物理必修 第一册第4章 力与平衡第1节 科学探究:力的合成精品达标测试

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考点1：合力与分力的关系
1．合力与分力的三性
2．合力与分力的大小关系
【例1】 (多选)大小不变的两个共点力F1与F2，其合力为F，则( )
A．合力F一定大于任一分力
B．合力大小既可等于F1，也可等于F2
C．合力有可能大于任何一个分力
D．合力F的大小随F1、F2之间夹角的增大而减小
【解析】BCD 本题中虽然两个分力大小一定，但其夹角未知，我们可以取一些特殊值来分析．当θ＝0°时，合力最大Fmax＝F1＋F2，当F1、F2夹角为180°时，合力最小Fmin＝|F1－F2|，因此合力F大小变化范围为|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，若取F1＝2 N，F2＝3 N，则1 N≤F合≤5 N，故应排除A项，同时确定C项正确．对B项，由合力变化范围可知正确．对D项，当F1与F2之间夹角最小为零时，合力最大；当F1与F2之间夹角最大为180°时，合力最小，合力随着F1与F2之间夹角的增大而减小，故正确答案为B、C、D.
【技巧与方法】
合力与分力是等效替代关系，若两者分别作用在同一个物体上时，其作用效果相同，并不是指物体同时受到合力和分力的作用.
合力与分力的大小关系可利用平行四边形定则画出示意图分析.其大小关系为：合力的大小可能大于每个分力，也可能小于每个分力，还可能与某个分力相等.
【针对训练】
1．(多选)如图所示，一木棒用两根绳子拴住悬挂在空中，则下列说法正确的是( )
A．木棒受G、F1、F2三个力作用
B．木棒受G、F1、F2和合力F(F1与F2的合力)四个力作用
C．因为F1、F2不是作用在棒的重心上，所以F1、F2、G不是共点力
D．因为F1、F2、G三个力的作用线相交于一点，所以F1、F2、G是共点力
【解析】AD 对木棒进行受力分析，木棒受重力G、两根绳子的拉力F1、F2三个力作用，故A正确；F1、F2是物体实际受到的力，而它们的合力F只是与F1、F2在作用效果上相等，合力F并不是物体实际受到的力，故B错误；共点力的定义明确指出一个物体受到的力作用于物体上的同一点或者它们的作用线交于一点，这样的一组力称为共点力，F1、F2、G三个力的作用线相交于一点，所以F1、F2、G是共点力，故C错误，D正确．
2．(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F，以下说法正确的是( )
A．若F1和F2的大小不变，θ越小，合力F就越大
B．若F1和F2的大小不变，θ越大，合力F就越大
C．合力F总比分力F1和F2中的任何一个都大
D．合力F可能比分力F1和F2中的任何一个都小
【解析】AD 当两分力大小不变时，两分力间夹角减小，合力F就增大；两分力间夹角增大，合力F将减小，选项A对，B错；根据平行四边形中对角线与两邻边的长短关系可知选项C错，D对．
考点2：平行四边形定则
1．作图法
作图法就是用作图工具根据平行四边形定则作出以两分力为邻边的平行四边形．具体操作流程如下：
2．计算法
可以根据平行四边形定则作出示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力．以下为求合力的三种常见情况：
【例2】 在蒸汽机发明以前，大运河中逆水行船经常用纤夫来拉船，其情景如图所示．假设河两岸每边10个人，每个人沿绳方向的拉力为600 N，绳与河岸方向的夹角为30°，试用作图法和计算法分别求出船受到的拉力．
【分析】①用“作图法”时，物体受到的各个力要选定统一的标度，比例适当．
②用“计算法”时，要注意利用三角形知识求解合力的大小和方向．
【解析】(1)作图法：如图甲所示，自O点引两条有向线段OA和OB，相互间夹角为60°，设每单位长度表示2 000 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度，作出平行四边形OACB，其对角线OC就表示绳的拉力F1、F2的合力F.量得OC长5.2个单位长度，故合力F＝5.2×2 000 N＝10 400 N．用量角器量得∠AOC＝∠BOC＝30°，所以合力沿河岸方向．
甲 乙
(2)计算法：先作出力的平行四边形如图乙所示，由于两力F1、F2大小相等，故得到的平行四边形是一个菱形．由几何关系易得合力F＝2F1cs 30°＝6 000eq \r(3) N≈10 400 N，方向沿河岸方向．
【技巧与方法】
作图法与计算法的比较
作图法的优点是形象直观，缺点是不够精确．作图时应注意采用统一的标度，标出箭头且实线、虚线要分明．
计算法的优点是精确．应用计算法时先用平行四边形定则作图，再通过数学知识计算出合力．作图时，尽量通过添加辅助线得到一些特殊的三角形，这样便于计算．
计算法求合力时常用到的几何知识．
①应用直角三角形中的边角关系求解，用于平行四边形的两边垂直或平行四边形的对角线垂直的情况；
②应用等边三角形的特点求解；
③应用相似三角形的知识求解，用于力的矢量三角形与实际三角形相似的情况．
【针对训练】
3．两个共点力的大小分别为F1和F2，作用于物体的同一点．两力同向时，合力为A，两力反向时，合力为B，当两力互相垂直时，合力为( )
