2022-2023学年四川省绵阳市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年四川省绵阳市九年级（上）期末数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若1是关于x的一元二次方程ax2﹣a2x＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．0或1
3．三根电线，其中只有两根电线通电，接上小灯泡能正常发光，小明从三根电线中，随意选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是15cm，如果∠BDC＝60°，则OD＝（ ）
A．18cmB．20cmC．25cmD．30cm
5．一次函数y＝mx和反比例函数的一个交点坐标为（﹣3，4），则另一个交点坐标为（ ）
A．（3，﹣4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（4，﹣3）
6．如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．1D．2
7．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）
A．B．C．D．（2，4）
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
下列结论中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．对称轴是直线x＝4
C．当x＞4时，y随x的增大而减小
D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝70°，若将AC绕点A逆时针旋转60°后得到AD，连接BD和CD，则∠BDC＝（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
10．如图，水平放置的圆柱形输油管道的截面半径是1m，油面宽为1m，则截面上有油部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝6，⊙O的面积为12π，点M，N分别在⊙O、线段AB上运动，则MN长度的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将OA绕点O按顺时针旋转60°至OB，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，过A作AC∥BO交反比例函数图象于点C，若△BOC的面积为3，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡的横线上．
13．（4分）如图，在⊙O中，已知∠AOB＝80°，则∠ACB＝ ．
14．（4分）已知点A（a，1）与点B（﹣1，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
15．（4分）将二次函数y＝x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为 ．
16．（4分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”，“2”，“3”，“4”，“5”，“6”，连续抛掷两次该正方体，得到第一次朝上一面的数字是第二次朝上一面的数字的两倍的概率是 ．
17．（4分）春季流感病毒传播速度快，我们要做好预防．如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了 人．
18．（4分）已知⊙O的弦AB＝1.6，优弧上的点到AB的最大距离为1.6，直线l⊥AB，若⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l的距离d的范围为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（16分）（1）解方程：3x2﹣4＝6x．
（2）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（0，1），C（4，1）．
①画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△ADE，并写出点D，E的坐标；
②请在图中作出△ADE的外接圆，写出圆心M的坐标．
20．（12分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）一个不透明的箱子中装有1张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．某学习小组做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下颜色后放回；搅匀后再摸一张卡片，记下颜色后放回；不断重复上述过程，获得数据如表：
（1）根据上表估计，任意摸一次为白色卡片的概率为0.25（精确到0.01），求红色卡片有多少张？
（2）现从该箱子中先后各摸出1张卡片，求恰好两张卡片颜色相同的概率．
22．（12分）如图，一次函数y＝﹣x+5与反比例函数在第一象限交于A，B两点，AC垂直x轴于点C，O为坐标原点，AC＝4OC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并直接写出的解集；
（3）点D在y轴上，满足△ABD的面积和△ABC的面积相等，求点D的坐标．
23．（12分）目前，随着新冠病毒毒力减弱，国家对新冠疫情防控的政策更加科学化，人们对新冠病毒的认识更加理性．佩戴口罩可以阻断传播途径，在一定程度上能够有效防止感染新型冠状病毒肺炎．某药品销售店将购进一批A、B两种类型口罩进行销售，A型口罩进价m元每盒，B型口罩进价30元每盒，若各购进m盒，成本为1375元．
（1）求A型口罩的进价为多少元？
（2）设两种口罩的售价均为x元，当A型口罩售价为30元时，可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B型口罩的销量y（盒）与售价x之间的关系为y＝300﹣5x；若B型口罩的销售量不低于A型口罩的销售量的10倍，该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．
