2023-2024学年山东省聊城市东阿县第三中学八年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省聊城市东阿县第三中学八年级上学期12月月考数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中，正确的有（ ）
①都含有70°的两个直角三角形一定全等；
②都含有100°的两个等腰三角形一定全等；
③底边相等的两个等腰三角形一定全等；
④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等；
⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．根据下列条件能画出唯一的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，用直尺和圆规作，根据作图痕迹，请你判断运用了全等三角形的哪种判定方法（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，线段与交于点现有四个条件：；；；下列选项中不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，点在线段上，，则的大小为（ ）

A．B．
C．D．
7．如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（ ）

A．4对B．3对C．2对D．1对
8．如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小时，为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
10．如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则求的度数（ ）
A．29°B．32°C．34°D．56°
11．如图，把长方形沿对折，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ）

A．B．C．或D．或
二、填空题
13．世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是 .
14．若点与点关于y轴对称，则的值是 ．
15．如图，在中，、分别垂直平分和，交于点、，若，则 ．
16．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度．

17．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °

三、解答题
18．八（1）班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图，制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点O自由旋转．测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离，就知道了容器的内径的大小。请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（写出已知、求证，并证明）
已知：如图，线段相交于点O，______________，连接．
求证：____________．
证明：

19．如图，点为的边上一点，过点作于点，交于点，若，，，求的度数.

20．如图，在平面直角坐标系中，点，，．

(1)画出关于x轴对称的；
(2)求的面积；
(3)在y轴上找一点P，使得周长最小（不写作法）．
21．如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证：
(1)．
(2)平分．
22．如图，在和中，，，．，相交于点F．，相交于点M．
(1)求证：；
(2)求的度数．
23．如图1，中，，，是中线，求得取值范围．（提示：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．）

请回答：
(1)为什么？写出推理过程；
(2)求出的取值范围．
24．在中，的平分线与的外角的平分线交于点E．

(1)如图①，若，则________；如图②，若，则_______；如图③，若，则________；
(2)根据以上求解的过程，你发现与之间有什么关系？如果有，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由（借助图①）．
25．如图，是等腰三角形，，点D在直线上运动，点E为线段上一定点，连接，作，使，，连接．
(1)如图1，在上取点G，使，求证：；
(2)如图2，当点D在线段上，点F位于直线的上方时，求证：；
(3)如图3，当点D运动到线段的延长线上时，求证：为定值．
答案与解析
1．C
【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A．此图案是轴对称图形，不符合题意；
B．此图案是轴对称图形，不符合题意；
C．此图案不是轴对称图形，符合题意；
D．此图案是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．C
【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可得到结果．
【详解】解：①都含有70°的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以①错误；
②都含有100°的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以②错误；
③底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以③错误；
④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等；
因为根据SSS或AAS或SAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以④正确；
⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．
因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据SAS或AAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以⑤正确；
所以正确的有④⑤这2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
3．D
【分析】根据三角形三边之间关系，全等三角形的判定定理，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴为边不能画出三角形，不符合题意；
B、，不能判定三角形全等，故B不能画出唯一三角形，不符合题意；
C、，不能判定三角形全等，故C不能画出唯一三角形，不符合题意；
D、，能判定三角形全等，故D能画出唯一三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三边之间关系，全等三角形判定定理，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，以及全等三角形判定方法：．
4．B
【分析】根据作图得出运用了判断．
【详解】解：图中作的是，，
∵，
∴根据可以判断，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，“”、“”、“”、“”、“”．
5．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定条件逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：由图形可知，，
A、、，可利用“”判定，不符合题意；
B、、，可利用“”判定，不符合题意；
C、、，不能判定，符合题意；
D、、，可利用“”判定，不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题关键．由三角形全等可知，，，，进而得到，再由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出，即可得到的大小．
【详解】解：，
，，，
，，，
，
，
，
，
故选：D ．
7．A
【分析】根据题意，结合图形有共四组．
【详解】解：∵于E，于F