A.eq \r(A2＋B2) B.eq \r(\f(A2＋B2,2))
C.eq \r(A＋B) D.eq \r(\f(A＋B,2))
【解析】B 设两力为F1、F2，且F1＞F2，由题意知F1＋F2＝A，F1－F2＝B，故F1＝eq \f(A＋B,2)，F2＝eq \f(A－B,2).当两力互相垂直时，合力F＝eq \r(F\\al(2,1)＋F\\al(2,2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A＋B,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A－B,2)))2)＝eq \r(\f(A2＋B2,2)).
4．物体受到两个力F1和F2的作用，F1＝18 N，方向水平向右；F2＝24 N，方向竖直向上．求这两个力的合力F.(试用作图法和计算法两种方法)
【解析】 方法一：作图法．取单位长度为6 N的力，则分别取3个单位长度、4个单位长度，自O点引两条有向线段OF1和OF2，且使OF1⊥OF2.以OF1和OF2为两个邻边，作平行四边形如图所示，则对角线OF就是所要求的合力F.量出对角线的长度为5个单位长度，则合力的大小F＝5×6 N＝30 N，用量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°，即合力F的方向向右偏上53°.
方法二：计算法．实际上是先运用数学知识，再回到物理情景．在如图所示的平行四边形中，△OFF1为直角三角形，根据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1的夹角，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向．
则F＝eq \r(F\\al(2,1)＋F\\al(2,2))＝30 N，
tan θ＝eq \f(F2,F1)＝eq \f(4,3)，所以θ为53°，即向右偏上53°.
考点达标
一、选择题
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．2 N的力可以分解成6 N和3 N的两个分力
B．10 N的力可以分解成5 N和3 N的两个分力
C．2 N的力可以分解成6 N和5 N的两个分力
D．10 N的力可以分解成10 N和10 N的两个分力
【解析】CD 逆向思维法，根据两个分力的合力的取值范围来判定．如A项中6 N和3 N的合力的范围是3 N≤F≤9 N，故合力不可能是2 N，即2 N的力不能分解为6 N和3 N的两个分力．同理B选项也不符合．
2．如图所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力．图中N为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是( )
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B．物体受到mg、N、F1、F2共四个力的作用
C．F2是物体对斜面的压力
D．力N、F1、F2这三个力的作用效果与mg、N这两个力的作用效果相同
【解析】D F1是重力沿斜面向下的分力，其作用效果是使物体沿斜面下滑，但施力物体不是斜面，故选项A错误；物体受到重力mg和支持力N两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误；F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但两者的受力物体不同，F2的受力物体是物体，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误；合力与分力的作用效果相同，故选项D正确．
3.如图所示是李强同学设计的一个小实验．他将细绳的一端系在手指上，绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”．在杆的A端悬挂不同重物，并保持静止．通过实验会感受到什么，说法不正确的是( )
A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C指向A
C．绳对手指施加作用力的方向沿绳由B指向A
D．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大
【解析】B [物体重力的作用效果是：一方面拉紧细绳，另一方面使杆压紧手掌，故选项A正确；杆对手掌的作用力方向沿杆由A指向C，绳对手指的作用力由B指向A，故选项B错误，选项C正确；将重力分解为沿绳方向的力F1和沿杆方向的力F2，如图所示，由F1＝eq \f(G,cs θ)，F2＝Gtan θ可知，物重G越大，F1、F2也越大，故选项D正确．
4．如图所示，质量为10 kg的物体静止在平面直角坐标系xOy的坐标原点，某时刻只受到F1和F2的作用，且F1＝10 N，F2＝10eq \r(2) N，则物体的合力( )
A．方向沿y轴正方向
B．方向沿y轴负方向
C．大小等于10 N
D．大小等于10eq \r(2) N