24．（12分）如图，▱ABCD的顶点A，D在⊙O上，边BC切⊙O于点M，连接AM，DM，CD交⊙O于点N．
（1）如图1，求证：AM＝DM；
（2）如图2，若圆心O在边AD上，连接AN，MN，若MN2＝AN•CN，AN＝8CN，AB＝5，求⊙O的半径．
25．如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，矩形DEFG的边DE在x轴上，顶点F，G在x轴上方的抛物线上，设点D的横坐标为d，当矩形DEFG的周长取最大值时，求d，并求矩形DEFG的周长的最大值；
（3）在（2）的结论下，直线DG上是否存在点M，使得∠GMF＝2∠DEM，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年四川省绵阳市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
解：A、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2．若1是关于x的一元二次方程ax2﹣a2x＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．0或1
【分析】将x＝1代入方程ax2﹣a2x＝0得到关于a的方程，然后解方程即可．
解：将x＝1代入一元二次方程ax2﹣a2x＝0，
得：a﹣a2＝0，
解得：a＝0，或者a＝1，
∵ax2﹣a2x＝0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
∴a＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．
3．三根电线，其中只有两根电线通电，接上小灯泡能正常发光，小明从三根电线中，随意选择两根电线，接上小灯泡的正负极，能发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】设三根电线分别为a，b，c，当接上a，b时，小灯泡正常发光，根据题意列出所有的可能，然后利用概率公式求解即可．
解：设三根电线分别为a，b，c，当接上a，b时，小灯泡正常发光，
从三根电线中，随意选择两根电线，共有a，b；a，c；b，c三种可能，
其中满足题意的只有一种，
∴能发光的概率是，
故选：B．
【点评】题目主要考查利用列举法求概率，理解题意是解题关键．
4．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是15cm，如果∠BDC＝60°，则OD＝（ ）
A．18cmB．20cmC．25cmD．30cm
【分析】设CD、BD分别与⊙O切于点M、N，连接OM，ON，根据相切可知CD⊥OM，BD⊥ON，结合ON＝OM，可得OD平分∠BDC，即有，再根据30°角的直角三角形的性质即可作答．
解：设CD、BD分别与⊙O切于点M、N，连接OM，ON，如图，
∵CD、BD分别与⊙O切于点M、N，
∴CD⊥OM，BD⊥ON，
∵ON＝OM，∠BDC＝60°，
∴OD平分∠BDC，
∴，
∴在Rt△OMD中，OD＝2OM，
∵钢管的半径是15cm，即OM＝15cm，
∴OD＝2OM＝30cm．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，角平分线的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，根据题意抽象出CD、BD与⊙O切是解答本题的关键．
5．一次函数y＝mx和反比例函数的一个交点坐标为（﹣3，4），则另一个交点坐标为（ ）
A．（3，﹣4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（4，﹣3）
【分析】根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称即可求解．
解：一次函数y＝mx和反比例函数的一个交点坐标为（﹣3，4），
∴另一个交点坐标为（3，﹣4），
故选：A．
【点评】本题主要考查正比例函数与反比例函数图象的交点的特点，掌握两个交点关于原点对称是解题关键．
6．如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．1D．2
【分析】连接OM、ON、OQ，根据切线长定理可得，AN＝AM＝3、CQ＝CM＝2，∠ONB＝∠OQB＝90°，可得四边形ONBQ为正方形，即QB＝BN＝r，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求解．
解：连接OM、ON、OQ，
根据切线长定理可得，AN＝AM＝3、CQ＝CM＝2，∠ONB＝∠OQB＝90°，
又∵ON＝OQ＝r，∠ABC＝90°，
∴四边形ONBQ为正方形，即QB＝BN＝r，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∵CM＝2，AM＝3，
∴AB＝3+r，BC＝2+r，AC＝2+3＝5
∴（3+r）2+（2+r）2＝52，
解得r1＝1，r2＝﹣6（舍去），
∴⊙O的半径为1，
故选：C．
【点评】本题考查了切线长定理及内切圆、勾股定理知识，熟练运用切线长定理是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）
A．B．C．D．（2，4）
【分析】作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出MO＝2OH＝4，再由勾股定理确定即可得出结果．
解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，
∵正六边形OABCDE的边长是4，
∴OH＝HE＝2，△OME为等边三角形，∠OMH＝30°，
∴MO＝2OH＝4，
∴
∴点M的坐标为：
故选：A．
【点评】本题主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
