－t2＝(eq \r(2)－1)eq \r(\f(h,g))＝(eq \r(2)－1) s，故D正确．
3．下面能正确表示做自由落体运动的物体下落的速度v随时间t变化的图像的是( )

A B C D
【解析】B 自由落体运动的速度随时间的变化规律满足公式v＝gt，其中加速度g是常数，则速度v与时间t成正比，其速度—时间图像应该是一条过原点的倾斜直线，选项B对，其他选项均错．
4．一物体从离地H高处自由下落，经过时间t落地，则当它下落eq \f(t,2)时，离地的高度为( )
A.eq \f(1,4)H B.eq \f(1,2)H
C.eq \f(3,4)H D.eq \f(4,5)H
【解析】C 根据自由落体运动的位移规律可得：H＝eq \f(1,2)gt2，它下落eq \f(t,2)的位移为h＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,2)))2，此时，物体离地的高度H0＝H－h＝eq \f(3,4)H，选项C正确．
5．(多选)关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．自由落体运动是竖直方向上的匀加速直线运动
B．竖直方向上的位移只要满足s1∶s2∶s3∶…＝1∶4∶9∶…的运动就是自由落体运动
C．自由落体运动在开始连续的三个2 s内的路程之比为1∶3∶5
D．自由落体运动在开始连续的三个1 s末的速度之比为1∶3∶5
【解析】AC 自由落体运动是竖直方向上的匀加速直线运动，A正确；自由落体运动从开始下落起，位移之比s1∶s2∶s3∶…＝1∶4∶9∶…，但位移之比是1∶4∶9∶…的运动不一定是自由落体运动，所以B不正确；自由落体运动适用于初速度为零的匀加速直线运动的所有规律，所以C正确，D不正确．
6．某同学在实验室做了如图所示的实验，铁质小球被电磁铁吸附，断开电磁铁的电源，小球自由下落，已知小球的直径为0.5 cm，该同学从计时器上读出小球通过光电门的时间为1.00×10－3 s，g取10 m/s2，则小球开始下落的位置距光电门的距离h为( )
A．1 m B．1.25 m
C．0.4 m D．1.5 m
【解析】B 小球通过光电门的时间很短，这段时间内的平均速度可看成瞬时速度，v＝eq \f(s,t)＝5 m/s，由自由落体运动规律可知h＝eq \f(v2,2g)＝1.25 m，B正确．
二、非选择题
7．从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求：
(1)小球落到地面所用的时间；
(2)自小球开始下落计时，在第1 s内的位移、最后1 s内的位移．
【解析】 (1)由h＝eq \f(1,2)gt2，得落地所用时间：
t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×500,10)) s＝10 s.
(2)第1 s内的位移：
h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)＝eq \f(1,2)×10×12 m＝5 m
因为从开始运动起前9 s内的位移为
h9＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,9)＝eq \f(1,2)×10×92 m＝405 m
所以最后1 s内的位移为Δh＝h－h9＝500 m－405 m＝95 m.

巩固提升
一、选择题
1．伽利略以前的学者认为，物体越重，下落越快．伽利略等一些物理学家否定了这种看法．在一高塔顶端同时释放一片羽毛和一个玻璃球，玻璃球先于羽毛到达地面，这主要是因为( )
A．它们的质量不同
B．它们的密度不同
C．它们的材料不同
D．它们所受的空气阻力的影响不同
【解析】D 羽毛下落时空气阻力不能忽略，玻璃球下落时空气阻力可以忽略．当物体初速度为零，只受重力或空气阻力相对重力忽略不计时，其运动可视为自由落体运动．玻璃球先于羽毛到达地面，这主要是因为羽毛受到的空气阻力不能忽略，故D正确．
2．(多选)有一直升机停在200 m高的空中静止不动，有一乘客从窗口每隔1 s由静止释放一个钢球，则关于钢球在空中的排列情况，下列说法正确的是( )
A．相邻钢球间距离相等
B．越靠近地面，相邻钢球间的距离越大
C．在落地前，早释放的钢球速度总是比晚释放的钢球速度大
D．早释放的钢球落地时的速度大
【解析】BC 由v∝t知，下落时间越长速度越大；由s∝t2知，下落的时间越长，下落的高度越大，又因为物体的运动速度越大，相等时间内发生的位移越大，所以越靠近地面，钢球间距离越大；又因为钢球从同样高度释放，虽然释放顺序不同，落地先后不同，但在空中运动的时间相等，故落地时的速度也相同．B、C正确．
3．一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是1.2 m，那么它在第三段时间内的位移是( )
A．1.2 m B．3.6 m
C．6.0 m D．10.8 m
【解析】C 初速度为零的做匀加速直线运动的石块，从静止开始在连续相等时间内的位移之比为s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，得s3＝5s1＝6.0 m．
4．如图所示，水龙头开口A处的直径d1＝2 cm，A离地面B的高度h＝80 cm，当水龙头打开时，从A处流出的水流速度v1＝1 m/s，在空中形成一完整的水流束，不计空气阻力．则该水流束在地面B处的截面直径d2约为(g取10 m/s2)( )