【解析】C 正交分解如图，故物体的合力为10 N，方向沿x轴正向．
5．AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°角，如图所示．若把球的重力G按照作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
A.eq \f(1,2)G和eq \f(\r(3),2)G B.eq \f(\r(3),3)G和eq \r(3)G
C.eq \f(\r(2),3)G和eq \f(\r(2),2)G D.eq \f(\r(2),2)G和eq \f(\r(3),2)G
【解析】A 对球所受重力进行分解如图所示．
由几何关系得F1＝Gsin 60°＝eq \f(\r(3),2)G，F2＝Gsin 30°＝eq \f(1,2)G，选项A正确．
6．(多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力F2＝eq \f(\r(3),3)F，但方向未知，则F1的大小可能是( )
A.eq \f(\r(3),3)F B.eq \f(\r(3),2)F
C.eq \r(3)F D.eq \f(2\r(3),3)F
【解析】AD 由平行四边形定则可知，把分力F2平行移到对边位置，则分力F1、F2与合力F构成一个三角形，利用三角形知识可方便求解．
因F>eq \f(\r(3),3)F>eq \f(F,2)，由图可知，F1的大小有两个可能值．在Rt△OAF中，eq \x\t(OA)＝Fcs 30°＝eq \f(\r(3),2)F.
在Rt△F1AF中，eq \x\t(F1A)＝eq \r(F\\al(2,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(F,2)))2)＝eq \f(\r(3),6)F.
由对称性可知，eq \x\t(AF′1)＝eq \x\t(F1A)＝eq \f(\r(3),6)F.则F1＝eq \x\t(OA)－eq \x\t(F1A)＝eq \f(\r(3),3)F；F′1＝eq \x\t(OA)＋eq \x\t(AF′1)＝eq \f(2\r(3),3)F.故本题正确选项为A、D.
二、非选择题
7．如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2.
【解析】球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F′1和F′2构成的平行四边形如图所示．
球对墙面的压力F1＝F′1＝Gtan 60°＝100eq \r(3) N
方向垂直墙壁向右．
球对A点的压力
F2＝F′2＝eq \f(G,cs 60°)＝200 N，方向沿O→A方向．
【答案】F1＝100eq \r(3) N，方向垂直墙壁向右 F2＝200 N，方向沿O→A方向
巩固提升
一、选择题
1．三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端、B端都固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳( )
A．必定是OA B．必定是OB
C．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC
【解析】A 由力的分解图知F1最大，故OA先断，A正确．
2．如图所示，是斧头劈木柴的剖面图，其中BC边为斧头背，AB、AC边为斧头的刀面．要使斧头容易劈开木柴，斧头应该( )
A．BC边与AB、AC边都短一些
B．BC边长一些，AB、AC边短一些
C．BC边短一些，AB、AC边长一些
D．BC边长一些，AB、AC边也长一些
【解析】C 把斧头所受的向下的力F按力的实际作用效果沿垂直AB、AC边的两个方向分解为F1和F2，设BC与AC成 θ角，由图可知F1＝F2，F＝2F1cs θ，所以F1＝F2＝eq \f(F,2cs θ).要使木柴容易劈开，应使F1和F2大一些，则θ应大一些，因此BC边应短一些，AB、AC边应长一些，故C正确．
3．(多选)如图所示，质量为m的木块在与水平方向成θ角的推力F作用下，在水平地面上做匀速直线运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为( )
A．μmg B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ) D．Fcs θ
【解析】BD 木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、推力F、支持力N、摩擦力f.沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解，如图所示(这样建立坐标系只需分解F)，由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力(水平方向二力平衡)；在y轴上，向上的力等于向下的力(竖直方向二力平衡)．即Fcs θ＝f，N＝mg＋Fsin θ，又由于f＝μN所以f＝μ(mg＋Fsin θ)，故本题应选B、D.