下列结论中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．对称轴是直线x＝4
C．当x＞4时，y随x的增大而减小
D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大
【分析】利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可．
解：由图可知，x＝3和x＝6时对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值，
∴抛物线开口向下，故选项A、B错误，
∴当x＜4.5时，y随x的增大而增大；当x＞4.5时，y随x的增大而减小，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝70°，若将AC绕点A逆时针旋转60°后得到AD，连接BD和CD，则∠BDC＝（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
【分析】由已知条件可求出∠CAB的度数，根据旋转的性质可得△ACD为等边三角形，可求出∠BAD、∠ADC的度数以及得到AB＝AD，进而求出∠ADB的度数，由角的和差关系可得∠BDC的度数．
解：由旋转得：AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵AB＝AC，∠ACB＝70°，
∴AB＝AD，∠ACB＝∠ABC，
∴∠CAB＝180°﹣2∠ACB＝40°，∠BAD＝∠CAD﹣∠CAB＝60°﹣40°＝20°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣20°）÷2＝80°，
∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝80°﹣60°＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，依据性质求角度是解题的关键．
10．如图，水平放置的圆柱形输油管道的截面半径是1m，油面宽为1m，则截面上有油部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据题意得出△OAB为等边三角形，利用三角函数得出，结合图形得出，，两个面积作差即可得出结果．
解：如图，连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，
∵OB＝OA＝OC＝1m，AB＝1m，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOD＝30°，DO＝AO•cs30°＝（m），
∵S扇形△OAB＝＝π（m2）；
S△OAB＝××1＝（m）2，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用，理解题意，作出图形，综合运用这些知识点是解题关键．
11．如图，在△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝6，⊙O的面积为12π，点M，N分别在⊙O、线段AB上运动，则MN长度的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点O作OC⊥AB，交⊙O于点P，当点M与点P重合，点N与点C重合时，MN长度的最小即为线段PC的长度，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，再由等面积法确定，由圆的面积得出，结合图形即可得出结果．
解：过点O作OC⊥AB，交⊙O于点P，当点M与点P重合，点N与点C重合时，MN长度的最小即为线段PC的长度，
∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝6，
∴AB＝2BO＝12，
∴，
∴，
解得：，
∵⊙O的面积为12π，设半径为r，
∴πr2＝12π，，
即MN长度的最小值为，
故选：C．
【点评】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，圆的面积等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将OA绕点O按顺时针旋转60°至OB，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，过A作AC∥BO交反比例函数图象于点C，若△BOC的面积为3，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过B点作BE⊥AO于E点，根据旋转的性质可得：OA＝OB，∠AOB＝60°，即有△OAB是等边三角形，则有，，根据AC∥BO，可得S△BCO＝S△BAO，即可得，解方程可得（负值舍去），则有，问题随之得解．
解：过B点作BE⊥AO于E点，如图，
根据旋转的性质可得：OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∵BE⊥AO，
∴，
∴在Rt△BEO中，，
∵AC∥BO，
∴S△BCO＝S△BAO，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴BE＝3，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，根据AC∥BO，得到S△BCO＝S△BAO，是解答本题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡的横线上．
13．（4分）如图，在⊙O中，已知∠AOB＝80°，则∠ACB＝ 40° ．
【分析】根据圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求解．
解：∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题的关键．
14．（4分）已知点A（a，1）与点B（﹣1，b）关于原点对称，则a+b＝ 0 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），据此即可求得a和b的值，代入即可得出答案．
