2023-2024学年陕西省西安市西咸新区沣东新城第一初级中学九年级上学期月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西咸新区沣东新城第一初级中学九年级上学期月考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学
一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分)
1．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数的图象也经过点（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）
4．如图，要使平行四边形变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）

A．B．C．D．
6．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，是斜边上的高，．则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题(本大题共有5小题，每小题3分，共15分．)
9．若四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中 cm， cm， cm，则 cm.
10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．
11．在三角形ABC中，已知∠A，∠B满足，则∠C＝ ．
12．把抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是 ．
13．二次函数的图像如图所示，则下列结论：① abc<0；②③④⑤对称轴为，其中正确结的确序号是 ．
三、解答题(本大题共 13小题，共81分．)
14．计算：．
15．解不等式组：
16．解方程：﹣=1．
17．如图，在中，，，．

(1)求的长；
(2)求的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点A、B、C的坐标分别为，，．
(1)以点O为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为2：1；
(2)在（1）的条件下，分别写出点B、C的对应点、的坐标．
19．已知某二次函数图象经过，，三点，求该二次函数的顶点坐标．
20．如图，在中，．垂足分别为，求证：四边形是矩形．

21．二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
(1)小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________．
(2)小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
22．数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）

23．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标是1，过点作轴于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求点的坐标，直接写出不等式的解集．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，连接BO并延长交边CD于点E．
（1）求证：△DAC∽△OBC；
（2）若BE⊥CD，求的值．
25．承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行3米到达处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度．
26．
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
答案与解析
1．B
【详解】主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体．
故选B．
2．A
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，
∴两次都摸到黑球的概率是．
故选A．
3．A
【分析】将（-2，3）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=，将点（-2，3）代入解析式得k=-2×3=-6，
A、2×(-3)=-6，则此函数的图象也经过点（2，﹣3），该选项符合题意；
B、-3×(-3)=9，则此函数的图象不经过点（﹣3，﹣3），该选项不符合题意；
C、2×3=6，则此函数的图象不经过点（2，3），该选项不符合题意；
D、-4×6=-24，则此函数的图象不经过点（﹣4，6），该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是掌握：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
4．A
【分析】根据菱形的判定方法解答即可．
【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
那么可添加的条件是：．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
5．D
【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．
【详解】解：A．由，得，故A选项错误；
B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；
C．由，得，故C选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
6．A
【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．
7．A
【分析】易证∠BCD=∠A，则求tan∠BCD的值就可以转化为求tan∠A，而tan∠A可由△ABC边长比求得，所以得解．
【详解】解：由勾股定理得，AB=，
∵∠BCD+∠ACD=∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴tan∠BCD=tan∠A=，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的综合应用，熟练掌握勾股定理的应用、锐角三角函数的定义及余角的性质和直角三角形的性质是解题关键．
8．D
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，通过解一元二次方程－x2－2x+3=0，求得A，B的坐标，根据二次函数的图象与性质得到顶点C的坐标；依题意画出图形，并作出CD⊥AB，可得Rt△CAD，根据相关点的坐标可计算出CD、AD的长；根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠CAB的值．
【详解】令y=0，则－x2－2x+3=0，解得x=1或－3，
所以抛物线y=－x2－2x+3与x轴的交点坐标为（1，0），（－3，0），
可设点A（－3，0），点B（1，0），
由函数解析式可得抛物线顶点C坐标为（－1，4）．
如图，画出函数图象，作CD⊥AB于D，连接AC，
在△ACD中，CD=4，AD=2，
则tan∠CAB==2．
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．
9．6
【分析】根据比例线段的定义，列出比例式（方程）即可求解.
【详解】解：因为a，b，c，d是成比例线段，所以，即3：2=9：d，解得cm.
故答案为6.
【点睛】本题考查了比例线段的定义，注意成比例的线段有顺序性，如a，b，c，d是成比例线段，那么只能写成或，不能随便更改位置，若写成就是错误的.
10．-9
【分析】根据一元二次方程根的情况和判别式的关系求解即可．
【详解】解：根据题意得．
解得．
故答案为：-9．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况和判别式的关系，熟练掌握该知识点是解题关键．
11．75°
【分析】根据非负数的性质求出sinA、tanB的值，然后求出A和B的度数，进而可求得∠C．
【详解】解：由题意得，sinA＝，tanB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值的非负性、平方式的非负性、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
12．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可．
【详解】抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式为：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
13．①②⑤
【分析】根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解:根据题中二次函数的图像，可知抛物线图像开口向上，即，
与y轴交于负半轴，即，
抛物线与x轴的交点是，
∴对称轴是直线，故⑤正确；
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴故②正确；
当x=1时，y=a+b+c=0，故④错误；
当x=-2时，由图像可知，y=4a-2b+c<0,故③错误，
故答案为：①②⑤．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图像的关系，运用数形结合的思想解题是关键．
14．4
【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：

