2023-2024学年江苏省淮安市盱眙县第二中学八年级上学期12月月考数学试题(含解析)

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市盱眙县第二中学八年级上学期12月月考数学试题(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题．（请将答案填在下表对应的题号下，每小题3分，共 24分．）
1．下列图形是汽车的标识，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．点P（－1，3）在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若等腰三角形边长分别为和，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．B．C．D．或
4．估计的值在（ ）
A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间
5．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
A． B．C．D．
6．如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．已知中，，，，斜边边上的高的长度为（ ）
A．B．5C．D．10
8．如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题．（请将答案填在下表对应的题号下，每小题3分，共24分．）
9．函数中，自变量的取值范围是 ．
10．如果点P1(3，y1)，P2(2，y2)在一次函数y=8x-1的图像上，那么y1 y2．(填“＞”、“＜”或“=”)
11．如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是 ．
12．如图，函数和的图相交于点，则不等式的解集为 ．
13．将直线向上平移3个单位，所得直线的表达式为 ．
14．直线y=2x-4与两坐标轴围成的三角形面积为 ．
15．如图，已知长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为 cm．
16．如图，在平面直角坐标系中，，，点P是x轴上一动点，四边形是平行四边形，当值最小时，点Q的坐标为 ．

三、解答题（共11题，102分．）
17．计算：
(1)；
(2)
18．已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．

19．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点C在第一象限，，．求点C的坐标．

20．已知y－2与x成正比，且当x＝2时，y＝－6．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点在这个函数图像上，求a的值．
21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出关于原点对称的，写出的坐标为 ．
(2)请画出关于x轴对称的．写出的坐标为 ．
(3)的面积为 ．
22．已知△ABC中，AB＝AC，于D．
(1)若∠A＝42°，求∠DCB的度数；
(2)若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．
23．如图，在平行四边形中，点E在上，点F在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若为的角平分线，且，求的长．
24．如图①，已知线段，用尺规作．（保留作图痕迹，不写作法）

(1)图②是某同学所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“ 的四边形是平行四边形”；
(2)请你在下列图③和图④中用2种不同于（1）中的方法完成题目中的作图．
25．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．

(1)请解释图中点的实际意义；
(2)求出图中线段所表示的函数表达式；
(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
26．在平面直角坐标系中，对于M，N两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称M，N两点相互等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点，已知点A的坐标是．
(1)如图①，在点中，点A的等垂点是 （选填“B”“C”或“D”）．
(2)如图②，若一次函数的图像上存在点A的等垂点，求点的坐标；
(3)若一次函数的图象上存在无数个点A的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式 ．
27．如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象交y轴于点，交x轴于点．

(1)求直线的函数表达式．
(2)直线a垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．
①利用图1的位置，用含有m的代数式表示的面积S；
②当的面积为7时，求点P的坐标；
③在②的条件下，在y轴上找到点Q，使得与的面积相等，求出点Q的坐标；
④连接，与交于点H，当与的面积相等时，请直接写出点P坐标．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记定义是解题关键．
2．B
【分析】平面直角坐标系内各个象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）.
【详解】点P（－1，3）在第二象限，
故选B.
【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握各个象限内的点的坐标的符号特征，即可完成.
3．C
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为，只能为，然后即可求得等腰三角形的周长．
【详解】解：①为腰，为底时，；
②为底，为腰，
因为，不符合三角形的两边之和大于第三边，
所以应舍去．
故其周长是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．B
【分析】根据，，再根据被开方数越大，算术平方根越大，可得答案．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法，注意：要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．解题的关键是估算出的范围．也考查了算术平方根的性质．
5．C
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据图形，利用即可得到一样的三角形．
【详解】解：由图可知，三角形有两个角及两个角的夹边是完好的，
∴根据即可画出一个一样的三角形．
故选C．
6．C
【分析】根据已知条件结合平行四边形的定义直接作出判断即可．
【详解】根据平行四边形的判定可知：
A、若，，可能是平行四边形，也可能是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、连接．
由得
∴
∴（内错角相等，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，此题基础题，比较简单．
7．A
【分析】根据勾股定理求出，再根据，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
∵，
∴，即，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，解题的关键是求出斜边，用等面积法求解．
8．C
【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
即旋转角的度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键．
9．
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
10．
【分析】先求出y1，y2的值，再比较出其大小即可．
【详解】解：∵点P1（3，y1）、P2（2，y2）在一次函数y=8x-1的图象上，
∴y1=8×3-1=23，y2=8×2-1=15，
∵23＞15，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
11．x=2
【分析】一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解．
【详解】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2，
故答案为x=2．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
12．##
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，图象法解不等式即可．
【详解】解：由图象可知：的解集为：．
故答案为：．
13．
【分析】根据一次函数图象的平移的规律“上加下减”即可解答．
【详解】将直线y=2x向上平移3个单位得到：y=2x+3，
故答案为： y=2x+3．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟知函数图象“上加下减”的平移规律是解题的关键．
14．
【分析】画出一次函数的图象，再求解一次函数与坐标轴的交点的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可.
【详解】解：如图，令 则
令 则 解得