4．如图所示，用细线悬挂一个均质小球靠在光滑竖直墙上．如果把线的长度缩短，则球对线的拉力T、对墙的压力N的变化情况正确的是( )
A．T、N都不变
B．T减小，N增大
C．T增大，N减小
D．T、N都增大
【解析】D 绳对物体的拉力可分解为互相垂直的两分力，如图所示，则Tcs α＝mg，Tsin α＝N.当绳长变短时，α角增大，cs α减小，所以T增大，N增大，故D正确．
二、非选择题
5．压榨机如图所示，B为固定铰链，A为活动铰链．在A处作用一水平力F，物块C就以比水平力F大得多的力压物块D.已知L＝0.5 m，h＝0.1 m，F＝200 N，物块C的质量不计，且与左壁接触面光滑，求物块D受到的压力．

【解析】根据水平力F产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力F1、F2，如图甲所示，则F1＝F2＝eq \f(F,2cs α).
而沿AC杆的分力F1又产生了两个效果：使物块C压紧左壁的水平力F3和使物块C压紧物块D的竖直力F4，如图乙所示，则F4＝F1sin α＝eq \f(Ftan α,2).
又tan α＝eq \f(L,h)，所以F4＝eq \f(FL,2h)＝eq \f(200×0.5,2×0.1) N＝500 N
由力的相互性可知，物块D受到的压力为500 N.

甲 乙
6．如图所示，已知物体在三个共点力的作用下沿x轴运动，其中F1＝80 N，F2＝120 N，它们与x轴夹角都是30°，F3是确保物体沿x轴运动的最小分力．试问：
（1）最小分力为多大？沿什么方向？
（2）三个分力的合力多大？
【解析】物体由静止开始沿x轴运动，则F1、F2和F3三个力的合力沿x轴方向，由于力的边角关系较复杂，连续利用平行四边形定则来合成较繁琐，但F1、F2与x轴夹角关系明确，可使用正交分解法．
如图所示建立直角坐标系，其中三个力的交点O为原点，以原x轴为x轴，y轴垂直于x轴方向，把F1、F2沿x、y轴分解．
则F1x＝F1cs 30°＝40eq \r(3) N
F1y＝F1sin 30°＝40 N
F2x＝F2cs 30°＝60eq \r(3) N
F2y＝F2sin 30°＝60 N
(1)要使物体沿x轴方向运动，则y轴方向上合力为零，根据题意，当F3沿y轴正向，且F3＝F2y－F1y＝20 N时，分力F3最小．
(2)三个分力的合力F＝F1x＋F2x＝100 eq \r(3) N.
两个力的合成
最大值
两分力同向时，合力最大，Fmax＝F1＋F2
最小值
两分力反向时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|，其方向与较大的一个分力方向相同
合力范围
|F1－F2|≤F≤F1＋F2
说明
①夹角θ越大，合力就越小；
②合力可能大于某一分力，也可能小于某一分力
类型
作图
合力的计算
互相垂直
F＝eq \r(F\\al(2,1)＋F\\al(2,2))
tan θ＝eq \f(F1,F2)
θ＝arctaneq \f(F1,F2)
两力等大，夹角为θ
F＝2F1cs eq \f(θ,2)
F与F1夹角为eq \f(θ,2)
两力等大且夹角为120°
合力与分力等大，合力与任一分力夹角为60°