．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键．
15．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式组
解不等式①得：，
解不等式②得：，
该不等式组的解集为：．
16．分式方程的解为x=﹣．
【详解】【分析】方程两边都乘以x（x+3）得出方程x﹣1+2x=2，求出方程的解，再代入x（x+3）进行检验即可．
【详解】两边都乘以x（x+3），得：x2﹣（x+3）=x（x+3），
解得：x=﹣，
检验：当x=﹣时，x（x+3）=﹣≠0，
所以分式方程的解为x=﹣．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与注意事项是解题的关键.
17．(1)
(2)
【分析】（1）本题考查了解直角三角形，根据，即可求出，再根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可求解；
（2）本题考查了解直角三角形，根据，即可解答．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴根据勾股定理可得，
（2）解：在中，，
∴．
18．(1)见解析
(2)、
【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形，得出各点坐标即可．
【详解】（1）如图所示．
（2）、．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
19．
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：设二次函数解析式为，然后将，，三点代入解方程组即可．
【详解】解：设二次函数解析式为，
由，，，
则，
解得：，
则解析式：，
化为顶点式可得：，
顶点坐标．
20．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定，解题的关键是根据平行线的性质得出，进而利用平行四边形的性质和矩形的判定解答即可．
【详解】解：证明：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形．
21．(1)
(2)
【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是，
故答案为：；
（2）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
22．米
【分析】过作于，设米，则在中得到，在中，得到，则，解得分，即可得到答案．
【详解】解：过作于，设米，

在中，
即，
，
在中，
，
即，
，
解得分，
（米）．
答：河宽大约为72.6米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键．
23．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)，或
【分析】（1）联立一次函数与反比例函数解析式，根据A点横坐标为1，可知是联立得到的方程的一个解，据此求解即可；
（2）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：联立得，
∵一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标是1，
∴是方程的一个解，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
（2）解：联立得，
∴，
解得或，
当时，，
∴点B的坐标为，
∵当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式的解集为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出两个对应的函数解析式是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据AD＝CD，可得∠DAC＝∠DCA，根据AD∥BC，可得∠DAC＝∠ACB，再证∠OBC＝∠OCB即可；
（2）根据BE⊥CD，得出∠BEC＝90°，根据（1）得∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，可得3∠EBC=90°，求出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°，根据30°直角三角形性质可得HC=，设AD＝CD＝2a，则BH＝AD＝2a，再求出BC＝BH+CH＝3a即可．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵O是AC的中点，∠ABC＝90°，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
（2）解：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，
∴3∠EBC=90°，
∴∠EBC=30°，
∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°，
过点D作DH⊥BC于点H，∠BCE=2∠EBE=60°，
∴∠HDC=90°-∠ECB=30°，
∴HC=，
设AD＝CD＝2a，则BH＝AD＝2a，
在Rt△DCH中，DC＝2a，CH＝a，BC＝BH+CH＝3a，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，平行线性质，三角形相似判定与性质，30°直角三角形性质，线段比例，掌握等腰三角形性质，平行线性质，三角形相似判定与性质，30°直角三角形性质，线段比例是解题关键．
25．咸阳钟楼的高度米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，得出，设，则，，证明，得出，即，求出x的值，即可得出答案，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
【详解】解：根据题干可知：米，米，米，米，米，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
（米），
答：咸阳钟楼的高度米．
26．(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．