解：∵点A（a，1）与点B（﹣1，b）关于原点O的对称，
∴a＝﹣（﹣1）＝1，b＝﹣1，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，属于基础题，关键是掌握关于原点对称的两点的坐标互为相反数．
15．（4分）将二次函数y＝x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为 y＝x2 ．
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．
解：将二次函数y＝x2+2x+2化为顶点式为：y＝（x+1）2+1，
将二次函数y＝（x+1）2+1的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为y＝（x+1﹣1）2+1﹣1＝x2．
故答案为：y＝x2．
【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解答的关键．
16．（4分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”，“2”，“3”，“4”，“5”，“6”，连续抛掷两次该正方体，得到第一次朝上一面的数字是第二次朝上一面的数字的两倍的概率是 ．
【分析】采用列表法列举即可求解．
解：表如下：（其中“第一次朝上一面的数字是第二次朝上一面的数字的两倍”的情况用2表示，其他情况用0表示）
则总的等可能性有36种，其中其中“第一次朝上一面的数字是第二次朝上一面的数字的两倍”的情况有3种，
即所求概率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了采用列表法或者树状图法求解概率的知识，正确画出列表或者树状图是解答本题的关键．
17．（4分）春季流感病毒传播速度快，我们要做好预防．如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了 15 人．
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，根据共有256人患了流感意列方程，解方程即可求解．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝256，即（1+x）2＝256，
解得：x1＝15，x2＝﹣17（舍去），
故答案为：15．
【点评】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，根据题意正确列出方程是解题的关键．
18．（4分）已知⊙O的弦AB＝1.6，优弧上的点到AB的最大距离为1.6，直线l⊥AB，若⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l的距离d的范围为 0≤d＜0.6 ．
【分析】过点O作DO⊥AB交于点D，在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2＝（1.6﹣OA）2+0.82，求出AO＝1，再由题意可得0≤d＜0.6．
解：过点O作DO⊥AB交于点D，
∵AB＝1.6，
∴AD＝0.8，
∵优弧上的点到AB的最大距离为1.6，
∴OD＝1.6﹣AO，
在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2，
∴AO2＝（1.6﹣OA）2+0.82，
解得AO＝1，
∵⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4，
∴0≤d＜0.6，
故答案为：0≤d＜0.6．
【点评】本题考查直线与圆的关系，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（16分）（1）解方程：3x2﹣4＝6x．
（2）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（0，1），C（4，1）．
①画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△ADE，并写出点D，E的坐标；
②请在图中作出△ADE的外接圆，写出圆心M的坐标．
【分析】（1）将方程整理为一般式，利用公式法进行求解即可；
（2）①将AB、AC绕点A顺时针旋转90°得到对应点D、E，顺次连接即可得到△ADE，进而得到点D，E的坐标；
②作出AD、DE的垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，再以M为圆心，以AM的长为半径作圆即可．
解：（1）移项得：3x2﹣6x﹣4＝0，
∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣4）＝84，
∴，
∴原方程的解为，．
（2）①所作△ADE如图所示，点D，E的坐标分别为（﹣4，1），（﹣4，﹣3），
②所作⊙M如图所示，M的坐标为（0，﹣1）．
【点评】本题考查了解一元二次方程、旋转作图以及外接圆，熟练掌握解一元二次方程的计算方法以及根据旋转的性质作图是解题的关键．
20．（12分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系，得到，然后解关于k的一元二次方程，即可求出答案．
解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，且k≠0，
即，
即：1﹣2k＞0，
∴，且k≠0；
（2）存在．
根据题意，，
∴，
∴，
经检验，是方程的根，且符合题意，
即．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式Δ＞0，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k值．
21．（12分）一个不透明的箱子中装有1张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．某学习小组做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下颜色后放回；搅匀后再摸一张卡片，记下颜色后放回；不断重复上述过程，获得数据如表：
