2023-2024学年山东省德州市武城县武城镇大屯中学八年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省德州市武城县武城镇大屯中学八年级上学期12月月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年12月
一、选择题（本大题共12小题，共48分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如图，AB∥CD，∠A=50°，∠C=30°，则∠AEC等于（ ）
A．20°B．50°C．80°D．100°
2．在数学实践课上，小亮经研究发现：在如图所示的中，连接点A和BC上的一点D，线段AD等分的面积，则AD是的（ ）．
A．高线B．中线C．角平分线D．对角线
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
5．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是
A．80°或50°B．50°或20°C．80°或20°D．50°
9．如图，在中，为的垂直平分线，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ）

A．12B．6C．7D．8
10．根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②④B．①②③④C．①D．②④
11．若是实数，且分式，则的值是（ ）
A．10B．10或2C．2D．非上述答案
12．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记，；
已知，则m的值是（ ）
A．40B．-70C．-40D．-20
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．如图，点E、D分别在AB、AC上.若∠B=30°，∠C=50°，则∠1+∠2= ° .
14．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm.

15．如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为 ．
16．已知，则的值是 ．
17．若，则 ．
18．已知，则的值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．先化简，再求值：，其中，．
20．如图，一个宽度相等的纸条，如图折叠，则∠1的度数是多少？
21．已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．
22．已知：如图，AD 是∠BAC 的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD 于 D．
求证：DE 平分∠AEB．
23．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重，乙筐水果重其中，售完后，两筐水果都卖了元．
(1)哪筐水果的单价卖得低
(2)现卖高的单价的水果筐，共多少元（用含的式子表示）
24．若a、b、c为三角形的三边长，求证：的值一定为负数．
25．代数推理：
阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：；
(2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值；
(3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由．
答案与解析
1．C
【分析】先根据平行线的性质，得到，再根据三角形外角性质，即可得到的度数．
【详解】解：，，
，
是的外角，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
2．B
【分析】直接利用三角形中线的性质即可得出结果．
【详解】解：∵线段AD等分△ABC的面积，
∴△ABD的面积等于△ACD的面积，
∵两个三角形的高为同一条高，
∴BD=CD，
∴AD为△ABC的中线，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形分成两个面积相同的三角形是解题关键．
3．D
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、是最简分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
4．B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．C
【分析】由结合从而可得答案．
【详解】解：
而


故选：C．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，掌握“”是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，证明是解题的关键．根据，得，再由三角形的外角性质得，然后由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
7．C
【分析】当AB为腰时，分别以点A、点B为圆心，AB长为半径画圆，观察此时满足条件的格点数；当AB为底边时，作线段AB的垂直平分线，观察此时满足条件的格点数，由此得到答案．
【详解】解：如下图：
当AB为腰时，分别以点A、点B为圆心，AB长为半径画圆，观察可知满足条件的格点共4个；当AB为底边时，作线段AB的垂直平分线，观察可知满足条件的格点共4个，所以C是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形的点数共8个．
故选C．
【点睛】本题考查格点图中寻找可与已知两点构成等腰三角形的点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
8．A
【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．
【详解】根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②当这个角80°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+80°=180°，
解可得，x=50°，
即该等腰三角形的底角的度数是50°；
故选A．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．
9．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则由三角形周长公式可得的周长，则当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，据此可得答案．
【详解】解：∵为的垂直平分线，点为直线上的任意一点，
∴，
∴的周长，
∴当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，
∴的周长最小值为，
故选C．
10．A
【分析】阴影部分面积边长边长，或阴影部分面积正方形面积空白部分矩形面积，先找出各自的边长，再根据阴影部分面积的求法逐个验证即可．
【详解】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为、，
则阴影的面积．故①正确；
②如图所示：阴影部分的面积，故②正确；