A．2 cm B．0.98 cm
C．4 cm D．应大于2 cm，但无法计算


【解析】B 水流由A到B做匀加速直线运动，由veq \\al(2,B)－veq \\al(2,1)＝2gh可得：vB＝eq \r(17) m/s，由单位时间内通过任意横截面的水的体积均相等，可得：v1·Δt·eq \f(1,4)πdeq \\al(2,1)＝vB·Δt·eq \f(1,4)πdeq \\al(2,2)，解得：d2≈0.98 cm，故B正确．
二、非选择题
5．一个物体从空中A点做自由落体运动，经过空中B点时速度为eq \f(v,2)，物体落到地面C点时速度为v.已知B点离地面的高度h＝15 m，g取10 m/s2，求：
(1)物体落到地面C点时的速度v的大小；
(2)物体在空中运动的时间t；
(3)A点与地面C点的高度H.
【解析】 (1)由B点到C点，v2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,2)))2＝2gh，代入数据解得v＝20 m/s.
(2)根据v＝gt，可得物体在空中运动的总时间为：t＝eq \f(v,g)＝2 s.
(3)根据v2＝2gHeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(根据H＝\f(1,2)gt2也可))，可得H＝eq \f(v2,2g)＝20 m.
【答案】 (1)20 m/s (2)2 s (3)20 m

6．如图所示，悬挂的直杆AB长为a，在B端以下h处有一长为b的无底圆柱筒CD，若将悬线剪断，问：
(1)直杆下端B穿过圆柱筒的时间是多少？
(2)整个直杆AB穿过圆柱筒的时间是多少？




【解析】 (1)直杆下端B下落到C(下落h)开始进入圆柱筒，当直杆下端B下落到D(下落h＋b)时穿出圆柱筒．
由s＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2s,g))
则B端下落到C点所需时间为t1＝eq \r(\f(2h,g))
B端下落到D点所需时间t2＝eq \r(\f(2h＋b,g))
则直杆下端B穿过圆柱筒的时间是
Δt1＝t2－t1＝eq \r(\f(2h＋b,g))－eq \r(\f(2h,g)).
(2)整个直杆AB穿过圆柱筒，从B下落到C点(自由下落h)起到A下落到D点(自由下落h＋a＋b)止
同理可得整个直杆AB穿过圆柱筒的时间是
Δt2＝eq \r(\f(2h＋a＋b,g))－eq \r(\f(2h,g)).
【答案】 (1)eq \r(\f(2h＋b,g))－eq \r(\f(2h,g))
(2)eq \r(\f(2h＋a＋b,g))－eq \r(\f(2h,g))
匀变速直线运动
自由落体运动
速度公式
vt＝v0＋at
vt＝gt
位移公式
s＝v0t＋eq \f(1,2)at2
h＝eq \f(1,2)gt2
速度位移关系式
veq \\al(2,t)－veq \\al(2,0)＝2as
veq \\al(2,t)＝2gh
匀变速直线运动
自由落体运动
中间时刻的速度
veq \f(t,2)＝eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v0＋vt,2)
veq \f(t,2)＝eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(vt,2)＝eq \f(gt,2)
中间位置的速度
veq \f(s,2)＝eq \r(\f(v\\al(2,0)＋v\\al(2,t),2))
veq \f(s,2)＝eq \r(\f(v\\al(2,t),2))＝eq \f(\r(2),2)gt
位移差公式
Δs＝aT2
Δh＝gT2