（1）根据上表估计，任意摸一次为白色卡片的概率为0.25（精确到0.01），求红色卡片有多少张？
（2）现从该箱子中先后各摸出1张卡片，求恰好两张卡片颜色相同的概率．
【分析】（1）利用白色卡片的数量除以任意摸一次为白色卡片的概率为0.25，即可求出总的卡片数量，再减去白色卡片数量即可求解；
（2）由于白色卡片只有1张，因此相同颜色的两张卡片只能是红色，再根据不放回试验的特点分别求出两次摸出红色卡片的概率，接着将这两个概率相乘即可求解．
解：（1）总的卡片张数：1÷0.25＝4（张），
则红色的卡片张数为：4﹣1＝3（张），
答：红色卡片有3张；
（2）由于白色卡片只有1张，因此相同颜色的两张卡片只能是红色，
第一次摸出红色卡片的概率为：，
摸出一张红色卡片之后，剩余红色卡片为2张，盒中卡片总张数为：3张，
则第二次摸出红色卡片的概率为：，
即：两张卡片均为是红色的概率为：，
答：恰好两张卡片颜色相同的概率为．
【点评】本题考查了根据概率求解总数以及求解不放回试验中事件的概率的知识，掌握不放回试验的特点，是解答本题的关键．
22．（12分）如图，一次函数y＝﹣x+5与反比例函数在第一象限交于A，B两点，AC垂直x轴于点C，O为坐标原点，AC＝4OC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并直接写出的解集；
（3）点D在y轴上，满足△ABD的面积和△ABC的面积相等，求点D的坐标．
【分析】（1）设OC＝a，则AC＝4OC＝4a，可得A（a，4a），把点A代入一次函数解析式即可求出a的值，进而表示出点A的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）将一次函数和反比例函数联立求出点B的坐标，根据图象求出一次函数不在反比例函数上方时自变量的取值范围即可；
（3）根据题意点D在y轴上，满足△ABD的面积和△ABC的面积相等，将直线AB向左平移4个单位，可得到直线CD，再找到关于点E（0，5）的对称点为D1（0，9），即可得到答案．
解：（1）设OC＝a，则AC＝4OC＝4a，
∴C（a，0），A（a，4a），
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
∴4a＝﹣a+5，解得a＝1，
∴A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数，得：k＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为；
（2）由，解得或，
∴B（4，1），
由图可知的解集为：0＜x≤1或x≥4；
（3）由（1）、（2）得：A（1，4），B（4，1），C（1，0），
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
令y＝0，得x＝5，
∴直线AB与x轴的交点的横坐标为5，与y轴的交点E的纵坐标为5，
∵△ABD的面积和△ABC的面积相等，
∴CD∥AB，
∵点C的横坐标为1，
∴将直线AB向左平移4个单位，得到直线CD，
∴直线CD的解析式为y＝﹣（x﹣5+4）＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴点D的坐标为（0，1），
∵点D（0，1）关于点E（0，5）的对称点为D1（0，9），
由题意得点D1也满足△ABD的面积和△ABC的面积相等，
∴点D的坐标为（0，1）或（0，9）．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到待定系数法求解析式、三角形面积以及求函数交点坐标，能够数形结合是解题的关键．
23．（12分）目前，随着新冠病毒毒力减弱，国家对新冠疫情防控的政策更加科学化，人们对新冠病毒的认识更加理性．佩戴口罩可以阻断传播途径，在一定程度上能够有效防止感染新型冠状病毒肺炎．某药品销售店将购进一批A、B两种类型口罩进行销售，A型口罩进价m元每盒，B型口罩进价30元每盒，若各购进m盒，成本为1375元．
（1）求A型口罩的进价为多少元？
（2）设两种口罩的售价均为x元，当A型口罩售价为30元时，可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B型口罩的销量y（盒）与售价x之间的关系为y＝300﹣5x；若B型口罩的销售量不低于A型口罩的销售量的10倍，该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．
【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；
（2）设两种口罩的利润总和为w，由销售利润＝（售价﹣进价）×销售量得到w关于x的二次函数，根据二次函数的性质以及自变量的取值范围即可得到答案．
解：（1）由题意可知：m•m+30m＝1375，即m2+30m＝1375
解得：m1＝25，m2＝﹣55（舍去）
∴A型口罩的进价为25元．
（2）设两种口罩的利润总和为w，
当A型口罩售价为x元时，销售量为60﹣5（x﹣30）盒，
由题意得：，
解得40≤x≤42，
则w＝（x﹣25）[60﹣5（x﹣30）]+（x﹣30）（300﹣5x）
＝﹣10x2+785x﹣14250，
∴对称轴为，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＞39.25时，w随x的增大而减小，
∴当x＝40时，两种口罩的利润总和最高，即定价为40元时，利润最高．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用中的销售利润问题，根据题意找到关于x的二次函数是解题的关键．
24．（12分）如图，▱ABCD的顶点A，D在⊙O上，边BC切⊙O于点M，连接AM，DM，CD交⊙O于点N．
（1）如图1，求证：AM＝DM；
（2）如图2，若圆心O在边AD上，连接AN，MN，若MN2＝AN•CN，AN＝8CN，AB＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接MO，并延长交AD于点E，根据相切有BC⊥OM，在平行四边形ABCD中，有AD∥BC，即有AD⊥OM，可得EM垂直平分线段AD，问题得解；