④如图所示：阴影部分的面积，故④正确；
③由④知，③错误．
故正确的有①②④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，理解好图形面积的多种表达形式是解题关键．
11．A
【分析】首先利用分式为0的条件和平方以及绝对值的性质得出a，b的值，进而代入3a+b求出即可．
【详解】解：由题意得，
解得 ，
∴3a+b=3×2+4=10.
故选A．
【点睛】本题考查绝对值和平方的性质，分式值为零的条件，正确求出a，b的值是解题的关键．
12．C
【分析】利用题中的新定义将已知等式左边化简，再利用等式左右两边相等即可求得m的值．
【详解】利用题中的新定义计算可知：
，
整理得：，则．
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式，明确题中新定义和利用平方差公式正确整理化简是解题的关键．
13．80
【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2=∠B+∠C，从而可求解．
【详解】解：∵∠1+∠2+∠A=180°，∠B+∠C+∠A=180°，
∴∠1+∠2=∠B+∠C，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠1+∠2=∠B+∠C=30°+50°=80°．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，解答的关键是熟记三角形的内角和为180°．
14．20
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答.
【详解】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm.
故答案是：20.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
15．
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
【详解】解： 是的垂直平分线．，


的周长

故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
16．1
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则整理，再整体代入，最后结合零指数幂法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：1．
【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂．熟练掌握各运算法则是解题关键．
17．
【分析】由，得到a=b，代入所求的代数式，即可解决问题．
【详解】∵，
∴a=b，
∴,
故答案为.
【点睛】该题主要考查了分式的化简与求值问题；解题的关键是将所给的条件或所要计算、求值的代数式，灵活变形、合理运算，求值．
18．14
【分析】根据题意可得，将已知等式两边同时除以，得到，进而根据完全平方公式的变形即可求解．
【详解】解：，且由题意可得，
，
，
原式，
故答案为：14
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
19．,0.5
【分析】利用完全平方公式和平方差公式展开，再计算加减法化简，最后代入字母的值即可．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，涉及完全平方公式与平方差公式，正确掌握整式的运算法则是解题的关键．
20．∠1＝40°
【分析】根据平行线的性质进行解答即可.
【详解】
一个宽度相等的纸条进行折叠，
，
纸条平行，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质求出角的度数是解题的关键.
21．证明见解析.
【分析】要证明∠B=∠ANM，只要证明△BAD≌△NAM即可，根据∠BAC=∠DAM，可以得到∠BAD=∠NAM，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD≌△NAM，本题得以解决．
【详解】证明：∵∠BAC=∠DAM，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAM=∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD=∠NAM．
在△BAD和△NAM中，∵AB=AN，∠BAD=∠NAM，AD=AM，
∴△BAD≌△NAM（SAS），
∴∠B=∠ANM．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，根据题目条件选择适当的判定定理是关键.
22．见解析
【分析】延长AD交BC于F，由AD是∠BAC的平分线，∠B=∠EAC，易证得∠DFE=∠DAE，可得AE=FE，又由ED⊥AD，根据三线合一的性质，即可证得ED平分∠AEB．
【详解】证明：延长 AD 交 BC 于 F，
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，
∵∠B＝∠EAC，
∴∠DFE＝∠DAE，
∴AE＝FE，
∵ED⊥AD，
∴ED 平分∠AEB．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
23．(1)乙
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，根据分式的运算法则计算即可．
（1）根据题意，列出单价的代数式，然后比较大小即可．
（2）根据总价等于单价乘以数量用代数式表示出来，再简化即可．
【详解】（1）解：甲筐水果的单价为元，
乙筐水果的单价为元，
∵
∴乙筐水果的单价卖得低．
（2）根据（1）可得甲筐水果单价卖的高．
∴（元）
24．见解析
【分析】根据平方差公式和完全平方公式把（a2+b2-c2）2-4a2b2变形为（a+b+c）（a+b-c）（a-b-c）（a-b+c），再根据三角形的三边关系即可得出答案．
【详解】证明：



，
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴，，，，
∴，
故的值一定为负数．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，用到的知识点是平方差公式、完全平方公式以及三角形的三边关系，关键是对给出的式子进行变形．
25．(1)36，6
(2)，最小值为
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可；
（3）根据的值判断即可．
【详解】（1）由完全平方公式可得，
故答案为：；．
（2）
，
无论取何值，总是非负数，
即，
∴，
∴的最小值为．
（3）由题意得：，
，
∴，
，
，
，
无论取何值，总是非负数，即，
∴，
∴的最小值为11，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的非负性，解题的关键是配方求最小值：把式子化为的形式，当时取得最小值为．
例题：求的最小值
解：
无论取何值，总是非负数，
即所以
所以：当时，有最小值，最小值为5