2023-2024学年山东省济宁市杏坛中学八年级12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济宁市杏坛中学八年级12月月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列图形中,轴对称图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A．B．C．D．
3．要使分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
4．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是 （ ）
A．B．
C．D．
5．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点D．三边的中垂线的交点
6．如图，△ABC中，D、E、F分别是AC、BD、AE的中点，如果，那么( )
A．3B．4C．8D．12
7．如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）
A．210°B．110°C．150°D．100°
8．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，将长方形纸片沿所在直线折叠，得到，与交于点E，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
11．式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，，、、分别平分的外角、 内角、外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）．

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
13．因式分解： ．
14．， ．
15．约分：= ．
16．若x2+2（m+3）x+9是关于x的完全平方式，则常数m＝ ．
17．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，之间的数量关系是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（m，n），则经过第2021次变换后所得的A点坐标是 ．
三、计算题
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．分解因式：
(1)；
(2)
四、解答题
21．如图，，是上的一点，且，．求证：．

22．如图，已知的顶点分别为，，．
(1)作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)若点是内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是________．
(3)在x轴上找一点P，使得最小（画出图形，找到点P的位置）．
23．如图，点C在线段上，平分．
(1)证明：；
(2)若，求的面积．
24．我们将进行变形，如：，等．根据以上变形解决下列问题：
(1)已知，，则______；
(2)若x满足，求的值；
(3)如图，在长方形中，，，点E、F分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，求图中阴影部分的面积和．
25．在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接．
(1)若点D在线段上时（如图1），则 （填“＞”、“＜”或“＝”）， 度；
(2)设直线与直线的交点为O．
①当动点D在线段的延长线上时（如图2），试判断与的数量关系，并说明理由；
②当动点D在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数．
答案与解析
1．B
【分析】本题考查轴对称图形定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．根据轴对称图形定义,对各个图分析判断即可选出正确答案．
【详解】解:第一个图不是轴对称图形,
第二个图是轴对称图形,
第三个图是轴对称图形,
第四个图不是轴对称图形,
综上所述,轴对称图形有2个,
故选:B．
2．D
【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．利用三角形高的定义即可求解．
【详解】解：根据三角形高的定义，可得D选项中，线段是的高,
故选：D
3．D
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
解得：x≠-1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
4．D
【分析】根据因式分解定义进行判断即可．
【详解】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
B、右边不是积的形式，故B不符合题意；
C、不是把多项式化成整式的积的形式，故C不符合题意；
D、符合因式分解定义，是因式分解，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查因式分解的基本概念，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式．
5．B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三条角平分线的交点到三边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点，
故选B．
6．C
【分析】根据三角形中线的性质即可解答．
【详解】∵F是AE的中点，，
∴，
∵E是BD的中点，，
∴，
∵D是AC的中点，，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解决问题的关键．
7．A
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．
【详解】解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°
∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故选A．
【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．
8．D
【分析】本题考查列代数式，根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可．
【详解】解：A、大长方形面积：，空白处小长方形面积：，所以阴影部分面积为：，故该选项正确；
B、上半部分阴影面积为：，下半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项正确；
C、左半部分阴影面积为：，右半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项正确；
D、阴影部分面积无法表示为，故该选项错误；
故选：D．
9．C
【分析】利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，由作图可知，垂直平分，再根据直角三角形两锐角互余的性质求出即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，等边对等角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握各性质和定理是解题的关键．
10．B
【分析】根据长方形的性质可得，，可求解的度数，由平行线的性质可求解的度数，结合折叠的性质可得，进而可求解．
【详解】解：在长方形中，，，
，，
，
，，
由折叠可知：，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠与对称的性质，由折叠得对应角相等是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查平方差公式的应用．根据题意构造平方差,左右两边同时乘以是解出本题的关键．
【详解】解:∵,
∴令,
∴两边同时乘得:,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故选:C．