（2）由MN2＝AN⋅CN，AN＝8CN，可得，根据（1）的证明方法，同理可得：AM＝DM，即有∠DAM＝∠ADM＝45°，根据四边形AMND内接于⊙O，有∠DAM+∠DNM＝180°，∠ADN+∠AMN＝180°，进而可得∠CNM＝∠DAM，∠CNM＝∠ADM，∠CNM＝∠ANM，根据AD∥BC，有∠ADN+∠C＝180°，∠DMC＝∠ADM，进而有∠AMN＝∠C，∠DMC＝∠CNM，即可证明△CNM∽△MNA，即有，即AM2＝8CM2，再证明△CNM∽△CMD，即有MC2＝CN×DC，可得DM2＝AM2＝8CM2＝40CN，在Rt△AMD中，有：AD2＝AM2+MD2＝2AM2，在Rt△AND中，有：AD2＝AN2+ND2，进而可得方程AD2＝（8CN）2+（5﹣CN）2＝65CN2﹣10CN+25，解方程即可求解．
【解答】（1）证明：连接MO，并延长交AD于点E，
∵边BC切⊙O于点M，
∴BC⊥OM，
∵在平行四边形ABCD中，有AD∥BC，
∴AD⊥OM，
∴AE＝ED，
∴EM垂直平分线段AD，
∴AM＝DM；
（2）解：在平行四边形ABCD中，有AD∥BC，AB＝CD＝5，
∵圆心O在边AD上，
∴AD为⊙O的直径，
∴∠DMA＝∠AND＝90°，
∵MN2＝AN⋅CN，AN＝8CN，
∴MN2＝8CN⋅CN，
∴，
根据（1）的证明方法，同理可得：AM＝DM，
∴∠DAM＝∠ADM＝45°，
∵四边形AMND内接于⊙O，
∴∠DAM+∠DNM＝180°，∠ADN+∠AMN＝180°，
∵∠CNM+∠DNM＝180°，∠DAM＝∠ADM＝45°，
∴∠CNM＝∠DAM，
∴∠CNM＝∠ADM，
∴∠CNM＝∠ANM，
在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠ADN+∠C＝180°，∠DMC＝∠ADM，
∴∠AMN＝∠C，∠DMC＝∠CNM，
∵∠AMN＝∠C，∠CNM＝∠ANM，
∴△CNM∽△MNA，
∴，
∵，
∴，
∴，即AM2＝8CM2，
∵∠C＝∠C，∠CNM＝∠DMC，
∴△CNM∽△CMD，
∴，
∴MC2＝CN×DC，
∵CD＝5，AM2＝8CM2，
∴MC2＝5CN，
∴AM2＝8CM2＝40CN，
∴DM2＝AM2＝8CM2＝40CN，
在Rt△AMD中，有：AD2＝AM2+MD2＝2AM2，
∴AD2＝80CN，
在Rt△AND中，有：AD2＝AN2+ND2，
∵ND＝CD﹣CN＝5﹣CN，AN＝8CN，
∴AD2＝（8CN）2+（5﹣CN）2＝65CN2﹣10CN+25，
∴65CN2﹣10CN+25＝80CN，
整理：13CN2﹣18CN+5＝0，
解得：CN＝1，或者，
在钝角△DCM中，
∵DM＞CD＝5，
∴DM2＝40CN＞25，
∴，
故不符合题意，舍去，
∴CN＝1，
∴AD2＝80CN＝80，
∵，
∴⊙O的半径为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到垂径定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及解一元二次方程等知识，证明△CNM∽△MNA和△CNM∽△CMD是解答本题的关键．
25．如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，矩形DEFG的边DE在x轴上，顶点F，G在x轴上方的抛物线上，设点D的横坐标为d，当矩形DEFG的周长取最大值时，求d，并求矩形DEFG的周长的最大值；
（3）在（2）的结论下，直线DG上是否存在点M，使得∠GMF＝2∠DEM，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由对称性得出点B坐标，抛物线的解析式设为交点式，进一步得出结果；
（2表示出点G的坐标，进而表示出DE和DG的长，进而表示出矩形的周长的解析式，进一步得出结果；
（3）设DM＝x，作EM的垂直平分线，交DE于H，根据△MGF∽△HDM，从而，从而表示出DH＝﹣+4x，MH＝EH＝﹣（﹣+4x）＝﹣4x+，在直角三角形DHM中，根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
解：（1）由题意得，
B（3，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∴＝a•1×（﹣3），
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+3x+；
（2）设矩形DEFG的周长为l，
∵G（d，﹣+3d+），
∴DE＝2（1﹣d）＝2﹣2d，DG＝﹣+3d+，
∴l＝2（DE+DG）＝2（2﹣2d﹣+3d+）＝﹣3d2+2d+13＝﹣3（d﹣）2+，
∴当d＝时，矩形周长最大值为；
（3）当M点在线段GD上时，如图，
设DM＝x，
作EM的垂直平分线，交DE于H，
∴EH＝MH，
∴∠HME＝∠HEM，
∴∠MHD＝∠MHE+∠HEM＝2∠DEM，
∵∠GMF＝2∠DEM，
∴∠GMF＝∠MHD，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠G＝∠D＝90°，
∴△MGF∽△HDM，
∴，
∴，
∴DH＝﹣+4x，
∴MH＝EH＝﹣（﹣+4x）＝﹣4x+，
由DM2+DH2＝MH2得，
x2+（﹣+4x）2＝（﹣4x+）2，
∴x1＝，x2＝（舍去），
∴M（，）；
当M点在线段DG和线段GD的延长线上时，∠GMF是锐角，2∠DEM是钝角，所以不存在∠GMF＝2∠DEM；
综上所述：M（，）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．x
…
1
3
4
6
…
y
…
8
18
20
18
…
摸卡的次数
100
200
300
400
500
摸到白色卡片的频数
27
49
75
101
126
摸到白色卡片的频率
0.270
0.245
0.250
0.253
0.252
x
…
1
3
4
6
…
y
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8
18
20
18
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