∴
∵
∴；
∴
∵
∴；
∴
∴
∵
∴；
∵
∴
∵
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．
8．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数．
【详解】解：如图，连接，
是等边三角形，是边上的高，
是中点，即垂直平分，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，
点是边的中点，
，
，
故选：D．
9．A
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
10．C
【分析】根据折叠的性质可得，，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
∵，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11．D
【分析】利用折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出结果．
【详解】解：由折叠可得：，
∵长方形中，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
12．D
【分析】设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②是对应边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，点D为的中点，
∴，
设点P、Q的运动时间为，
∴，
∴
若与全等．则有：
①当时，，
解得：，
则，
故点Q的运动速度为：；
②当时，
∵，
∴，
∴．
故点Q的运动速度为．
所以，点的运动速度为或
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．
13．三角形的稳定性．
【分析】利用三角形的稳定性求解即可．
【详解】世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是：三角形的稳定性．
故答案为三角形的稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性．
14．
【分析】根据关于轴对称的两点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可得，再代入计算即可得．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的轴对称变换，解题的关键是熟练掌握关于轴对称的两点的横坐标互为相反数、纵坐标相等．
15．##80度
【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据、分别垂直平分和得到，，从而得到，，结合与三角形内角和定理即可得到答案；
【详解】解：∵、分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】根据图形得到，结合正方形的对角线互相平分一组对角即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
在与中，
∴ ，
，
∵是正方形对角线，
∴，
∴，
故答案为：；

【点睛】本题主要考查正方形的对角线平分一组对角，解题的关键是根据格点图形得到．
17．150
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．

，
，
，，且，，
故答案为：150．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
18．见解析
【分析】按照题意补充完条件和结论，然后证明即可得到结论．
【详解】已知：，O分别为的中点（或，，）．
求证：
证明：∵O分别为的中点，
∴，（线段中点定义）
∵（已知）
∴，（等量代换）
在和中
∵
∴
∴（全等三角形的对应边相等）
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19．
【分析】由，得到和都是直角三角形， ，证明，则，求出，则，即可得到的度数.
【详解】解：∵，，
∴和都是直角三角形， ，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键.
20．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，三角形面积计算，轴对称的性质；
（1）先作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求出的面积即可；
（3）先作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴于一点，即为点P．
解题的关键是作出对应点的位置．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：；
（3）解：先作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴于一点，该点即为所求作的点P，如图所示：

∵点A关于y轴的对称点，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时的周长最小．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等角的余角相等，即可证明结论；
（2）证明，得到，再由，得出，利用垂直平分线的性质，得出，最后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明结论．
【详解】（1）证明：，
，
，，
又，
．
（2）证明：在和中，
，
，
，
，
，即为中点
，
，
平分．
【点睛】本题考查了余角的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
22．(1)见解析
(2)90°
【分析】（1）先证∠BAD=∠CAE，再利用SAS证△ABD≌△ACE即可由全等三角形的性质得出结论；
（2）由△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠ACE，再利用等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°．
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ACB+∠DBC+∠ACE=90°，
∵∠ACB+∠DBC+∠ACE+∠BFC=180°，
∴∠BFC=90°．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，结合，，可得；
（2）由，可得，结合，从而可得答案.
【详解】（1）解：∵是中线
∴，
又∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
在中，，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
24．(1)，，
(2)有，
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，再分别代入数据进行计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据角平分线的定义可得，，然后整理得到．
【详解】（1）解：（1）由三角形的外角性质得，，，
的平分线与的外角的平分线交于点，
，，
，
，
若时，；
若时，，
若时，；
故答案为：，，；
（2）解：由三角形的外角性质得，，，
的平分线与的外角的平分线交于点，
，，
，
．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并能运用整体思想是解题的关键．
25．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和EG=EC求得，结合得到，进而得到三角形全等，然后再利用全等三角形的性质求解；
（2）在上取点G，使，利用（1）的方法求得三角形全等，进而得到，结合，，来求得即可求解；
（3）在上取点G，使，用（1）的方法得到三角形全等，进而得到，结合全等三角形的判定和点E为线段上一定点来求解．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
，
，
．
，
，
，
．
在和中
，
，
．
（2）证明：在上取点G，使，如下图
，
．
，
，
，
，
,,
，
，
，
．
在和中
，
，
．
，，，
，
；
（3）证明：在上取点G，使，如下图
，
．
，
，
，
，
．
，
，
，
．
在和中
，
，
，
．
为定值，
形状唯一，为定值，
为定值．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解相关知识和作出辅助线是解答（2）（3）的关键．