12．D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，根据角平分线的定义可得∠EAC=2∠EAD，然后求出∠EAD=∠ABC，再根据同位角相等，两直线平行可得AD∥BC，判断出①正确；根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠CBD，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠CBD，从而得到∠ACB=2∠ADB，判断出②正确；根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠DCF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义整理可得∠ADC=90°-∠ABD，判断出③正确；根据三角形的外角性质与角平分线的定义表示出∠DCF，然后整理得到∠BDC= ∠BAC，判断出④正确．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴∠ADC=∠ACF=（∠ABC+∠BAC）=（180°-∠ACB）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABD，
∴③正确；
∵∠BDC=∠DCF-∠DBF=∠ACF-∠ABC=∠BAC，
∴④正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选D．
【点睛】本题考查三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
13．x（1+2x）（1-2x）
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】原式=x(1-4x)
=x（1+2x）（1-2x）
故答案为x（1+2x）（1-2x）．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
14．##
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”；幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”；灵活运用整数指数幂的运算法则是解题关键．
根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则解答即可；
【详解】
，
故答案为：．
15．
【分析】先找出分子分母的公因式，然后将分子与分母约去公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了约分，找出公因式是解题关键．
16．0或﹣6
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵x2+2（m+3）x+9是关于x的完全平方式，
∴m+3=±3，
解得：m=0或-6，
故答案为0或-6
【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
17．##
【分析】连接与交于点，则此时周长取到最小值时，则根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：∵边的垂直平分线分别交，于点，，
∴关于对称，
连接与交于点，则此时周长取到最小值时，
∵，点是边的中点，
∴，
∵垂直平分，点是上的点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质等知识点，读懂题意，分析出周长取到最小值时点所在的位置，画出图形，根据以上性质进行解答．
18．（m，－n）
【分析】根据轴对称图形的坐标特点分别求出前四次变换后的A点坐标，找到规律求解即可．
【详解】解：第一次变换后A点坐标是（m，－n），第二次变换后A点坐标是（－m，－n），第三次变换后A点坐标是（－m，n），第四次变换后A点坐标是（m，n），
每四次变换一个循环，
∵2021=4×505+1，
∴经过第2021次变换后所得的A点坐标是（m，－n），
故答案为：（m，－n）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的轴对称变换规律，利用点关于坐标轴对称的点的特点找出规律是解题关键．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算单项式相除；
（2）利用积的乘方逆运算计算即可；
（3）利用多项式乘多项式，再合并同类项；
（4）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
21．见解析．
【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
【点睛】此题考查直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题．
22．(1)图见解析，点的坐标为；
(2)；
(3)见解析．
【分析】（1）分别找出A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1，再顺次连接点即可；
（2）利用“关于谁对称谁不变，不关谁对称谁全变”可求出P的对称点坐标；
（3）过x轴作点A的对称点为A1，连接A1C交于x轴的点即为点P，使得最小．
【详解】（1）解：先找出点A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1，再顺次连接A1，B1，C1．
如图所示，即为所求：
的坐标为．
（2）解：∵P关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变成原来的相反数，
∴点P关于y轴对称的点的坐标是．
（3）解：过x轴作点A的对称点为A1，连接A1C交于x轴的点即为点P，使得最小．点P如图所示：
【点睛】本题考查作轴对称图形，找关于坐标轴对称的点的坐标，以及动点问题．关键是掌握画轴对称图形的方法：先找对称点，再连线；熟记关于坐标轴对称的点的坐标变化特征；利用对称性解决动点问题．
23．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立；
（2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
又∵平分，
∴，
∴垂直平分，
∵．
∴，
∴，
即的面积是12．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
24．(1)4
(2)
(3)96
【分析】（1）根据完全平方公式进行变形求解即可；
（2）将和看作一个整体，然后利用完全平方公式变形求解即可；
（3）根据，，，得出，，得出，根据，将，看作整体，利用完全平方公式的变形公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
故答案为：4．
（2）解：∵，
，
∴
；
（3）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵长方形的面积为40，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、、、之间的关系．
25．(1)，
(2)①，理由见解析；②是定值，
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，即可得出，根据即可证明，即可得出；根据“三线合一”即可求出的度数；
（2）①用和（1）相同的方法，证明即可得出结论；②根据可得，在中，根据直角三角形两个锐角互余，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
∵线段为边上的中线，是等边三角形，
∴．
故答案为：=，．
（2）①∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
②情况一：当点D在线段上时，如图：
∵线段为边上的中线，是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
情况二：当点D在线段的延长线上时，如图：
∵线段为边上的中线，是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
情况三，当点D在线段的延长线上时，如图：
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∵线段为边上的中线，是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴的值为定值，．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形三边相等，三个角都是，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．