故答案为：4
【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，利用数形结合的方法解题是解本题的关键.
15．4
【分析】根据折叠可得BE=DE，设BE=xcm，则AE=（9-x）cm，在Rt△ABE中利用勾股定理可得32+（9-x）2=x2，解可得BE的长，进而得到AE的长
【详解】解：∵EF是四边形EFCD与EFGB的对称轴，
∴BE=DE，AE+BE=AE+DE=9（cm），
又∵AB=3cm，
设BE=xcm，则AE=（9-x）cm，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5，
则BE=DE=5cm．
AE=9-5=4（cm），
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是找准图形折叠后哪些角和哪些线段是对应相等的．
16．
【分析】先得出点Q是直线上的动点，再将转化成，根据最短路径问题求解．
【详解】解：，点P是x轴上一动点，四边形是平行四边形，根据平移的性质得，
∴点Q是直线上的动点，
作关于直线的对称点，连接、，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
设直线的表达式为，代入得，，
∴，
令，得，
∴点Q的坐标为，
故答案为：．

【点睛】本题考查了最短路径问题，涉及到平行四边形的性质，关键是得出点Q在直线上运动．
17．(1)
(2)1
【分析】本题考查实数的混合运算．
（1）去绝对值，进行开方和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；
（2）先进行乘方，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可．
掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
18．证明见详解；
【分析】根据得到，结合，，即可得到即可得到证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据平行线得到三角形全等判定的条件．
19．
【分析】过点C作轴于点D，证明，得出，，求出，即可得出点C的坐标．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
20．(1)
(2)
【分析】（1）设（），把，代入求值即可；
（2）将点（a，6）的坐标代入函数的解析式求a的值．
【详解】（1）解：设（），
当，时，
得到：，
解得，
则该函数关系式为：；
（2）解：∵点（a，6）在函数图象上，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义及待定系数法求一次函数解析式．解题关键是注意本题中是“y-2与x成正比例”，而不是“y与x成正比例”．
21．(1)图形见解析；
(2)图形见解析；
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——轴对称，中心对称：
（1）作出点A，B，C关于原点的对称点，再顺次连接，即可求解；
（2）作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接，即可求解；
（3）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
的坐标为；
故答案为：
（2）解：如图，即为所求；
的坐标为；
故答案为：
（3）解：．
故答案为：
22．(1)21°
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余可求出，从而可得结论；
（2）设AC＝AB＝x，可得AD=x-1，再根据勾股定理列出方程，求出x的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论
【详解】（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB
∵∠A＝42°
∴
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°-42°=48°
∴∠DCB＝69°-48°＝21°；
（2）设AC＝AB＝x，
∵BD＝1，CD＝3
∴AD＝x-1，
∵CD⊥AB
∴
∴
∴
∵M为AC的中点
∴
【点睛】本题主要考查勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理去列方程求边长．
23．(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）根据平行四边形的性质，得到，进而得到，即可得证；
（2）平行加角平分线得到，利用，进行计算即可．
掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，即：，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵为的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)一组对边平行且相等
(2)见解析
【分析】（1）根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形判断即可；
（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，构造平行四边形即可．
【详解】（1）解：由作图可知，，
∴四边形是平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）．
故答案为：一组对边平行且相等；
（2）解：平行四边形如图③和图④所示．
．
【点睛】本题考查作图-基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定，属于中考常考题型．
25．(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有
(2)
(3)小时
【分析】（1）根据点的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；
（2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有
（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时，则点的横坐标为，
此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为，
∴
设直线的表达式为
∴
解得：
∴直线的表达式为
（3）解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则，
解得：
∴甲乙两地的距离为千米，
设快车返回的速度为千米/小时，根据题意，
解得：，
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时）
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键．
26．(1)D
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据等垂点的定义，进行判断即可；
（2）分点在轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可；
（3）分一次函数为，和一次函数为，进行讨论验证即可．
【详解】（1）解：取点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是点的等垂点；
y轴上不存在点T，使，以及，
∴点A的等垂点是，
故选D；
（2）①当点在轴的上方时，过点作轴，则：，
∴，
∵是点的等垂点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴；
②当点在轴下方时，过点作轴，
同法可得：，
∴，，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
（3）该一次函数的解析式为或，理由如下：
当一次函数为时，设直线上任意一点，连接，作的垂直平分线交轴于点，交于点，过点作轴，作轴，如图：
则：，，，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，轴，
∴，，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是点的等垂点，
∴直线上的任意一点均为点的等垂点；
即：直线上存在无数个点是点的等垂点．
同法可证，直线上存在无数个点是点的等垂点．
故答案为：或．
【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，一次函数的综合应用．理解并掌握等垂点的定义，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，属于压轴题．
27．(1)
(2)①②③或④
【分析】本题考查一次函数的综合应用．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①利用的面积等于与的面积之和，进行求解即可；
②令①中的代数式的值等于，求出的值，进而得到点的坐标；
③设点的坐标为，利用三角形的面积公式，列出方程进行求解即可；
④根据与的面积相等，推出，进而得到轴，即可得出结果．
待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】（1）解：把，代入解析式得：
，解得：，
∴；
（2）①由题意，得：直线的解析式为，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴的面积；
②当时，，
∴；
③设点的坐标为，
∴，
解得：或；
∴点坐标为或；
④∵与的面积相等，
∴，即：，
∵是同底三角形，
∴轴，
∴．